（讲评用卷）2024年河南洛阳二模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南洛阳二模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1.下列各数中最大的是（）A．﹣5 B．0C．﹣1 D．

51.D【解析】∵﹣5＜﹣1＜0

＜5，∴最大的数是

52.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的示意图，它的俯视图是（）2.B3.2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高纪录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（）A．54.32×104 B．5.432×104C．5.432×105 D．5.432×1063.C【解析】54.32万＝543200＝5.432×105.4.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°4.D【解析】如图，∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝35°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝35°+25°＝60°．5.下列计算，结果正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．(3a)2＝9a2C．(a+b)2＝a2+b2 D．a6÷a2＝a35.B【解析】A.不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；B.(3a)2＝9a2，正确，符合题意；C.(a+b)2＝a2+2ab+b2，故错误，不符合题意；D.a6÷a2＝a4，故错误，不符合题意．6.不等式组

x−A．x＜5 B．1≤x＜5C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣16.C【解析】x−2＜3①3x+1≥2x②，解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥7.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3C．m≤3 D．m＜37.C【解析】根据题意，得b2-4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）≥0，解得m≤3.8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD，则

ACBDA．

12

B．

2C．

32

D．

8.D【解析】如图所示，设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD

=12∠ABC＝30°，∴BO

=3AO，∵

AOB9.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．x240B．x240C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）9.D【解析】∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得，240x＝150（x+12）．10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，

CD=2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t（s），正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图②所示，则线段ABA．6 B．8C．32

D．10.A【解析】如图所示，当S＝6时，DP

=6，∵∠C＝90°，CD

=2，∴CP＝2，即BC＝2，∴抛物线经过点(2，6)，∵抛物线的顶点坐标为(4，2)，∴设抛物线的解析式为S＝a(t﹣4)2+2（a≠0），∴6＝4a+2，解得，a＝1，∴s＝(t﹣4)2+2．当s＝18时，18＝(t﹣4)2+2，解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝8，∵点P的运动速度为1个单位，∴点P的运动路程为8，∴AB＝8﹣2＝二、填空题（每小题3分，共15分）11.若式子

x−5x有意义，则x的取值范围11.x≥5【解析】由题意得x﹣5≥0且x≠0，解得x≥5.12.计算

a2a+1−12.1【解析】a2a+13.某班准备从《歌唱祖国》、《我的祖国》、《走进新时代》、《十送红军》四首歌曲中选择两首进行排练，参加即将举办的“建国七十五周年”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是

．13.1【解析】设《歌唱祖国》、《我的祖国》、《走进新时代》、《十送红军》分别对应A、B、C、D，画树状图如图所示，可得一共有12种等可能的结果，其中该班恰好选中前面两首歌曲的可能有2种，∴该班恰好选中前面两首歌曲的概率为

21214.如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，若∠ACD＝120°，CD＝23，则图中阴影部分的面积为

.（结果用含π的式子表示）．14.2【解析】如图，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴∠DCO＝90°，∵∠ACD＝120°，AO=CO，∴∠A＝∠OCA＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC=CDOC=tan60°，CD＝23，∴

23OC=3，解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△OCD15.矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F（旋转角为α，0°＜α＜180°），当点F、E、D三点共线时，线段BF的长为

．15.1或9【解析】如图①，当点E在DF上时，连接AF，∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），∴BF＝EF，设BF＝EF＝x，则CF＝5﹣x，由旋转得，AE＝AB＝3，∵EF⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°，∵AD＝5，∴DE=AD2−AE2=4，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，∴(5﹣x)2+32＝(x+4)2，解得x＝1，∴BF＝1；如图②，当点E在FD的延长线上时，同理可得，EF＝BF，DE＝4，设EF＝BF＝a，则DF＝a﹣4，CF＝a﹣5，∴（a﹣5）2+32＝（a﹣4）2，解得a＝9，∴BF＝9，综上所述，

