第01讲 分类加法原理与分步乘法原理（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第01讲分类加法原理与分步乘法原理（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅱ卷，第14题,6分分步乘法计数原理全排列问题解读写出基本事件2023年新I卷，第13题,5分分类加法计数原理实际问题中的组合计数问题2023年新Ⅱ卷，第3题,5分分步乘法计数原理及简单应用抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算实际问题中的组合计数问题2023年全国甲卷（理），第9题,5分分类加法计数原理排列数的计算2023年全国乙卷（理），第7题,5分分步乘法计数原理及简单应用排列数的计算实际问题中的组合计数问题2020年全国乙卷（理），第14题,5分分步乘法计数原理及简单应用相邻问题的排列问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习知识讲解1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．使用分类加法计数原理时两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．考点一、分类加法原理1．（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．（2023·全国·高三专题练习）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（

）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种1．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有种不同的去法.（用数字回答）2．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个.考点二、分步乘法原理1．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种2．（全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．91．（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（

）A．3种 B．7种 C．12种 D．24种2．（2024·山东菏泽·二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（

）A．9种 B．36种 C．38种 D．45种3．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（

）A．12种 B．24种 C．30种 D．60种考点三、两个计数原理的综合应用1．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．2．（2024·河南信阳·模拟预测）从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（

）A．12个 B．10个 C．8个 D．7个3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（

）A．6 B．12 C．24 D．481．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（

）个.A．212 B．213 C．224 D．2252．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（

）种.A．10 B．9 C．8 D．121．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（

）种A．10 B．20 C．30 D．602．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（

）A．72种 B．108种 C．126种 D．144种3．（2024·陕西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（

）A．112 B．80 C．64 D．324．（2024·河南濮阳·模拟预测）某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（

）A．18 B．24 C．36 D．485．（23-24高二下·天津北辰·期中）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（

）A．48 B．30 C．24 D．66．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（

）A．8 B．12 C．18 D．727．（24-25高三上·北京·阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（

）A．36种 B．60种 C．120种 D．180种8．（24-25高三上·广东·阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为．（用数字作答）9．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为.10．（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是.1．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（

）个.A．212 B．213 C．224 D．2252．（2024·广东深圳·模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（

）种不同的测试方法．A．114 B．90 C．106 D．1283．（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（

）A．3000 B．3360 C．1440 D．15604．（23-24高二下·浙江杭州·期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（

）A．50 B．150 C．240 D．3005．（24-25高三上·浙江·阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（

）A．20种 B．40种 C．80种 D．160种6．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有个．7．（2024·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成个不同的四位数（用数字回答）．8．（23-24高二下·吉林长春·期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）9．（2024高三·全国·专题练习）用，，，，，这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第个数是．10．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）现有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有种.1．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种2．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．203．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．4．（北京·高考真题）从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为A．24 B．18 C．12 D．65．（全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（