（讲评用卷）2024年河南郑州一检·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南郑州一检·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（）A．-3 B．3C．-13

D．1.A【解析】由图可得，点A所表示的数为3，∴数轴上点A所表示的数的相反数为-3.2.砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）A．B．C．D．2.C【解析】从上边看，可得如图：．3.中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤，为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（）A．1.3×1011 B．1.3×1010C．0.13×1012 D．0.13×10103.A【解析】1300亿＝130000000000＝1.3×1011．4.甲、乙两个学校统计男女生人数，分别绘制了扇形统计图（如图），下列说法正确的是（）A．甲校的男生人数比乙校的男生人数多B．甲、乙两个学校的人数一样多C．乙校的女生人数比甲校的女生人数多D．甲校的男女生人数一样多4.D【解析】因为甲、乙两个学校的总人数没有告诉，所以通过扇形图不能判断甲、乙两个学校的人数一样多，故选项B错误；由于甲、乙两个学校的总人数不确定，通过扇形图不能判断甲校的男生人数比乙校的男生人数多，乙校的女生人数比甲校的女生人数多，故选项A、C均错误；由扇形图知，甲校男、女生各占总人数的50%，甲校的男女生人数一样多，故选项D正确．5.如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°5.C【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠DBC，∴∠1=∠DBC＝∠A+∠2＝28°+31°＝59°．6.对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除6.B【解析】∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除．7.如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°7.C【解析】∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，∴AB＝AD，∵∠ABD＝70°，∴∠ADB＝∠ABD=70°，∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠C＝180°﹣∠A＝140°．8.一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6

m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sin

α）m B．（4+3tan

α）mC．（4

+3sin

α）m D8.B【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD

=12BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC

=ADBD，∴AD＝BD•tanα＝3tanα

m．∴房顶A离地面EF的高度＝AD9.如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H、G分别是边DC、BC上的动点，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（）A．2B．3

C．1D．39.D【解析】如解图，连接AG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵点E、F分别是AH、GH的中点，∴EF是△AGH的中位线，∴EF

=12AG，当AG最小时，EF有最小值，当AG⊥BC时，AG最小，则∠BAG＝30°，此时BG

=12AB＝1，AG

=3BG

=3，∴EF

=12AG

=解图10.植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律．若选择y＝ax2+bx+c，则a

0，b

0；若选择函数y

=ax+b，则a

0，b

A．＜，＞，＜，＞ B．＜，＞，＞，＜ C．＞，＜，＜，＞ D．＞，＞，＜，＜10.A【解析】若选择y＝ax2+bx+c，由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴x

=−b2a＞0，∴a＜0，b＞0；若选择函数y

=ax+b，由函数图象可知，将反比例函数y

=ax（a＜0）的图象从第四象限向上平移b个单位即可得到函数y

=ax+b的二、填空题(每小题3分，共15分)11.写出一个大小在2和20之间的整数是

．11.2（答案不唯一）．【解析】∵

1＜2＜4，16＜20＜25，即

1＜212.鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在

范围内．12.20≤x≤25【解析】由题意得

20≤x≤2819≤x≤25，解得20≤x≤25，∴鱼缸里的温度x13.小明笔袋里有两支红笔和两支黑笔（4支笔的款式相同），上课做笔记时，他随机从笔袋中抽出两支笔，刚好是一红一黑的概率是

．13.2【解析】记两支红笔为：红1，红2，两支黑笔为：黑1，黑2，画树状图如下：一共有12种等可能的情况，其中刚好是一红一黑的情况有8种，∴P（抽出的笔刚好是一红一黑）

=814.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC、BC．若∠ACD＝60°，AC

=3，则BE的长度是

14.1【解析】如图，连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACO＝∠OCD﹣∠ACD＝30°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝30°，∴∠A＝∠E＝30°，∴AC＝CE

=3在Rt△COE中，CO＝CE•tan30°

=3×∴OE＝2CO＝2，∵OB＝OC＝1，∴BE＝OE﹣OB＝2﹣1＝1，∴BE的长度是1.15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D，E分别是边AB、AC的中点，连接DE．将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α（0°≤α≤90°），点A、E的对应点分别为点G、F，GF与AC交于点P．当直线GF与△ABC的一边平行时，CP的长为

．15.12或

【解析】根据题意，将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α（0°≤α≤90°）得到△GDF，即△GDF≌△ADE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5．∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AD

=12AB

=52，AE

=12AC＝2，DE

=12BC

=32，当GF∥AB时，如图①，∴∠ADG＝∠DGP，∠A＝∠GPA，∵△GDF≌△ADE，∴∠A＝∠DGP，∴△MDA和△MPG均为等腰三角形，且MD＝MA．MP＝MG，∴AP＝AM+MP＝MD+MG＝DG，由△GDF≌△ADE得到DG＝AD

=52，∴AP=

52.

