（讲评用卷）2024年河南某郑州外国语三模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南某郑州外国语三模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.2024的绝对值是（）A．

−2024 B．2024C．12024

D．

1.B2.“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（）A．4×10﹣11 B．4×10﹣10C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣92.B3.庙底沟彩陶罐是用红陶泥烧制而成，表面做了抛光处理．它上身肥胖，下身纤细，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图的形状相同 B．主视图与左视图的形状相同C．左视图与俯视图的形状相同 D．三种视图的形状都相同3.B4.下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（）A．调查某批次汽车的抗撞击能力B．选出某班短跑最快的学生参加运动会C．企业招聘，对应聘人员进行面试D．地铁站工作人员对乘客进行安全检查4.A5.下列运算正确的是（）A．5+6=11

B．a7÷aC．（﹣3a）2＝6a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣15.B【解析】A．

5与6不是同类二次根式，无法合并，A选项不合题意；B．a7÷a3＝a4，B选项符合题意；C．（﹣3a）2＝9a2，C选项不合题意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，D选项不合题意．6.如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点E，F，G是AB上一点，连接FG.若∠CFG＝112°，∠GEF＝73°，则∠EFG的度数为（）A．73° B．56° C．41° D．39°6.D【解析】∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠GEF＝73°，∵∠CFG＝112°，∴∠EFG＝112°﹣73°＝39°．7.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（）A．

7xB．

7C．

x=D．

x7.B8.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图①是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图②，AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（）A．5cm B．4.5cm C．6.5cm D．8cm8.B【解析】∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，又∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，∴

ABCD=1015，又∵AB＝9.已知点A（−1，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在二次函数y＝−2(x−3)2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y19.C【解析】由题意可知，二次函数y＝−2(x−3)2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，点A离对称轴最远，点B离对称轴最近，所以y2＞y3＞y1．10.如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y，图②是y关于x的函数图象，其中H是图象中的最低点，那么a+b的值为（）A．143B．23+C．63

D．2110.A【解析】当P与B重合时，由图②知，BE+BA＝6，∵点E是边AB的中点，∴BE

=12AB，∴BE＝2，AB＝4＝AC，作A关于直线BC的对称点A'，连接A'E交BC于点P，AA'交BC于点K，连接A'B，如图，此时PA＝PA'，∴PA+PE＝PA'+PE，当A'，P，E三点共线时，PA'+PE最小，即PA+PE最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵A，A'关于BC对称，∴∠AKC＝90°，∴AK＝A'K

=12AC＝2，∠CAK＝60°，∴AA'＝AB＝4，∠BAA'＝∠BAC﹣∠CAK＝60°，∴△ABA'是等边三角形，∵E是AB中点，∴∠AA'E

=12∠AA'B＝30°，∠AEA'＝90°，∵AP＝A'P，∴∠PAA'＝30°，∴∠PAK＝∠PAE＝30°，∴∠PAC＝∠PAK+∠CAK＝90°，在Rt△APC中，AP＝AC•tan30°=433，CP＝2AP=833=b，在Rt△APE中，PE

=12AP=233，∴a二、填空题11.谚语“冰冻三尺，非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是

．11.冰的厚度12.今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为

．12.1【解析】将《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没逆转时空》、《第二十条》分别记为A，B，C，D，列表如下，共有16种等可能的结果，其中这两位同学选择观看相同影片的结果有4种，∴这两位同学选择观看相同影片的概率为

416ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）13.若点A（a，b）在双曲线

y=5x上，则代数式ab﹣5的13.0【解析】∵点A（a，b）在双曲线

y=5x上，∴ab＝5，∴ab﹣5＝5﹣514.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为BE⏜，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为BF⏜，则图中阴影部分的面积是

.（14.3【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴AB＝AF＝2AC＝2，BC＝CE＝

3AC

=3，∴S阴影＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF

=12×15.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AB＝3AD，点E为BC边上一动点，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得线段EF，连接DF，CF，当DF与△ABC的某条边平行时，则线段CF的长为

