（讲评用卷）2024年河南开封二模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南开封二模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.下列各数中，与|−2|相加等于0的数是（）A．2 B．−2C．12

D．1.B【解析】∵|−2|＝2，∴与|−2|相加等于0的数是−2．2.如图是一个物体的三视图，则这个物体可以是（）2.C【解析】根据主视图发现该物体由两层组成，根据左视图和俯视图确定该物体底层是长方体，第二层是圆柱，且圆柱的底面直径等于长方体的宽.3.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有0.000000076克，数据0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10−7

B．7.6×C．7.6×10−8

D．76×3.C【解析】0.000000076＝7.6×10−4.将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°4.B【解析】∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°

−∠C＝90°

−30°＝60°．∵∠E＝45°，∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°

−∠E＝90°

−45°＝45°．∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠FAB＝180°

−60°

−45°＝75°，又∵∠ABF＝90°，∴∠F＝90°

−∠FAB＝90°

−75°＝15°．5.数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝−x−1与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点（1，−2），则不等式−x−1＜mx+n的解集在数轴上表示正确的是（）5.A【解析】由一次函数的图象可知，当x＞1时，一次函数y＝−x−1的图象在一次函数y＝mx+n的图象的下方，∴不等式−x−1＜mx+n的解集是x＞1，∴在数轴上表示x＞1，只有选项A符合题意．6.如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成面积相等的四部分，修路的方法有（）A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种6.D【解析】由正方形是中心对称图形，可知经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，则这两条直线把草地分成面积相等的四部分，即修路方法有无数种．7.若关于x的一元二次方程ax2

−2x

−1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．2

B．0C．-1 D．-27.A【解析】根据题意，得b2−4ac＝4−4a×(−1)＝4+4a＞0，解得a＞−1，又∵a

≠0，∴a的值可以是

8.如图为小聪某次从家出发去公园游玩的行程，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）8.A【解析】由题意可知，小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，∴C、D错误；小聪在凉亭休息10分钟，∴A正确，B错误．9.如图，点A(3a，a)是反比例函数y=kx(k＞0)的图象与⊙A．y=B．y=C．y=D．y9.D【解析】设圆的半径是r．根据圆的对称性及反比例函数的对称性可得14πr2＝4π，解得r＝4(负值已舍去)．∵点A（3a，a）是反比例函数y=kx(k＞0)的图象与⊙O的一个交点，∴3a2＝k且

(−3a)2+(−a)2=r=4，∴a210.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4

cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向点B运动（当点Q运动到点B时，点P、Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（）A．152cm

2B．92cm

2C．154cm

2D．94cm

10.C【解析】设点P的运动时间为x，四边形PABQ的面积为y，则AP＝x，CQ＝2x．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴CA

=AB2−BC2=3cm，∴CP＝3﹣x，∴y

=12×3×4

−12×2x·（3﹣x）＝（x

−32）2

+154，∴当x

=32时二、填空题11.北京冬季里某一天的气温为﹣3℃～3℃，﹣3℃的含义是

．11.零下3℃【解析】﹣3℃的含义是零下3℃．12.不等式组1−2x≥12.3【解析】1−2x≥−3①x+22＞−1②，解不等式①，得x≤2；解不等式②，得x＞∴不等式组的正整数解为1，2，∴不等式组的正整数解的和为1+2＝3.13.某校“综合与实践”小组为了解全校2400名学生的每周阅读课外书的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制了如图所示的统计图：（只能单选，每项含最小值，不含最大值）您平均每周阅读课外书的时间大约是：A.8小时及以上B.6～8小时C.4～6小时D.0～4小时估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为

．13.1152名【解析】2400×（32%+16%）＝1152（名），∴估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为1152名.14.我国古代算书《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”其大意是现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买x个，苦果买y个，则可列方程组为

．14.x【解析】每个甜果的价格为119文，每个苦果的价格为47文，根据题意得，15.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝16，EF是△ABC的中位线，D是边AB上一点，AD＝2，P是线段DB上的一个动点，连接EP，DF相交于点O．若△DOP是直角三角形，则OE的长是

．15.162929或【解析】∵∠A＝∠B＝45°，∴AC＝BC，∴∠C＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形.∵AB＝16，∴AC＝BC＝8

2.∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，CF＝BF＝4

2，EF

=12AB＝8，∴∠EFO＝∠PDO．①当∠DOP＝90°时，如答案图①，过点F作FH⊥AB于点H，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH＝FH＝4.∵AD＝2，∴DH＝16－2－4＝10.∵∠EFO＝∠PDO，∴tan∠EFO＝tan∠PDO，∴

OEOF=FHDH=410=25.设OE＝2x，OF＝5x.在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+OF2＝EF2，∴（2x）2+（5x）2＝82，解得x

=82929，即OE

=162929；②当∠OPD＝90°时，如答案图②，过点F作FH⊥AB于点H，则FH＝BH＝EP＝AP＝4.∵AD＝2，∴PD＝4－2＝2，∵EF∥AB，∴△EFO∽△PDO，∴三、解答题16.化简：

(xx+

解：原式＝[

x(x−解：原式

=

（1）甲同学解法的依据是

，乙同学解法的依据是

；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．16.解：（1）②，③；解：（2）若选择甲同学的解法：(x＝[x(x−=x=2＝2x；若选择乙同学的解法：(x=x=x＝x﹣1+x+1＝2x．（任选其一即可）17.2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：信息一：安全知识测试共10道题目，每题10分；信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：

60×3信息四：如表所示：

统计量年级平均数中位数众数方差九年级82.580n118.75八年级80.5m70174.75根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝

