高等数学（第五版）课件 第一章 函数

第一章函数第一章函数

函数是数学的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。本章将介绍函数、三角函数、反三角函数与初等函数的基本知识，为极限与连续的学习奠定必要的基础。

第一节函数的概念

第二节三角函数与反三角函数

第三节初等函数的概述

第四节MATLAB数学实验（一）

第一节函数的概念

世间万物，千变万化。人们为了了解各种自然现象和社会现象，必须研究其变化规律，为此，首先应描述变量与变量之间的依从关系，这就导致“函数”概念的引入。

火车在行驶过程中，其行驶的路程与所花的时间是一种函数关系；放射性元素的质量与衰变时间是一种函数关系；潜水员潜入海底时，随着深度的增加，所受到的海水压力也不断增加，等等，这种变量与变量之间的依从关系不胜枚举，它们都可用“函数”这个概念来描述。

学习这一节实际上是对中学数学有关内容的复习、总结和提高，从而达到温故而知新的效果。第一节函数的概念

1.函数的定义定义1.1设是一个非空数集，如果对于中的每一个，按照某种对应关系，都有唯一确定的值和它对应，则此对应关系称为定义在集合上的一个函数，并把数与相应的数之间的对应关系记为并称为该函数的自变量，为函数值或因变量，为定义域。当自变量取遍定义域中数值时，相应的函数值

取值集合称为函数

的值域。第一节函数的概念

表示什么集合？函数的图像。动脑筋

想一想？第一节函数的概念

（2）函数的定义域和对应关系称为函数的两要素，而函数的值域为派生要素。

说明：（1）“函数”表达了因变量与自变量之间的一种对应关系，这种对应关系用字母“”来表示。因此

是一个函数符号，

绝不意味着“等于

乘以

”。它表示当自变量取值为时因变量

的取值为

。例如，对于函数

，表示运算：于是，

，，等等。第一节函数的概念

求函数的定义域应注意：（1）分式函数的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方式必须大于或等于零；（3）对数函数的真数必须大于零；（5）如果函数表达式中同时含有上述几种函数，则应取各部分

定义域的交集。（4）反正弦函数与反余弦函数的定义域为；说明：常用不等式、区间或集合形式表示定义域。第一节函数的概念

例1.1设

，求

，

，

，

，

。例1.2

判断下列各组函数是否相同？（1）

与（2）

与第一节函数的概念

例1.3求下列函数的定义域。（1）

（2）

（3）第一节函数的概念

例1.4设函数

，求

，

和

。第一节邻域的概念

设是任一正数，表示实数集合开区间称为点的

邻域，其中点称为邻域中心，称为邻域半径。去掉中心的开区间称为点的去心邻域，它表示实数集合

。邻域第一节邻域的概念

动脑筋想一想？（1）点的邻域在数轴上如何表示？（2）点的去心邻域在数轴上如何表示？第一节反函数的概念

定义1.3设是的函数，则由关系式而称为直接函数。如果把看作自变量，看作的函数，所确定的函数称为的反函数，通常用表示自变量，用表示函数，所以，往往把改写成，称为的反函数，记作求反函数的步骤：2.反函数第一节反函数的概念

例1.5

求函数

的反函数。解由，知，用

表示，得，所以函数的反函数是练习

求函数

的反函数。第一节反函数的概念

下列两个函数的图形画在同一个平面直角坐标系上，有什么特点？（1）与；（2）与；（3）与。（1）一样；（2）、（3）关于直线对称。动脑筋想一想？第一节函数的几种属性（1）有界性则称在内有界。设函数的定义域为，数集

，如果存在正数，使得对于任意所对应的函数值都满足不等式第一节函数的几种属性

动脑筋想一想？请给出两个函数，一个在给定区间上有界，另一个在给定区间上无界的例子。第一节函数的几种属性（2）单调性设函数的定义域为，，任取，且，恒有，则称函数在内是单调增加的；如果任取，且，恒有，则称函数在内是单调减少的。

如果函数在内是单调增加的（或单调减少的），则称函数是区间内的单调函数，区间叫做函数的单调区间。函数在区间内的单调增加（或单调减少）的性质，叫做函数的单调性。第一节函数的几种属性

动脑筋想一想？请给出两个函数，一个在给定区间上单调增加，另一个在给定区间上单调减少的例子。第一节函数的几种属性

例1.6用定义判断函数

在区间

内的单调性。第一节函数的几种属性

（3）奇偶性设函数的定义域关于原点对称（即若，必有），设为，其中，对于任意一个，如果恒有，则称为偶函数；如果恒有

，则称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于原点对称。第一节函数的几种属性

动脑筋想一想？

请给出两个函数，一个在给定区间上是奇函数，另一个在给定区间上是偶函数的例子。第一节函数的几种属性

例1.7判断函数的奇偶性

。（1）

（2）第一节函数的几种属性

（4）周期性恒成立，则称为周期函数，其中叫做函数的周期，通常周期函数的周期是指它的最小正周期。设函数的定义域为，若存在正数，使得对于任意的，都有，且第一节函数的几种属性

