电工电子技术-第2章-正弦交流电路

单相正弦交流电路的基本概念2.1第2章正弦交流电路正弦交流电的相量表示法

2.2单一参数的正弦交流电路2.3多参数组合的正弦交流电路2.4学习要点了解单相交流电路的几个概念；掌握正弦交流电的基本特征；熟悉相量表示法；理解单一参数上的伏安关系第2章正弦交流电路掌握多参数组合电路的简单计算及分析方法；理解提高功率因数的意义和方法；正确区别各种功率的概念。2.1单相交流电路的基本概念大小和方向均随时间变化的电压或电流称为交流电。如等腰三角波矩形脉冲波正弦波其中，大小和方向均随时间按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电。正弦交流电广泛应用于工农业生产、科学研究及日常生活中，了解和掌握正弦交流电的特点，学会正弦交流电路的基本分析方法，是本章学习的目的。1.正弦交流电的频率、周期和角频率正弦量变化一个循环所需要的时间称周期，用T表示。T=0.5s正弦量一秒钟内经历的循环数称为频率，用f表示。正弦量一秒钟内经历的弧度数称为角频率，用ω表示。显然三者是从不同的角度反映的同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。1秒钟f=2Hz单位是赫兹单位是秒ω=4πrad/s单位是每秒弧度2.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值正弦量随时间按正弦规律变化，对应各个时刻的数值称为瞬时值，瞬时值是用正弦解析式表示的，即：

瞬时值是变量，注意要用小写英文字母表示。瞬时值对应的表达式应是三角函数解析式。(1)瞬时值(2)最大值正弦量振荡的最高点称为最大值，用Um(或Im)表示。

有效值是指与正弦量热效应相同的直流电数值。Ri交流电流i通过电阻R时，在t时间内产生的热量为Q；例直流电流I通过相同电阻R时，在t时间内产生的热量也为Q。两电流热效应相同，可理解为二者做功能力相等。我们把做功能力相等的直流电的数值I定义为相应交流电i的有效值。有效值可确切地反映正弦交流电的大小。(3)有效值

有效值是根据热效应相同的直流电数值而得，因此引用直流电的符号，即有效值用U或I表示。RI

理论和实践都可以证明，正弦交流电的有效值和最大值之间具有特定的数量关系，即：3.正弦交流电的相位、初相和相位差显然，相位反映了正弦量随时间变化的整个进程。

初相确定了正弦量计时始的位置，初相规定不得超过±180°。(1)相位(2)初相相位是随时间变化的电角度，是时间t

的函数。初相是对应t=0时的确切电角度。正弦量与纵轴相交处若在正半周，初相为正。正弦量与纵轴相交处若在负半周，初相为负。例u、i的相位差为：

显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等于它们的初相之差。已知(3)相位差，求电压与电流之间的相位差。解注意不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差不得超过±180°!思考回答何谓正弦量的三要素？它们各反映了什么？耐压为220V的电容器，能否用在180V的正弦交流电源上？何谓反相？同相？相位正交？超前？滞后？正弦量的三要素是指它的最大值、角频率和初相。最大值反映了正弦量的大小及做功能力；角频率反映了正弦量随时间变化的快慢程度；初相确定了正弦量计时始的位置。

不能！因为180V的正弦交流电，其最大值≈255V>180V!u1与u2反相，即相位差为180°；u3ωtu4u2u1uu3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。u1与u4同相，即相位差为零。2.2正弦交流电的相量法相量特指与正弦量具有一一对应关系的复数。如：正弦量的最大值对应复数A的模值；