则CP＝AC﹣AP＝4

−52=32；当GF∥BC时，如图②，∵DE∥BC，∴GF∥DE，∵∠C＝90°，∴∠EPF＝90°，∠AED=∠GFD=90°，∴EP∥DF，∴四边形DFPE是平行四边形，∵DE＝DF，∠DFP＝90°，∴▱DFPE是正方形，∴EP＝DF＝DE

=32，∵EC

=12AC＝

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（1）计算：

5−

（2）化简：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）2．16.解：（1）原式

=15+

＝1

15（2）原式＝2x2﹣2x﹣（x2﹣2x+1）

＝2x2﹣2x﹣x2+2x﹣1

＝x2﹣1．17.中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程．某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送．学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）．学生会随机抽取了10位学生的评价分数：学生A学生B学生C学生D学生E学生F学生G学生H学生I学生J甲公司76769798109乙公司65878889810学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司7.8分；乙公司7.7分．（1）为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差等中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析；（2）你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？17.解：（1）还需要了解方差，甲公司方差

=110[（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（10﹣7.8）2+（9﹣7.8）2]＝乙公司方差

=110[（6﹣7.7）2+（5﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（7﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（9﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（10﹣7.7）2]＝∵1.76＜1.81，∴甲公司配送饭菜的满意情况波动更小；（2）∵7.8＞7.7，∴用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意（言之有理即可）．18.如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数

y=k2x的图象的一个交点是（（1）求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点坐标；（2）写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围；（3）点A（2，y1）在正比例函数的图象上，点B（2，y2），点C（﹣2，y3），点D（﹣3，y4）都在反比例函数y

=k2x的图象上，比较y、y2、y3、y4的大小关系，并用“＜18.解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象的一个交点是（∴3＝k1，3

=k∴k1＝3，k2＝3，∴正比例函数的表达式为y＝3x，反比例函数的表达式为y

=3∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数

y=k2x的图象的一个交点是（∴这两个函数的图象的另一个交点坐标为（﹣1，﹣3）；（2）由图象可知，使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1；（3）观察图象可知，y1、y2、y3、y4的大小关系为y3＜y4＜y2＜y1．19.请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．）19.已知：△ABC中，AB＝AC，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．20.2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？20.解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x﹣10）元，根据题意得

400x解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意，∴x﹣10＝40﹣10＝30，∴甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；（2）设购买m棵甲种树苗，根据题意得：40×0.9m+30（100﹣m）≤3200，解得m≤33

13∵m为整数，∴m最大取33，∴最多可购买33棵甲种树苗．21.如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，交AC于点O．（1）线段BD与AC的数量关系是BD∶AC＝

；（2）判断BD与AC的位置关系，并说明理由；（3）请在图中连接AD，则四边形ABCD一定是菱形吗？为什么？21.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，∴△ABC≌△DCE，△DCE是等边三角形，∴DC＝CE＝DE，∠CDE＝∠DCE＝∠E＝60°，∴CB＝CD＝AC＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠BDE＝∠CDB+∠CDE＝90°，∴BD

=3DE∴BD

=3AC∴BD∶AC

=3∶1（2）BD⊥AC，理由如下：由（1）知∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB＝90°，∴BD⊥AC；（3）四边形ABCD一定是菱形，理由如下：如图，连接AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，∴AB＝CD，∠DCE＝∠ABC＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∴AB＝BC＝AC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．22.“诗圣”杜甫出生在郑州巩义市笔架山下的窑洞里，窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式．如图，某窑洞口的截平面下部为矩形EFGH，上部为抛物线．已知下部矩形的长为4米，宽为2米，窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米．（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，写出P点的坐标

；（2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式；（3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户ABCD（窗户的边框忽略不计），使得点A、B在下部矩形的边上，点C、D在抛物线上，且AB＝2BC，那么这个窗户的宽BC为多少米？22.解：（1）以H为原点，HG所在直线为x轴，EH所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图：∵窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米，矩形的长EF为4米，宽GF为2米，∴P点的坐标为（2，2）；（2）根据题意，抛物线顶点为（2，2），且经过点（0，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+2，将（0，0）代入得0＝4a+2，解得a

=−∴y

=−12（x﹣2）2+2

=−1∴抛物线的表达式为y

=−12x2（3）设D（m，

−12m2+2m），则AD

=−12m2+2m＝BC，由图可知，0∵AB＝2BC，∴AB＝2（

−12m2+2m）＝﹣m2+4∵m+（﹣m2+4m）＝﹣m2+5m，∴C（﹣m2+5m，

−12m2+2把C（﹣m2+5m，

−12m2+2m）代入y

=−12x2+2x得

−12m2+2m

=−12（﹣m2+5m∴m2﹣4m＝（﹣m2+5m）2﹣4（﹣m2+5m），∴m（m﹣4）＝m（m﹣5）（m﹣1）（m﹣4），∴m（m﹣4）[1﹣（m﹣5）（m﹣1）]＝0，∴m（m﹣4）（﹣m2+6m﹣4）＝0，∴m＝0或m﹣4＝0或﹣m2+6m﹣4＝0，解得m＝0（不符合题意，舍去）或m＝4（不符合题意，舍去）或m＝3

−5或m＝3

+5（不符合∴D（3

−5，﹣1

+∴BC＝AD＝﹣1

+5∴窗户的宽BC为（﹣1

+523.数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的

12【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的

12思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2．若新正方形的周长是原正方形周长的

12，则新正方形的边长为

12a，此时新正方形的面积是①思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，如果新正方形的面积是原正方形面积的

12，则新正方形与原正方形相似比为1：

2，此时新正方形周长应是原正方形周长的②

结论：③

（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的

12拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．④

【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究．活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的

12分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得

x+思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题．思路二：借助一次函数l1：y＝﹣x+3与反比例函数l2：y

=4