动脑筋想一想？1.请给出两个函数，一个在定义域内是周期函数，另一个在定义域内不是周期函数的例子。2.周期函数一定有最小正周期吗？第一节函数的几种属性

升学直通车

1.函数

的定义域是（

）（A）[-2,2]（B）(-2,2)（C）(-2,2]（D）[-2,2)2.函数

在定义域内是（

）（A）不确定

（B）偶函数

（C）非奇非偶函数

（D）奇函数小结本次课主要介绍了函数的概念，包括函数的定义及定义域求法，反函数的概念，函数的几种属性（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。通过学习，要求正确理解函数的概念，正确使用函数符号，会求函数的定义域，会求函数的反函数，掌握函数的几种属性（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。作业

[1]列表写出6个三角函数的名称、简称及读音，熟读并理解记忆。[2]复习本次课内容，预习三角函数与反三角函数的内容。

[3]P10，练习题1.11、3、4题THANKS！第一章函数第一章函数

函数是数学的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。本章将介绍函数、三角函数、反三角函数与初等函数的基本知识，为极限与连续的学习奠定必要的基础。第一节函数的概念

第二节三角函数与反三角函数

第三节初等函数的概述

第四节MATLAB数学实验（一）

第二节三角函数与反三角函数

引例1.2【升国旗】升国旗时,某同学站在离旗杆底24m处行注目礼当国物升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为60°,若双眼离地面1.6m，请问旗杆高度为多少米?1.任意角的三角函数1.6m60°24m第二节三角函数与反三角函数

oyxP(x，y)

的终边

r

定义1.4一般地，称

为角α的正弦，记作sinα，即sinα=

；称

为角α的正弦，记作cosα，即cosα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作tanα，即tanα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作cotα，即cotα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作secα，即secα=；当角α的终边不在

轴上时，称

为角α的正弦，记作cscα，即cscα=.xy第二节三角函数与反三角函数

oxyoxyoxy规律：

“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.第二节三角函数与反三角函数

第二节三角函数与反三角函数

例1.8在平面直角坐标系中，角α的始边为x轴的正半轴，终边上有一点，坐标为

，请求出角α的所有三角函数值。xyoPα终边第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（1）正弦函数定义域：R值域：[-1,1]当且仅当

时，函数

的最大值

；当且仅当

时，函数

的最小值

；正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；正弦函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；正弦函数在区间

上单调增加，在区间

上单调减少。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（2）余弦函数定义域：R值域：[-1,1]当且仅当

时，函数

的最大值

；当且仅当

时，函数

的最小值

；余弦函数是偶函数，其图像关于

轴对称；余弦函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；余弦函数在区间

上单调增加，在区间

上单调减少。第二节三角函数与反三角函数

动脑筋想一想？（1）正弦函数和余弦函数的图像有什么关系？（2）正弦函数和余弦函数的关系。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（3）正切函数定义域：值域：R正切函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；正切函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；正切函数在每一个开区间

上都是单调增加的。学有所思正切函数在定义域上是单调增加函数吗？第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（4）余切函数定义域：值域：R余切函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；余切函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

；余切函数在每一个开区间

上都是单调减少的。第二节三角函数与反三角函数

动脑筋想一想？（1）正切函数和余切函数的图像有啥特点？（2）正切函数和余切函数的关系。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（5）正割函数定义域：值域：正割函数是偶函数，其图像关于

轴对称；正割函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

。第二节三角函数与反三角函数

三角函数的性质与图像（6）余割函数定义域：值域：余割函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；余割函数是一个周期函数，

是它的周期，其最小正周期为

。第二节三角函数与反三角函数

六边形记忆法图形结构:上弦/中切/下割，左正/右余/中间1.记忆方法:(1)对角线上两个函数的积为1;(2)阴影三角形两个上顶点的平方和等于下顶点的平方;(3)任一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的函数值之积，2.三角函数的关系①第二节三角函数与反三角函数

倒数关系商的关系平方关系正割余割余切2.三角函数的关系常用公式第二节三角函数与反三角函数

和差化积公式积化和差公式2.三角函数的关系第二节三角函数与反三角函数

二倍角公式降幂公式2.三角函数的关系第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（1）反正弦函数正弦函数

在

上的反函数，称为反正弦函数。定义域：[-1,1]值域：反正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；反正弦函数在定义域范围内是单调增加的。反三角函数的概念与性质第二节三角函数与反三角函数

例1.9求函数

的定义域。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（2）反余弦函数余弦函数

在

上的反函数，称为反余弦函数。定义域：[-1,1]值域：反余弦函数是非奇非偶函数；反余弦函数在定义域范围内是单调减少的。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（3）反正切函数正切函数