，n＝

；（2）你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；（3）在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．（4）学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A.交通安全，B.食品安全，C.消防安全，D.网络与信息安全，E.心理健康与安全，请从中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．17.解：（1）75，80；（2）由表知，九年级成绩的方差为118.75，八年级成绩的方差为174.75，∵118.75＜174.75，∴九年级成绩更加稳定；（3）乙同学成绩排名更靠前.∵甲同学成绩正好等于该年级成绩的中位数，而乙同学成绩大于该年级成绩的中位数，∴乙同学成绩排名更靠前；（4）根据题意列表如图下：

第一次第二次ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）．B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由表可知，共有20种等可能的结果，其中七年级选择D和E的结果有2种，∴七年级选择D和E的概率为

22018.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BC⏜的中点，连接（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F．①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；②若DF＝DA，

DE=3，则

BC⏜18.解：（1）如答案图①，直线l即为所求；答案图①（2）①如答案图②，连接OD交BC于点G，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵EF⊥AC，∴∠CED＝90°．∵D是

B︵∴OD⊥BC，∴四边形CEDG是矩形，∴∠ODE＝90°，

CG∵OD是⊙O的半径，∴直线EF与⊙O相切；答案图②②

4π【解法提示】如答案图②，连接OD交BC于点G，∵D是

BC⏜的中点，∴∠BAD＝∠CAD，OD⊥BC，由①得，CG＝DE，∴

BC=2CG=23，∵DF＝DA，∴∠AFD＝∠BAD，∴∠AFD＝∠BAD＝∠CAD，∴∠ADE＝∠BAC＝2∠BAD，∵∠ADE+∠CAD＝90°，∴∠AFD＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∴∠AOD＝120°，∵

sin∠BAC=BCAB，∴19.水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：（1）试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．时间t/min510152025…水量

y/mL173247a77…（2）探究：根据上表中的数据，请判断y

=k1t（k1≠0）和y＝k2t+b（k2≠0，k2，b为常数）哪个表达式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该表达式并写出漏记的（3）应用：①兴趣小组用100mL量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？②成年人每天大约需饮水1600mL，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数．19.解:（2）y＝k2t+b（k2≠0，k2，b为常数）能准确的反映水量y与时间t的函数关系，由题意得

5k解得

k2∴y与t的函数表达式为y＝3t+2，当t＝20时，y＝a＝3×20+2＝62；（3）①当t＝30时，y＝3×30+2＝92＜100，∴在第30分钟量筒没有滴满；②当t＝30×24×60＝43

200时，y＝3×43200+2＝129602，129602÷1600＝81……2，∴水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用81天．20.如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图②所示是其侧面结构示意图．已知托板长AB＝150mm，支撑板长CD＝603mm，BC＝60mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板CD可绕点D转动，（结果精确到0.1mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5（1）若∠DCB＝75°，∠CDE＝60°，点A到底座DE的距离是

mm；（2）为了观看舒适，在（1）中的∠DCB＝75°调整成90°，再将CD绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线DE上，则CD顺时针旋转的角度为

°，此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？20.解：（1）153.5；【解法提示】如答案图①所示，过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CH⊥AG，垂足为H，由题意得，CF＝GH，CH∥DE，∴∠DCH＝∠CDE＝60°，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝60

3mm，∴CF＝CD•sin60°＝60

3×32=90（mm），∵∠DCB＝75°，∴∠ACH＝180°－∠DCB－∠DCH＝45°，∵AB＝150mm，BC＝60mm，∴AC＝AB－BC＝150﹣60＝90（mm），在Rt△ACH中，AH＝AC•sin45°＝90

×22=45

2（mm），∴AG＝AH+HG＝45

2+90≈153.5（mm），∴答案图①（2）30；此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是减小了23.7mm.【解法提示】（2）如答案图②所示，过点A作AM⊥DE，垂足为M，∵∠DCB＝90°，CD＝60

3mm，BC＝60mm，∴tan∠D

=BCCD=60603=33，∴∠D＝30°，∴CD顺时针旋转的角度＝60°－30°＝30°；∵∠DCB＝90°，∠D＝30°，∴∠DBC＝90°－∠D＝60°，∵在Rt△ABM中，AB＝150mm，∴AM＝AB•sin60°＝150

×32=75

3（mm），∴此时点A到底座DE的距离为75

3mm，∵153.5

−75

3≈153.5答案图②21.读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书的价钱比每本乙种书的价钱多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元．（1）求甲、乙两种书的单价；（2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过2800元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？21.解：（1）设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为（x﹣10）元，由题意得

1750x解得x＝35，经检验，x＝35是原分式方程的解，且符合实际，∴x－10＝35－10＝25，答：甲、乙两种书的单价分别为35元、25元；（2）设该校购买了甲种书m本，则购买了乙种书（100－m）本，则35m+25（100－m）≤2800，解得m≤30，∴该校最多可以购买30本甲种书．22.根据以下素材，探索并完成任务．

探究汽车刹车性能“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．素材1刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．素材2汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：刹车后汽车行驶时间t（s）1234刹车后汽车行驶距离y（m）27486372素材3该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系y＝at2+bt（a≠0）、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．（1）任务一：求y关于t的函数表达式；（2）任务二：汽车司机发现正前方90m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．22.解：（1）由题意，设y＝at2+bt+c，将（1，27），（2，48），（3，63）代入，得a+解得a=∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣3t2+30t．（2）不会，理由如下：∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t－5）2+75，∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75m，∵75＜90，∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．23.问题情境：“综合与实践”课上，李老师进行如下操作，将图①中的矩形纸片沿着对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ACB和△DEG，其中∠ACB＝∠DEG＝90°，∠A＝∠D，将△ACB和△DEG按图②所示的方式摆放，其中点B与点G重合（标记为点B），并将△DEG绕点B旋转，