第14讲 圆锥曲线中的定值问题（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第14讲圆锥曲线中的定值问题（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2021年新I卷，第21题,12分双曲线中的定值问题求双曲线的轨迹方程2020年新I卷，第22题,12分椭圆中的定值问题根据椭圆过的点求标准方程椭圆中存在定点满足某条件问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定值问题2.会定值相关的计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习考点一、弦长类定值1．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．2．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．3．（重庆·高考真题）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．4．（江西·高考真题）如图，已知双曲线的右焦点为,点分别在的两条渐近线上，轴，,(为坐标原点）.（1）求双曲线的方程；（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在上移动时，恒为定值，并求此定值.5．（北京·高考真题）已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为．(1)求点的坐标；(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值．2．（24-25高三上·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.3．（2024·全国·模拟预测）已知A是圆E：上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．(1)求动点T的轨迹C的方程；(2)已知点，过点的直线l与C交于M，N两点，求证：．4．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.（i）求与的面积之比；（ii）证明：为定值.6．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于.(1)求椭圆的标准方程.(2)若，直线与的斜率分别为与，求的值.(3)求证：考点二、斜率类定值1．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.2．（2024·河南·二模）已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.3．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.(1)求W的方程；(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.4．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆和双曲线的离心率；(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．1．（2024·全国·模拟预测）设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．(1)求的值：(2)设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．2．（2024·重庆·模拟预测）如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．3．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．考点三、角度类定值1．（北京·高考真题）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值..2．（江西·高考真题）设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB．1．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.(1)探求参数，满足的关系式；(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，．(1)求双曲线的标准方程．(2)若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．考点四、位置关系类定值1．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．1．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为，且该椭圆过点(1)求椭圆E的方程；(2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程；(3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左焦点为F，P，Q分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，（为椭圆的离心率），的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点．求证：四边形为梯形.考点五、向量类定值1．（四川·高考真题）过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．2．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点.(1)若点M的坐标为，求的面积；(2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；(3)若点M的坐标为0,1，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.3．（2024·北京通州·二模）已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．1．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．2．（2023·天津·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线与椭圆C交于A，B

(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求k的值；(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

考点六、面积类定值1．（北京·高考真题）已知椭圆过点两点．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．2．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.3．（2023·广东·一模）已知椭圆：，为坐标原点，若椭圆与椭圆的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点在椭圆上，点A，B在椭圆上，若，则四边形的面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.1．（23-24高二上·陕西西安·期末）设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于两点.(1)求证：;(2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.2．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线AB的斜率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与轨迹交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．3．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点．(1)求椭圆的方程；(2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值．4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.考点七、距离类定值1．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线：，圆：，为坐标原点.(1)若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围；(2)已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.1．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设Px0,y0为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由.考点八、参数类定值1．（北京·高考真题）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．2．（21-22高三下·山东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．(1)求C的方程；(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值.2．（23-24高三上·河北保定·期末）已知动点在上，过作轴的垂线，垂足为，若为中点．(1)求点的轨迹方程；(2)过作直线交的轨迹于、两点，并且交轴于点．若，，求证：为定值．1．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．2．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知椭圆的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为的直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的最大值；(3)设为坐标原点，若三点不共线，且的斜率满足，求证：为定值.3．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.4．（23-24高三上·全国·阶段练习）如图所示，已知抛物线是抛物线与轴的交点，过点作斜率不为零的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，直线与直线交于点．(1)求的取值范围；(2)问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，分别过、两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为线段的中点．(1)证明：为定值；(2)设直线的斜率为，证明：为定值．6．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.7．（23-24高三下·山东·开学考试）已知抛物线是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．(1)当点的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；(2)设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；(3)证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．8．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.(1)求和圆的方程；(2)过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.9．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，过点C0,1的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点；(1)当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标；(2)当点异于点时，求证：为定值．10．（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.(1)求双曲线的方程；(2)若直线交双曲线的右支于两点.①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；②试探究：是否为定值？并说明理由.11．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.(1)求的方程；(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.12．（2024·重庆九龙坡·三模）已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.13．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，虚轴长为6.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与的右支交于两点，若直线与交于点.（i）证明：点在定直线上；（ii）若直线与交于点，求的值.14．（23-24高三上·河北·期末）已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，且的最小值为2．(1)求的方程；(2)过且与垂直的直线交于两点，设直线的中点分别为，过坐标原点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．15．（23-24高三上·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.1．（山东·高考真题）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的