．15.2或2【解析】在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AB＝3AD，∴

AD=13AB=2，则BD＝4，若DF∥AC，如答案图①，∵将线段DE绕点E顺时针旋转60°得线段EF，∴△DEF是等边三角形，且边长为4，∴CF＝BC﹣BF＝2；若DF∥BC，如答案图②，∵将线段DE绕点E顺时针旋转60°得线段EF，∴△DEF是等边三角形，∵DF∥BC，∴∠ADF＝60°，∠DEB＝60°，则∠BDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BDE为等边三角形，且边长为4，连接CF，如答案图③，设AC与EF交于点H，∠FEC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△HEC是等边三角形，则HE＝EC＝CH＝2，∠EHC＝∠HCE＝60°，∵EF＝4，∴HF＝2，即CH＝HF，则∠HFC＝∠HCF＝30°，∴∠FCE＝90°，在Rt△EFC中，EF＝4，EC＝2，则由勾股定理可得CF＝2

3；当E与C重合时，如答案图④，∴DF∥AB的情况不存在；综上所述，线段三、解答题16.（1）计算：

12+（2）解不等式组

5+16.解：（1）

原式＝23+2+1＝2

3+（2）

5+由①得

x＜由②得x≥﹣5，∴不等式组的解集为

−5≤x

＜8∴它的正整数解为1，2．17.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图；七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.5a745%八年级7.58bc根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝

，b＝

，c＝

；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共2000名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？17.解：（1）7；7.5；50%；【解法提示】∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，其中7出现次数的最多，∴a＝7，由条形统计图可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%.（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下，∵八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，∴八年级学生掌握垃圾分类知识较好；（答案不唯一，合理即可）（3）∵从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，∴参加此次测试活动成绩合格的学生有2000

×(20答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生有1800人．18.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．（1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，点F为该圆上任意一点（不与点D、点E重合），连接EF，DF．求证：∠CDE＝∠F．18.解：（1）如图①，点D即为所求，答案图①（2）如图②，∵BC是⊙A的切线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠DAC

=12∠BAC＝∴∠F

=12∠DAE＝∵AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°，∴∠CDE＝∠F＝30°．答案图②19.数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的C处，兴趣小组令一架无人机沿67°的仰角方向飞行130m到达点A处，然后无人机沿水平线AF方向继续飞行30m至B处，测得此时河对岸D处的俯角为32°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上．（参考数据：sin32°

≈1732，cos32°

≈1720，tan32°

≈58，sin67°

≈1213，（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求CD的长．19.解：（1）由题意得，AM⊥MD，在Rt△AMC中，AC＝130m，∠ACM＝67°，∴AM＝AC•sin67°≈130

×1213=120∴无人机的飞行高度AM约为120m；（2）如图，过点B作BG⊥DM，垂足为G，由题意得，AB＝MG＝30米，AM＝BG＝120m，∠FBD＝32°，AF∥DM，∴∠FBD＝∠BDG＝32°，在Rt△BDG中，DG

=BGta在Rt△AMC中，AC＝130米，∠ACM＝67°，∴CM＝AC•cos67°≈130

×513=50∴CD＝MG+DG﹣CM＝30+192﹣50＝172（m），∴CD的长约为172m．20.如图，一次函数的图象与反比例函数

y=mx（m为常数）的图象交于点A（a，4）和B（8（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点E是x轴上一动点，且∠OAE＝∠AOC，请直接写出点E的坐标．20.解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，将B（8，1）代入

y=mx，可得m∴

y=将A（a，4）代入

y=得a＝2，∴A（2，4），将A（2，4）和B（8，1）代入y＝kx+b，得

4=解得

k=∴一次函数的解析式为

y=（2）当y＝0时，

0=解得x＝10，∴D（10，0），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD=1＝15；（3）E的坐标为（2，0）或

(−【解法提示】如图，过点A作AE1⊥x轴于点E1，则AE1∥OC，∴∠OAE1＝∠AOC，∵A（2，4），∴E1（2，0）；如图，作∠OAE2＝∠AOC，AE2交y轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，∴OG＝4，AG＝2，∵∠OAE2＝∠AOC，∴AF＝OF，设OF＝a，则AF＝a，FG＝4﹣a，由勾股定理可得，AG2+FG2＝AF2，∴22+(4﹣a)2＝a2，解得

a=52，∴

OF=52，

F(0，52)，设直线AF的解析式为y＝mx+n，代入

F(0，52)，A（2，4），得

52=0+n4=2m+n，解得

m21.随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？21.解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，由题意得,

