第05讲 古典概率及概率的基本性质（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲古典概率及概率的基本性质（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第14题,5分计算古典概型问题的概率求离散型随机变量的均值均值的性质2024年新Ⅱ卷，第18题,17分利用对立事件的概率公式求概率独立事件的乘法公式求离散型随机变量的均值2023年新Ⅱ卷，第12题,5分利用互斥事件的概率公式求概率独立事件的乘法公式独立重复试验的概率问题2022年新I卷，第5题,5分计算古典概型问题的概率实际问题中的组合计数问题2022年新Ⅱ卷，第19题,12分利用对立事件的概率公式求概率频率分布直方图的实际应用由频率分布直方图估计平均数计算条件概率2022年全国甲卷（理），第15题,5分计算古典概型问题的概率组合计数问题2022年全国乙卷（理），第10题,5分利用互斥事件的概率公式求概率独立事件的乘法公式2022年全国乙卷（理），第13题,5分计算古典概型问题的概率实际问题中的组合计数问题2021年全国甲卷（理），第10题,5分计算古典概型问题的概率不相邻排列问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握古典概型的定义，并会相关计算2.理解并掌握概率的基本性质3.会计算互斥事件及对立事件的概率【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的辨析及计算，需强化训练知识讲解1．古典概型特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步骤(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点一、古典概型的概率计算1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．2．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．5．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A． B． C． D．考点二、有无放回抽样的概率1．（浙江·高考真题）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．2．（浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则；．3．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为．1．（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.考点三、判断互斥事件与对立事件1．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（

）A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”2．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（

）A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件3．（2023·山东聊城·模拟预测）（多选）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球2．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（

）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立3．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（

）A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件考点四、互斥事件的概率加法公式1．（2023·全国·统考模拟预测）在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（

）A． B．C． D．2．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（

）．A． B． C． D．1．（2022·江苏·高三专题练习）已知随机事件，互斥，且，，则.2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的个数为（

）①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个事件，则；③若事件，，两两互斥，则．A． B． C． D．3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A与事件B是互斥事件，则（

）A． B．C． D．考点五、利用互斥事件概率公式求概率1．（2024高三·全国·专题练习）某单位电话总机室内有两部外线电话和，在同一时间内，打入电话的概率是0.3，打入电话的概率是0.4，两部同时打入电话的概率是0.1，则至少有一部电话打入的概率是．2．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知事件两两互斥，若，，，则（）．A． B． C． D．3．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（

）A． B． C． D．1．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.752．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为()A． B． C． D．考点六、利用对立事件的概率公式求概率1．（2024·陕西·二模）从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为．2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则．1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·河北·模拟预测）某医院需要从4名女医生和2名男医生中抽调3人参加社区的老年义诊活动，则至少有1名男医生参加的概率为（

）A． B． C． D．3．（2024·山西太原·模拟预测）由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据．车辆甲乙丙丁抽检数量/个35605055合格数量/个32564753若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为（

）A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.121．（已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.82．（2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽·期中）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（

）A．恰好两件正品与恰好四件正品B．至少三件正品与全部正品C．至少一件正品与全部次品D．至少一件正品与至少一件次品4．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）若为随机事件，且，则（

）A．若为互斥事件，则B．若为互斥事件，C．若为相互独立事件，D．若，则5．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③6．（24-25高三上·上海·开学考试）已知事件与事件是互斥事件，则（

）A． B．C． D．7．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（多选）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（

）A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件8．（2023·河南·模拟预测）从A，B等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A，B不同时入选的概率为．一、单选题1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）从甲、乙等7名同学中随机选2名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为.2．（23-24高二下·新疆·期中）某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（

）A． B． C． D．3．（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（

）A．若，则事件A，B为对立事件B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大C．若A，B为互斥事件，则D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则4．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为.5．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为．1．（全国·高考真题）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A． B． C． D．2．（山东·统考高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（

）A． B． C． D．3．（辽宁·高考真题）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为A． B． C． D．4．（重庆·高考真题）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为A． B． C． D．5．（广东·高考真题）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（

）A． B． C． D．6．（全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．7．（全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．8．（重庆·高考真题）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（

）．A． B． C． D．9．（辽宁·高考真题）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A． B．C． D．10．（福建·高考真题）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于A． B． C． D．11．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为A． B． C． D．12．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件13．（安徽·高考真题）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．14．（陕西·高考真题）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为A． B． C． D．15．（重庆·高考真题）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是