（讲评用卷）2023年河南南阳一模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南南阳一模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（）A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃1.D2.下列几何体的三视图中没有矩形的是（）2.D【解析】A.该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；B.该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；C.该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；D.该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意.3.多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2 D．（x﹣2）23.D【解析】原式＝（x﹣2）2．4.下列语句所描述的事件是随机事件的是（）A．两点确定一条直线 B．清明时节雨纷纷 C．没有水分，种子发芽 D．太阳从东方升起4.B【解析】A.两点确定一条直线是必然事件，因此选项A不符合题意；B.清明时节雨纷纷是随机事件，因此选项B符合题意；C.没有水分，种子发芽，是不可能事件，因此选项C不符合题意；D.太阳从东方升起是必然事件，因此选项D不符合题意．5.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若DE∥AC，则图中的∠1度数是（）A．60° B．75° C．90° D．105°5.B【解析】如图，设AB与DE交与点G，∵DE∥AC，∴∠EGB＝∠A＝30°，∴∠1＝∠EGB+∠E＝30°+45°＝75°．6.下面两图是某班全体学生上学时，乘车，步行，骑车的人数分布条形统计图和扇形统计图（两图均不完整），则下列结论中错误的是（）上学方式的条形统计图

上学方式的扇形统计图A．该班总人数为50人B．骑车人数占总人数的20%C．乘车人数是骑车人数的2.5倍D．步行人数为30人6.D【解析】根据条形图可知：乘车的人数是25人，所以总数是25÷50%＝50人；骑车人数在扇形图中占总人数的20%；则乘车人数是骑车人数的2.5倍；步行人数为30%×50＝15人.7.“南阳，一个值得三顾的地方”，为加快省城域期中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场成公园，已知某正方形公园的边长为5×102m，则其面积用科学记数法表示为（）A．5×104m2 B．25×104m2C．2.5×105m2 D．2.5×104m27.C【解析】正方形的面积为：5×102×5×102＝2.5×105（m2）．8.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，顶点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（）A．(0B．(0C．(0D．(8.A【解析】由题意知，∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，设EA＝EC＝x；由题意得，OA＝1，OC＝AB＝3；在△CDE中，由勾股定理得x2＝12+（3﹣x）2，解得x=53，∴OE＝3−53=43，∴E点的坐9.一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为（）(参考数据：sin37°≈

35，cos37°≈

45，tan37°≈

A．27海里 B．50海里C．75海里 D．153海里9.C【解析】如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝45海里，∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△PAB中，sin∠B=PAPB，PB=PAsin∠B=10.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72023的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．810.A【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…∴7n的尾数1，7，9，3循环，∴70+71+72+73的个位数字是0，∵2024÷4＝506，∴70+71+…+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，∴70+71+…+72023的结果的个位数字是0.二、填空题11.用一根小木棒与两根长分别为3cm、6cm的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为

cm.(写出一个即可)11.4(答案不唯一，大于3而小于9的任意数)【解析】设这根木棒长为xcm，∵这根木棒与两根长分别为3cm、6cm的小木棒围成三角形，∴6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，即x的取值范围是3＜x＜9，在这一范围内任意长度都可以．12.若关于x的x2－2x＋k＝0没有实数根，则k的最小整数值是

．12.2【解析】根据题意，得b2-4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k=4﹣4k＜0，解得k＞1，则k的最小整数解为2.13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC长是

．13.25【解析】∵AB＝AC＝5，BE＝2，∴AE＝AB﹣BE＝3，由作图知CE⊥AB于点E，∴CE=AC2−AE214.等腰直角三角形△ABC中，AC＝BC＝

3，∠ACB＝90°，D为AB上一点，AD＝2，以A为圆心，AD为半径画弧交BC于点F，交AC的延长线于点E，则图中阴影部分面积为

．14.π3－【解析】如图，连接AF，由已知可得：AF＝2，AC

=3，∠ACF＝90°，∴CF

=AF2−AC2=22−(3)2=1，∴sin∠FAC

=CF15.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪掉一张三角形纸片，剩下一张如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7cm，BC＝9cm，CD＝2cm，AD＝6cm，那么剪掉的三角形纸片的面积是

cm2.15.24或8【解析】①如答案图①，分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MAD的面积是S（cm2），∵∠DAB＝∠C＝90°，AB＝7，BC＝9，CD＝2，AD＝6，∴四边形ABCD的面积为：

12AB⋅AD+12BC⋅CD=12×7×6+12×9×2=30，∴S△MCB＝S+30，∵∠M＝∠M，∠MAD＝答案图①②分别延长AD，BC交于N，设△NCD的面积是S′（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积为30，∴S△NAB＝S′+30，∵∠A＝∠DCB＝90°，AB＝7，BC＝9，CD＝2，AD＝6，∴∠DCN＝∠BAN＝90°，∵∠N＝∠N，∴△NCD∽△NAB，∴