16x解得x＝0.6，经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意，∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8，

答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元；（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（30﹣m）个，由题意得,30﹣m≤2m，解得m≥10，设所需费用为w万元，由题意得w＝0.8m+0.6×（30﹣m）＝0.2m+18，∵0.2＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝10时，w取得最小值，此时，30﹣m＝30﹣10＝20，答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．22.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（

-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）当0≤x≤m时，y的取值范围是0≤y≤

7516，求m的取值范围（3）如图②，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，直接写出Rt△PDE周长的最大值．22.解：（1）把A（-1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得，a−解得

a=∴抛物线的表达式为y

=−34x2

+（2）∵y

=−34x2

+94x+3

=−34（∴抛物线的顶点为（

32，

75∵当0≤x≤m时，y≤

7516∴m≥

32①∵y≥0时，−1≤m≤4，∴

−1≤m≤4②，∴由①②得m的取值范围是

32≤m≤4（3）Rt△PDE周长的最大值为

365【解法提示】在y

=−34x2

+94x+3中，令x＝0∴C（0，3），∵B（4，0），∴BC

=32+42=5，直线BC解析式为∴△BOC的周长L△BOC＝OB+OC+BC＝4+3+5＝12，设P（n，

−34n2

+94n+3），则E（n，

∴PE

=−34n2

+94n+3

−（

−34n+3）∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠BCO，∵∠PDE＝∠BOC＝90°，∴△PED∽△BCO，∴

L△∴

L△∴L△PDE

=−95n2

+365n

=−95（∵

−95∴当n＝2时，L△PDE取最大值

365

23.综合与实践【问题】小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图①，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个运动过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是什么？【探究】（1）小张觉得在点E，F运动过程中，四边形E1E2F1F2的两组对边分别相等，所以四边形E1E2F1F2形状必定为

；（2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索：①小王看到四边形E1E2F1F2的四边分别经过了原矩形的四个顶点，且在图①中，连接DE1和DF2，只要能说明∠E1DF2为180°即可，其余三条边都可以用这个方法证明．请你根据小王的说法，证明E1F2经过点D；②小王发现，点E，F在点O时，四边形E1E2F1F2为菱形；点E，F分别运动到终点B，D时，四边形E1E2F1F2为菱形；并猜想点E，F在运动过程中，四边形E1E2F1F2能为矩形．请你利用图②判断点E，F在运动过程中，四边形E1E2F1F2能否为矩形？若能，请找到点F的位置并证明此时四边形E1E2F1F2为矩形；若不能，请说明理由；【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、菱形的结论．如图③，在原题的基础上，将条件∠ABD＝60°变为AB＝6，AD＝8，其余条件不变，小袁发现在点E，F运动过程中，四边形E1E2F1F2依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩形的周长．23.解：（1）平行四边形；【解法提示】如图①，连接EE1，EE2，FF1，FF2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝30°，∵O为BD的中点，∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴DF＝EB，∴DE＝BF，由轴对称的性质可知，DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∴DF2＝DF＝BE＝BE2，DE1＝DE＝BF＝BF1，由轴对称的性质可知，∠E1DA＝∠ADB＝30°，∠CDF2＝∠BDC＝60°，∴∠E1DA+∠ADB+∠CDF2+∠BDC＝180°，∴点E1，D，F2

在同一条直线上，同理，点E2，B，F1

三点在同一条直线上，点F1，C，F2在同一条直线上，点E1，A，E2在同一条直线上，∴DF2＝BE2，DE1＝BF1，∴DF2+DE1＝BE2+BF1，即E1F2＝E2F1，由轴对称的性质可知，∠E1DE＝2∠ADB＝2∠CBD＝∠F1BF，∴△DE1E≌△BF1F（SAS），∴E1E＝F1F，同理可得，EE2＝FF2，∵点F与点F2关于CD对称，∴FF2⊥CD，同理可得，FF1⊥BC，EE1⊥AD，EE2⊥AB，又∵在矩形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，设FF1与CB交于点Q，FF2与CD交于点R，EE1与AD交于点H，EE2与AB交于点P，∴四边形FRCQ，HAPE均为矩形，∴∠E1EE2＝∠F1FF2＝90°，∴△E1EE2≌△F1FF2（SAS）∴E1E2＝F1F2，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形.答案