ωu显然，复数A就是正弦电压u的相量。二者具有一一对应关系。正弦座标复数座标正弦量的初相与复数A的幅角相对应；

正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω；

正弦量的相量是用复数表示的。因此学习相量法之前应首先复习巩固一下有关复数的概念及其运算法则。复数A在复平面上是一个点；a2a1A原点指向复数的箭头称为复数A的模值，用a表示；模a与正向实轴之间的夹角称为复数A的幅角，用ψ表示；A在实轴上的投影是它的实部数值a1；复数A用代数形式可表示为由图可得出复数A的模a和幅角ψ与实部、虚部的关系为：aA在虚轴上的投影是它的虚部数值a2；＋j＋10由图还可得出复数A与模a及幅角ψ的关系为：复数在电学中还常常用极坐标形式表示为：由此可推得A的三角函数表达式为：＋j0a2＋1a1Aa复数的表示形式有多种，它们之间可以相互转换。已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。根据模和幅角可直接写出极坐标形式：A=5/53.1°由此可得复数A的代数形式为：解实部虚部例显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。设有两个复数分别为：A、B加、减、乘、除时运算公式如下：复数的运算法则在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：注意：上式中的j称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针旋转90°。

※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别于电流而改为j。+1+j034-3-4ABCD与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：其有效值相量为：

由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或有效值，幅角对应正弦量的初相。正弦量的相量表示法把它们表示为相量后画在相量图中。已知两正弦量两电压的有效值相量为画在相量图中：熟练后可直接画作正弦量的相量图表示法

按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。+1+j0选定某一个量为参考相量，另一个量则根据与参考量之间的相对位置画出。例分析利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。举例如下：U利用相量图辅助分析，U2U1根据平行四边形法则，量图可以清楚地看出：U1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2由相量与正弦量之间的对应关系最后得例解三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！由相形的勾股弦定理：根据直角三角夹角检验学习结果如何把代数形式变换成极坐标形式？极坐标形式又如何化为代数形式？相量等于正弦量的说法对吗？正弦量的解析式和相量式之间能用等号吗？利用几何图形关系，如利用三角函数关系，如说法不对！相量和正弦量之间只有对应关系，没有相等之说。因此，解析式和相量式之间不能画等号！2.3单一参数的正弦交流电路1.电阻元件（1）电阻元件上的电压、电流关系iR

u电流、电压的瞬时值表达式相量图u、i

即时对应！u、i

同相！u、i最大值或有效值之间符合欧姆定律的数量关系。相量关系式UI（2）电阻元件上的功率关系1)瞬时功率p瞬时功率用小写！则结论：1.p随时间变化；2.p≥0；耗能元件。uip=UI-UIcos2tUI－UIcos2tωtuip0由:可得瞬时功率在一个周期内的平均值:P=UI求“220V、100W”和“220V、40W”两灯泡的电阻。平均功率用大写！可见，额定电压相同时，瓦数越大的灯泡，其灯丝电阻越小。而电压一定时，瓦数越大向电源吸取的功率越多，视其为大负载。学习时一定要区别大电阻和大负载这两个概念。2)平均功率P(有功功率)把ui数量关系代入上式：例解3.电感元件（1）电感元件上的电压、电流关系i

uL电流、电压的瞬时值表达式导出u、i的有效值关系式：u、i

动态关系！u在相位上超前i90°电角！上式称为电感元件上的欧姆定律表达式。Lu、i

最大值的数量关系为：IU相量图为：电感元件上的电压、电流相量关系式为：式中XL称为电感元件的电抗，简称感抗。感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用。单位也是[Ω]。感抗与哪些因素有关？直流情况下感抗为多大？感抗与频率成正比，与电感量L成正比。直流情况下频率f等于零，因此感抗等于零，电感元件相当于短路。（2）电感元件的功率

1）瞬时功率p则uip=ULIsin2tωtui

关联,建立磁场;吸收电能;p>0ui

非关联,释放磁能;供出能量p<0ui

关联,建立磁场;吸收电能；p>0ui

非关联,释放磁能;供出能量；p<0p为正弦波，频率为ui的2倍；在一个周期内，L吸收的电能等于它释放的磁场能。问题与讨论2.能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？f变化时XL随之变化，导致电流i变化。

