第18讲 圆锥曲线中的极点极线问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page圆锥曲线中的极点极线问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解极点极线的定义如图,设P是不在圆雉曲线上的一点,过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上的点,则过P点的切线即为极线.

同理,PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自极三点形.设直线MN其他定义对于圆锥曲线C:Axl:Ax0x+B⋅x0y+y0x2+C替换原则x0x极点极线的几何意义(以椭圆为例)

已知椭圆方程:x2a2+y2b2=1,设点Px(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。特别地:

(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1,与点Px0,y0对应的极线方程为x0考点一、极点极线初步学习1．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.

(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.2．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.1．（23-24高二下·广东深圳·期中）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆：.(1)点是直线：上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由.(2)点在圆上，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最大值.2．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率为，直线与圆相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆方程，平面上有一点.定义直线方程是椭圆在点处的极线.①若在椭圆上，证明:椭圆在点处的极线就是过点的切线;②若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点.证明:三点共线.考点二、极点极线在圆锥曲线中的应用1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．2．（北京·高考真题）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．3．（全国·高考真题）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.4．（全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．2．（2023·辽宁·二模）已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为，．①求的值；②求直线MN的斜率．3．（2023·湖北·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.5．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设Px0,y0是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，

(1)若轴，求的面积；(2)若，求点的坐标；(3)求的最小值.1．（23-24高二上·山东日照·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的标准方程；(2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，椭圆的上顶点和右顶点分别是和，离心率，，是椭圆上的两个动点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值；(3)试判断直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.3．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

(1)求抛物线的标准方程；(2)当时，求弦AB的长；(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．5．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；(2)求证：直线过定点.6．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，离心率为，P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程；(2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．7．（2023高三·全国·专题练习）已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．(1)求C的方程．(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围8．（23-24高二上·湖北·期中）已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．

(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．②求面积的最大值．9．（23-24高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值．10．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，过点C0,1的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点；(1)当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标；(2)当点异于点时，求证：为定值．1．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切2．（北京·高考真题）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．3．（四川·高考真题）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．4．（北京·高考真题）已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.5．（全国·高考真题）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.6．（北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求.7．（北京·统考高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．8．（四川·高考真