答案图①

答案图②三、解答题（本大题共8小题，共75分）16.（1）计算：

|−（2）化简：（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）．16.解：（1）

|

=3

=3（2）（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）

＝4a2﹣b2﹣a2+3ab

＝3a2﹣b2+3ab．17.我市某校为了解九年级学生体育备考情况，对全校九年级240名男生进行了体育测试，并随机抽取甲、乙两个班（两班男生人数相同）各10名男生的跳绳测试成绩进行整理、描述、分析．【收集数据】甲、乙两班10名男生的跳绳成绩（单位：次）如下：甲：135

149

198

150

160

123

155

160

137

186乙：100

132

133

146

146

152

164

173

197

210【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．统计量班级平均数中位数众数甲155.3152.5b乙155.3a146根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝

，b＝

；（2）综合上表中的统计量，你认为哪一个班的男生成绩较好，并说明理由；（3）洛阳市2024年中招体育考试九年级终结性评价评分标准规定：跳绳男子满分标准为150次，估计该校本次测试成绩满分的男生人数．17.解：（1）149，160；【解法提示】（1）乙班10名男生的跳绳成绩按从小到大排序为100

132

133

146

146

152

164

173

197

210，∵中间的两个数据为146和152，∴中位数a

=146+1522=149，∵甲班10名男生的跳绳成绩中，160出现的次数最多，∴（2）甲班成绩较好，∵甲、乙两班样本的平均数相同，但甲班的中位数均高于乙班，∴甲班成绩较好．（3）

240×答：该校满分人数约为132人．18.已知：点P是⊙O外一点．（1）尺规作图：如图，以点O′为圆心，OP为直径作⊙O′交⊙O于E，F两点，连接OP，PE，PF；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求证：PE，PF是⊙O的切线；（3）在（1）（2）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝50°，则∠EDF的度数为

．18.解：（1）如图①即为所作；答案图①（2）证明：如图②，连接OE，OF，∵OP是⊙O′的直径，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∵OE、OF为⊙O的半径，∴PE，PF是⊙O的切线；答案图②（3）65°或115°；【解法提示】如图③，当点D在优弧EF上时，连接DE、DF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF+∠EPF＝180°，∵∠EPF＝50°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF

=12∠EOF＝65°；如图④，当D′在劣弧EF上时，连接D'E、D'F，∵∠ED′F+∠EDF＝180°，∴∠ED′F＝180°﹣65°＝115°，综上，∠EDF的度数为65°或

答案图③

答案图④19.如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点A的坐标（3，4），反比例函数

y=kx(x＞0)（1）求k的值；（2）AB的垂直平分线交反比例函数

y=kx(x＞0)的图象于点E，连接AE19.解：（1）∵A点坐标(3，4)，四边形OABC是菱形，∴C（5，0），B（8，4），∴

D(∴k＝13．（2）如图，∵E在AB的垂直平分线上，∴E点横坐标为112将x=112

代入y

=13∴

E(过A作AH⊥x轴于H，AB的垂直平分线交x轴于F，则S△AOE＝S△AOH+S梯形AHFE﹣S△FOE

=120.近年来我市大力实施河渠综合治理，水域治理效果显著，不仅有效改善了环境，提升城市的防洪能力，同时也提升了群众生活的幸福指数和城市美丽指数．为了满足市民健康和休闲的需要，我市某区在一条东西走向的小河AB的两侧开辟了两条健康步道，如图所示，小河北岸的步道由三个半圆形组成．经数学兴趣小组勘测，点C在点A的南偏东53°方向5km处，点C在点B的南偏西45°方向．该小组成员小聪认为小河北岸健康步道的长度不超过10km．请通过计算判断小聪的说法是否正确．（结果精确到1km．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，π取3.14）20.解：小聪说法不正确，理由如下，如图，过C作CD⊥AB