不能！感性设备如果没有无功功率，则无法建立磁场及正常工作！无功功率意味着只交换不消耗。为和有功功率相区别，无功功率的单位定义为乏尔[Var]。

2）平均功率P电感元件不耗能！电感元件虽然不耗能，但它与电源之间的能量交换始终在进行，这种电能和磁场能之间交换的规模可用无功功率来衡量。即：1.电源电压不变，当电路的频率变化时，通过电感元件的电流发生变化吗？

3）无功功率Q电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型。如下图所示。两块平行的金属极板就可构成一个电容器。

C在外电源作用下，电容器两极板分别存贮等量的异性电荷形成电场。+－US+q-qE电容器的储能本领用电容量C表示：式中电荷量q的单位是库仑[C]；电压u的单位是伏[V]；电容量C的单位为法拉[F]。实用中还有较小的单位，它们之间的换算关系如下：3.电容元件能够容纳和存储电荷的器件1F=106μF=109nF=1012pF设UIC

i超前u90°电角！（1）电容元件上的电压、电流关系则ui相量表达式

C

u

iC其中

称为电容元件的电抗，简称容抗。容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。相量图

i和u

有效值符合欧姆定律！（2）电容元件的功率1)瞬时功率p瞬时功率iup=UICsin2tωtui

关联,电容充电;建立电场;p>0ui

非关联,电容放电;释放能量;p<0ui

关联,电容充电;建立电场;p>0ui

非关联,电容放电;释放电能;p<0

电容器的基本工作方式是充放电。在一个周期内C充电吸收的电能等于它放电时释放的电能。电容元件不耗能！容抗与频率成反比，与电容量成反比。

直流情况下频率f等于零，因此容抗等于无穷大，即直流下电容器相当于开路。[Var]

2）平均功率P电容元件不耗能！电容元件和电源之间的能量交换规模也是用无功功率衡量的。即：

3）元功功率Q问题与讨论1.直流情况下，电容器的容抗多大？2.容抗与哪些因素有关？1.电感元件在直流、高频交流电路中如何？2.电容元件在直流、高频交流电路中如何？3.无功功率能否认为是无用之功？如何正确理解无功功率的概念？有功功率、无功功率的单位相同吗？4.感抗、容抗和电阻有何相同？有何不同？5.电压、电流相位如何时只吸收有功功率？只吸收无功功率时二者相位又如何？6.即时元件指得是什么？动态元件又指的是什么？所谓即时和动态是根据什么而言的？7.电容器的主要工作方式是什么？电容器的极间电压很大时，是否此时电流也一定很大？8.你能得出电容和电感两元件之间有哪些特点吗？练习与思考想想练练1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？判断下列表达式的正误。2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。3.纯电容元件在交流电路中电压与电流之间的相位差是多少？容抗与频率有何关系？判断表达式的正误。2.4多参数组合的正弦交流电路I

U

URajXLR－jXC

UL

UCb电路相量模型1、R、L、C串联电路的相量分析法设可得对假想回路列相量形式的KVL方程：为电路参考相量

式中复阻抗Z的模值对应正弦交流电路中的阻抗|z|，幅角对应总电压与电流的相位差。阻抗|z|反映了多参数串联电路对正弦交流电流总的阻碍作用。阻抗的单位是欧姆[Ω]。对R、L、C串联电路进行相量分析IULURUCURLC串联电路相量图式中由相量图可导出几个三角形UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)由相量图可以看出：UX=UL+UC÷I=阻抗三角形×I2=功率三角形复功率SSPj(QL-QC)注意：上述三角形都是按照感性电路画出的。其中复功率的模对应电路的总功率S，通常称为视在功率(表观功率)。UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)阻抗三角形功率三角形SPj(QL-QC)电压三角形是相量图。它不仅定性反映各电压间的数量关系，还可反映各电压间的相位关系。阻抗三角形不是相量图！它的各条边仅仅反映了各个复阻抗之间的数量关系。功率三角形也不是相量图！其各边也是仅仅表明了各种功率之间的数量关系。2.多参数组合串联电路的功率

观察几个三角形可看出：同相位的电压和电流构成了有功功率P，显然这是由电阻元件耗能的电特性决定的。有功功率P的单位是瓦特。所谓有功，就是说明能量转换过程不可逆，即在能量转换的过程中伴随着消耗。UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)阻抗三角形功率三角形SPj(QL-QC)

