第06讲 抛物线方程及其性质（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第06讲抛物线方程及其性质（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2023年新Ⅱ卷，第10题,6分根据抛物线方程求焦点或准线切线长直线与抛物线交点相关问题2023年新I卷，第22题,12分抛物线标准方程求直线与抛物线相交所得弦的弦长由导数求函数的最值(不含参)基本(均值)不等式的应用求平面轨迹方程2023年新Ⅱ卷，第10题,5分抛物线定义的理解根据焦点或准线写出抛物线的标准方程求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦点弦有关的几何性质无2022年新I卷，第11题,5分根据抛物线方程求焦点或准线判断直线与抛物线的位置关系求直线与抛物线相交所得弦的弦长2022年新Ⅱ卷，第10题,5分抛物线定义的理解求直线与抛物线的交点坐标数量积的坐标表示已知两点求斜率2021年新I卷，第14题,5分根据抛物线方程求焦点或准线根据抛物线上的点求标准方程无2021年新Ⅱ卷，第3题,5分根据抛物线方程求焦点或准线已知点到直线距离求参教2020年新I卷，第13题,5分求抛物线焦点弦长无2020年新Ⅱ卷，第14题,5分求抛物线焦点弦长无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用5.会求抛物线的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解，需重点强化训练知识讲解抛物线的定义平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线抛物线的图形数学表达式标准方程的推导设，由定义可知：，等式两边同时平方得：抛物线的标准方程及其几何性质焦点位置轴正半轴轴负半轴轴正半轴轴负半轴图形标准方程焦点坐标准线方程通径通径长：，半通径长：焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）焦点弦的性质考点一、抛物线的定义1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．41．（2023高三·全国·专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为.考点二、抛物线的标准方程1．（2024高三下·江西新余·专题练习）请写出一个以为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方程：.2．（2024·贵州毕节·三模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（

）A． B．C． D．1．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为．2．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（

）A． B． C． D．考点三、抛物线的几何性质1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为.2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（

）A．3 B．4 C．6 D．83．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（

）A．4 B． C．2 D．4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为F，P为抛物线上一点，且满足，设直线PF的倾斜角为，若，则点P的坐标为.1．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则．2．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（23-24高三下·全国·开学考试）抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（

）A．2 B．1 C． D．4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为.考点四、抛物线中的最值问题1．（2024·陕西·二模）已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则.2．（2024·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．23．（2024·江西鹰潭·一模）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为．4．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．35．（2023·河南开封·模拟预测）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（

）A． B． C． D．81．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为.2．（2024·全国·二模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·三模）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．44．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（

）A． B． C． D．考点五、抛物线的简单应用1．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）

A． B． C． D．3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（

）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为米．2．（2023·河北张家口·二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（

）A． B． C． D．3．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（

）A．米 B．米C．米 D．米一、单选题1．（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（

）A． B．4 C． D．82．（2024·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（

）A． B．1 C． D．23．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（

）A．2 B．1 C． D．46．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（

）A． B． C． D．7．（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8二、填空题9．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为．10．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则.一、单选题1．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线E的焦点为F，点P在E上，M为PF的中点，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．3．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题4．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线的焦点，点在C上，过点的直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．抛物线C的方程为 B．抛物线C的焦点为C．直线与C不相切 D．5．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（

）A．的准线方程为 B．周长的最小值为5C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为三、填空题6．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为.7．（2024·福建福州·模拟预测）倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为线段的中点，为上一点，则的最小值为．8．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为.9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为．10．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为.1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为．2．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形4．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．5．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．46．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．7．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（

）A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，