于D，垂足为D，由题意得，∠CAD＝90°﹣53°＝37°，∠CBD＝45°，AC＝5km，在Rt△ACD中，CD＝AC•sin37°≈5×0.6＝3（km），AD＝AC•cos37°≈5×0.8＝4（km），在Rt△BCD中，BD＝CD＝3km，AB＝AD+BD＝7km，∴北岸健康步道的长度为

12×73π×3

=72π

≈7∵11＞10，∴小聪的说法不正确．21.洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截至目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体的综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y（元）与购进A种饰品的数量x（件）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的出售方案，并求出最大利润．21.解：（1）设A饰品每件的进价是a元，B饰品每件的进价是b元．根据题意，得

9a解得

a∴A饰品每件的进价是20元，B饰品每件的进价是25元．（2）①购进B种饰品的数量是（400﹣x）件．根据题意，得150≤x≤300．当150≤x≤250时，y＝（30﹣20）x+（30﹣25）（400﹣x）＝5x+2000；当250＜x≤300时，y＝（30﹣20）×250+（30﹣20﹣3）（x﹣250）+（30﹣25）（400﹣x）＝2x+2750；∴y

=5②当150≤x≤250时，y＝5x+2000，∵5＞0，∴y随x的增大而增大，∵150≤x≤250，∴当x＝250时，y值最大，y最大＝5×250+2000＝3250；当250＜x≤300时，y＝2x+2750，∵2＞0，∴y随x的增大而增大，∵250＜x≤300，∴当x＝300时，y值最大，y最大＝2×300+2750＝3350；∵3350＞3250，∴当购进A种饰品300件、B种饰品100件时获利最大，最大利润是3350元．22.定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．（1）点G（-3，-3）是反比例函数

y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐（2）如图，已知点A，B是抛物线

y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接（3）在0＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是

．22.解：（1）（3，3）；【解法提示】（1）∵点G（﹣3，﹣3）是反比例函数

y1=kx图象上的一个“梦之点”，∴﹣3

=k−3，解得k＝9，∴反比例函数为y1

=9x，令y1＝x，则x

=9x，解得x＝3或x＝﹣3，经检验，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，∴该函数图象上的另一个“梦之点（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵y

=−12x2+x

+92=−1∴抛物线的顶点C（1，5），在y

=−12x2+x

+92中，令y＝x得x

=−1解得x＝3或x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）﹣1＜m＜2；【解法提示】在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，解得x＝m或x＝m+1，∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象的“梦之点”为（m，m）或（m+1，m+1），∵0＜x＜2，∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，∴当﹣1＜m＜2时，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”.23.【综合与实践】在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．【操作探究】“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形ABCD进行了如下操作：第1步：如图①所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．证明过程如下：连接CH，∵正方形ABCD沿CE折叠，∴∠D＝∠B＝∠CGH＝90°，①

，又∵CH＝CH，∴△CGH≌△CDH，∴GH＝DH．由题意可知E是AB的中点，设AB＝2a，DH＝x，则AE＝BE＝EG＝a，在Rt△AEH中，可列方程：②

，（方程不要求化简）解得，DH＝③

，即H是AD边的三等分点．“励志”小组对矩形纸片ABCD进行了如下操作：第1步：如图②所示，先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：再将矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，再展开铺平，折痕为BD，沿CE翻折得折痕CE交BD于点G；第3步：过点G折叠矩形纸片ABCD，使折痕MN∥AD．【过程思考】（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：

，②：

，③：

；（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为AB边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．【拓展提升】如图③，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD的边交于点F，请直接写出D′F的长．23.解：（1）①CG＝CB＝CD，②（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③

23a【解法提示】（1）根据证明过程得：①CG＝CB＝CD，②在Rt△AEH中，由勾股定理得AH2+AE2＝EH2，即（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③解方程得x

=23a，即DH

=（2）结论正确；理由：∵先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF，∴E、F分别是AB，CD的中点，∴BE

=12∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△BEG∽△DCG，