由几个三角形还可看出：正交关系的电压和电流构成的是无功功率Q，且规定电感元件的无功功率QL为正值；电容元件的无功功率QC为负值。无功功率Q的单位是乏尔。无功功率是电感元件建立磁场、电容元件建立电场所吸取的能量，因此，无功功率意味着只交换不消耗，即无功功率这部分能量的转换过程是可逆的。UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)阻抗三角形功率三角形SPj(QL-QC)UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)阻抗三角形功率三角形SPj(QL-QC)

视在功率是电路中有功功率和无功功率的总和，是电路中的总功率，三者之间的数量关系为：为区别于有功功率和无功功率，视在功率S的单位规定为伏安。视在功率表征电源或设备的总容量。有关电路性质的讨论由可知，电路的性质取决于电抗UX。当时，UX>0，电路呈感性，u超前i一个φ角；时，UX<0，电路呈容性，u滞后i一个φ角；时，UX=0，电路呈阻性，u和i同相，φ=0。IULURUCUUX=UL+UCIULURUCUUX=UL+UCUX=0IULURUCU同理：在含有L和C的电路中，出现总电压与电流同相的阻性电路时，称电路发生了谐振。电路发生谐振时，情况比较特殊。由于谐振时电抗为零，所以阻抗最小；电压一定时谐振电流最大；在L和C两端将出现过电压情况等等。电力系统中的电压一般为380V和220V，若谐振发生出现过电压时，极易损坏电器，因此应避免谐振的发生。谐振现象被广泛应用在电子技术中。想想练练交流电路中的三种功率，单位上有什么不同？有功功率、无功功率和视在功率及三者之间的数量关系如何？阻抗三角形和功率三角形是相量图吗？电压三角形呢？你能正确画出这几个三角形吗？在含有L和C的电路中出现电压、电流同相位的现象，称为什么？此时RLC串联电路中的阻抗如何？电压一定时电流如何？L和C两端有无电压？多大？3.功率因数电力设备如变压器、感应电动机、电力线路等，除从电力系统吸取有功功率外，还要吸取无功功率。无功功率仅完成电磁能量的相互转换，并不作功。无功和有功同样重要，没有无功，变压器不能变压，电动机不能转动，电力系统不能正常运行。但无功功率占用了电力系统发供电设备提供有功功率的能力，同时也增加了电力系统输电过程中的有功功率的损耗，导致用电功率因数降低。式中cosφ称为电路的功率因数。可得世界各国电力企业对用户的用电功率因数都有要求，并按用户用电功率因数的高低在经济上给予奖惩。功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。提高功率因数意味着：1)提高用电质量，改善设备运行条件，保证设备在正常条件下工作，有利于安全生产；2)可节约电能，降低生产成本，减少企业的电费开支。例如：当cosφ=0.5时的损耗是cosφ=1时的4倍；3)提高企业用电设备利用率，充分发挥企业的设备潜力；4)减少线路的功率损失，提高电网输电效率；5)因发电机容量的限定，提高功率因数将意味着让发电机多输出有功功率。为什么要提高功率因数？1.避免感性设备的空载和减少其轻载；提高功率因数的方法2.在线路两端并联适当电容。提高功率因数的意义1.提高供电设备的利用率；2.减少线路上的能量损耗。一台功率为1.1kW的感应电动机，接在220V、50Hz的电路中，电动机需要的电流为10A，求：(1)电动机的功率因数；(2)若在电动机两端并联一个79.5μF的电容器，电路的功率因数为多少？（1）（2）设未并联电容前电路中的电流为I1；并联电容后，电动机中的电流不变，仍为I1，但电路中的总电流发生了变化，由I1变成I。电流相量关系为：画电路相量图分析：UIICI1IC例解UIICI1IC可见，电路并联了电容C后，功率因数由原来的0.5提高到了0.845，电源利用率得以提高。检