S△NCDS解得

S′=83，经检验，S′=83是原方程的解且符合题意；∴剪掉的三角形纸片的面积是答案图②三、解答题16.计算：(1)3tan60°－(－

12)－1－27(2)(aa2－b2－16.解：(1)原式＝3×3－(－2)－33＝2；(2)原式＝a－（a－＝b（a＋b＝1a17.【问题情境】大自然中的植物千姿百态，细心观察就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果用数学的眼光去观察，会有什么发现呢？数学活动课上，“孔明”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动．【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：序号12345678910杨树叶的长宽比2.02.42.12.42.81.82.42.22.11.7柳树叶的长宽比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差杨树叶的长宽比2.19a2.40.0949柳树叶的长宽比1.511.5b0.0089【问题解决】(1)上述表格中：a＝

，b＝

；(2)①这两种树叶从长宽比的方差来看，

树叶的形状差别较小；②该小组收集的树叶中有一片长11.5cm、宽5cm的树叶，判断这片树叶来自于

树的可能性较大；(3)该小组准备从甲、乙、丙、丁四位成员中随机选出两名进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员甲和乙同时被选中的概率．17.解：(1)2.15，1.5；(2)①柳；②杨；(3)画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名成员同时被选中的结果有2种，则甲和乙两名成员同时被选中的概率为212＝118.【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决。【问题情境】如图①，在正方形中ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、AD上的点，GE⊥BF于点O，求证：GE＝BF.小明尝试平移线段GE到AH，构造△ABH≌△BCF，使问题得到解决．【阅读理解】(1)按照小明的思路，证明△ABH≌△BCF的依据是

；【尝试应用】(2)如图②，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，AB交CD于点M．则∠AMC的度数为

；(3)如图③，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，求tan∠APC的值．18.解：(1)ASA(或AAS)；(2)45°；(3)把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图，则DE∥AB，

∴∠APC＝∠EDC.在△DCE中，有EC＝

22＋12＝

5，DC＝

42＋22＝2

5∵EC2＋DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°.

∴tan∠APC＝tan∠EDC＝

ECDC＝

5219.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x

(天)34568……硫化物的浓度y

(mg/L)432.421.5……(1)求在整改过程中，当0≤x＜3时，y与x的函数表达式；(2)在整改过程中，当x≥3时，y与x的函数表达式是

；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？19.解：(1)前三天的函数图象是线段AB，设函数表达式为y＝kx＋b把(0，10)，(3，4)代入函数关系式，得

b解得

k∴当0≤x＜3时，y与x的函数表达式为：y＝－2x＋10；(2)y＝12x(3)能．理由：解法1:当x＝15时，y＝1215＝0.8∵0.8＜1，所以能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.解法2：令y=12x＝1.0，则x＝12∵3＜12＜15，所以能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.20.如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点Q，过点B作BF⊥QE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：∠ABQ＝2∠C；(2)若sin∠EQC＝

513，⊙O的半径是2，求AF的长20.(1)证明：连接OE，∵EQ是⊙O的切线，∴OE⊥EQ，∵BF⊥QE，∴OE∥AB，∴∠ABQ＝∠BOE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C,

∴∠BOE＝2∠C，∴∠ABQ＝2∠C；(2)∵∠ABQ＝2∠C，∠ABQ＝∠C＋∠A,

∴∠A＝∠C,

∴BA＝BC＝4，在Rt△OEQ中，∵sin∠EQO＝OEOQ，

∴OQ＝OEsin∠E∴BQ＝OQ－OB＝265－2＝16在Rt△FQB中，∵sin∠EQO＝BFBQ，∴BF＝BQ

sin∠EQO＝165×5则AF＝AB－BF＝4－1613＝3621.2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？21.解：(1)设第二批每个挂件进价是每个x元，根据题意得

33001.1x＝

4000x解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意，∴x＝40，答：第二批每个挂件进价是每个40元；(2)设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，∵每周最多能卖90个，∴40＋10×

60－m解得m≥55，根据题意得W＝(m－40)(40＋10×

60－m1)＝－10(m－52)2∵－10＞0，当m≥52时，y随x的增大而减小，∵m≥55，当m＝55时，W取最大，此时W＝－10×(55－52)2＋1440＝1350.∴当定为55元时，每周可获得最大利润1350元.22.综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究．【背景】在菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠PAQ＝∠B，AP、AQ分别交边BC、CD于点

P、Q.(1)【感知】如图①，若点

P是边

BC的中点，小南经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你写出这个关系式

．(2)【探究】如图②，小阳说“点P为BC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．(3)【应用】小宛取出如图③所示的菱形纸片ABCD，测得∠ABC＝60°，AB＝6，在BC边上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ＝60°，AQ交CD于点Q，当AP＝27时，请直接写出线段DQ的长．

图①

图②

图③22.解：(1)AP＝AQ；(2)证法1：过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在菱形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE＝AF；在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ＋∠C＝180°，∴∠APC＋∠AQC＝180°，∵∠APB＋∠APC＝180°，∴∠APE＝∠AQF，∴△AEP≌△AFQ(AAS),

∴AP＝AQ；证法2：如图，连接AC，∵四边