第09讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第09讲圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形（9类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2022年全国甲卷（理科），第12题,5分椭圆定义及辨析椭圆中焦点三角形的面积问题无2022年全国甲卷（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题无2022年新I卷，第16题,5分椭圆中焦点三角形的周长问题求椭圆的标准方程2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算2.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦三角形及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆焦点三角形主要结论在ΔPF1F椭圆定义可知:

(1).PF1+PF2=2a,F1F2双曲线焦点三角形主要结论如图,F1、F2记∠F1PF椭圆、双曲线焦点三角形离心率记∠P则椭圆的离心率为:

e=2c2a=F1F椭圆焦点弦三角形周长F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F双曲线焦点弦三角形周长如图1，F1,F2为双曲线C:x2a2−y椭圆焦点弦三角形面积公式F1、F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b（2）F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于A、B双曲线焦点弦三角形面积公式（1）设直线l过焦点F2且交双曲线x2a2−y2b2=1（2）F1、F2为双曲线C:x2a2−y2b2=（3）F1、F2为双曲线C:x2a2−y2bS抛物线焦点弦三角形面积公式设直线l过焦点F且与抛物线y2=2pxp>0交于A、B两点，直线考点一、椭圆的焦点三角形周长问题1．（23-24高三·阶段练习）已知，是椭圆：的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（

）A． B． C．8 D．102．（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，过点的动直线l交椭圆于A，B两点.若的周长为8，则（

）A．4 B． C．2 D．3．（2022·河北秦皇岛·二模）椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·陕西西安·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（

）A． B．C． D．1．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（

）A．6 B．9 C．12 D．152．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为．考点二、椭圆的焦点三角形面积问题1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东梅州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．1．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为.2．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（

）A．3 B． C．9 D．考点三、双曲线的焦点三角形面积问题1．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为.2．（22-23高二下·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为.3．（2023·四川凉山·一模）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则（

）A．2 B．3 C．4 D．51．（22-23高二上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A． B．2 C． D．42．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（

）A．2 B． C． D．3．（2022·四川成都·三模）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．考点四、椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题1．（全国·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．2．（安徽·高考真题）已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．1．（全国·高考真题）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为A． B．C． D．22．（福建·高考真题）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A． B．或2 C．2 D．3．（福建·高考真题）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于A．或 B．或 C．或 D．或4．（湖北·高考真题）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C．3 D．2考点五、椭圆的焦点弦三角形周长问题1．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为．2．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（

）A．16 B．14 C．12 D．103．（22-23高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（

）A． B．8 C． D．161．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为．2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是.考点六、椭圆的焦点弦三角形面积问题1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．62．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为．1．（2023·全国·高三专题练习）设P为椭圆C：上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为（

）A．24 B．12 C．8 D．62．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（

）A．椭圆的离心率 B．的周长为12C．的面积为 D．为等边三角形考点七、双曲线的焦点弦三角形周长问题1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是.2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（

）A．5 B．16 C．21 D．263．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为．1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是3．（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．考点八、双曲线的焦点弦三角形面积问题1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．62．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．1．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则C的离心率为，的面积为2．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（

）A． B． C．2 D．3考点九、抛物线的焦点弦三角形面积问题1．（全国·高考真题）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A． B． C． D．2．（2022·山西·高三校联考期末）设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．1．（2023·黑龙江校考期末）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知过抛物线的焦点的直线交于，两点，为坐标原点，若的面积为4，则下列说法正确的是（

）A．弦的中点坐标为B．直线的倾斜角为30°或150°C．D．一、单选题1．（2024·山东泰安·二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（

）A．8 B． C． D．3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（

）A． B． C． D．4．（2024·福建三明·三模）已知抛物线的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且满足.若线段中点的横坐标为3，则p的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上一点到焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（

）A． B．1 C． D．27．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．9．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（

）A． B． C． D．10．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(

)A． B． C． D．611．（2024·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于两点，四边形的周长为，若的面积是的面积的2倍（为坐标原点），则（

）A． B． C． D．12．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）设椭圆的左､右焦点分别为，直线交椭圆于点，，若的周长的最大值为16，则的离心率为（

）A． B． C． D．13．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（

）A．3 B． C．3或7 D．或714．（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点．当时，的值为（

）A． B． C． D．815．（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（

）A． B． C．1 D．二、多选题16．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（

）A．的周长为 B．C．的斜率为 D．椭圆的离心率为17．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点的左、右焦点分别为，则（

）A．离心率为 B．的周长为C．以为直径的圆过点 D．18．（23-24高三上·河南·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（

）A．椭圆的长轴长是短轴长的倍 B．线段的长度为C．椭圆的离心率为 D．的周长为19．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（

）A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点）20．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（

）A．双曲线C的虚轴长为 B．C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为21．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（

）A．的离心率为 B．C．点到直线的距离为 D．的周长为822．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得|OP|=7，则下列说法正确的有（

）A． B．C．的面积为2 D．的内切圆半径为三、填空题23．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为．24．（23-24高三下·湖南