在

上的反函数，称为反正切函数。定义域：R值域：反正切函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；反正切函数在定义域范围内是单调增加的。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数（4）反余切函数余切函数

在

上的反函数，称为反余切函数。定义域：R值域：反余切函数是非奇非偶函数；反余切函数在定义域范围内是单调减少的。第二节三角函数与反三角函数

3.反三角函数反三角函数的关系（1）余角关系（2）负数关系第二节三角函数与反三角函数

例1.10求下列各反三角函数的值：（1）

（2）

（3）

（4）案例1.4

【别墅造价】

第二节三角函数与反三角函数

第二节三角函数与反三角函数

案例1.4

【别墅造价】

一栋新农村别墅，它的屋顶由四坡屋面构成，如图1.12所示.其中,前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,点F在平面ABCD和FBC上的射影分别为H和M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是三角形FBC面积的2.2倍，∠FMH=θ.已知屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,求该别墅的总造价.解：在Rt△FHM中，HM=5m，∠FMH=θ，则

，因此，△FBC的面积为：从而，屋顶的面积为：第二节三角函数与反三角函数

案例1.4

【别墅造价】

一栋新农村别墅，它的屋顶由四坡屋面构成，如图1.12所示.其中,前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,点F在平面ABCD和FBC上的射影分别为H和M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是三角形FBC面积的2.2倍，∠FMH=θ.已知屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,求该别墅的总造价.又因为在Rt△FHM中，FH=5tanθm，所以下部主体高度h=6-5tanθm，所以，别墅的总造价为升学直通车

1.函数

是（

）（A）偶函数

（B）奇函数

（C）非奇非偶函数

（D）无法判断奇偶性小结本次课主要介绍了三角函数与反三角函数的解析表达式、定义域、主要性质、图形以及三角函数与反三角函数常用的关系。通过学习，要求正确理解三角函数与反三角函数的解析表达式、定义域、主要性质、图形，掌握三角函数与反三角函数常用的关系。作业

[1]列表写出6个三角函数、4个反三角函数的名称、简称及读音，熟读并理解记忆。[2]复习本次课内容，预习三角函数与反三角函数的内容。

[3]P18，练习题1.22、3、4题THANKS！第一章函数第一章函数

函数是数学的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。本章将介绍函数、三角函数、反三角函数与初等函数的基本知识，为极限与连续的学习奠定必要的基础。

第一节函数的概念

第二节三角函数与反三角函数

第三节初等函数的概述

第四节MATLAB数学实验（一）

第三节初等函数的概述引例1.3【生活中的函数】

函数在数学这个大家庭中是一个必不可少的成员，而且在生活中也同样随处可见。例如，细胞的分裂数量随时间的变化可以用指数函数表示；利润随销售时间的变化、自由落体时速度随时间的变化等，常考虑用幂函数解决。又如，建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题，确定光照及房屋建造合理性及河宽的测量都可以利用三角函数。这些形形色色的函数，都在用不同的方法、不同的角度表示着自然界中变量与变量之间的关系,很多都是本节要讲的基本初等函数.1.基本初等函数第三节初等函数的概述常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。

高中我们已经学习了常数函数、幂函数、指数函数、对数函数，三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数，在系统总结复习已学过函数的表达式、定义域、值域、图像及性质的基础上，再介绍复合函数和初等函数。第三节初等函数的概述1.常数函数定义域为值域为单点集当时，图形为平行于轴的一条直线，当时，图形与轴重合。有界无单调性偶函数（时，既是奇函数又是偶函数）周期函数（无最小正周期）

（为常数）第三节初等函数的概述2.幂函数（为常数）幂的底数是自变量、指数是常量、系数是1，定义域、值域依指数的取值而定。图像特征及其性质：（1）所有幂函数在上都有定义，并且图像都通过点；（2）在第一象限内，当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；当时，无单调性。（3）当为奇数时，函数为奇函数；当为偶数时，函数为偶函数。第三节初等函数的概述

动脑筋想一想？（1）有界性、周期性；（2）是幂函数吗？第三节初等函数的概述3.指数函数幂的底数是常量、指数是自变量、系数是1。图像特征及其性质：曲线过点，图像在轴上方。定义域为值域为（1）当时，函数为减函数；（2）当

时，函数为增函数。第三节初等函数的概述

动脑筋想一想？（1）有界性、奇偶性、周期性；（2）特殊指数函数图像特征与性质如何？第三节初等函数的概述4.对数函数对数的底数是常量、真数是自变量。定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过点，图像在轴右边。（1）当时，函数为减函数；（2）当时，函数为增函数。第三节初等函数的概述

动脑筋想一想？（1）有界性、奇偶性、周期性；（2）特殊对数函数图像特征与性质如何？（3）在同一直角坐标系中，指数函数与对数函数的图像有何特点？第三节初等函数的概述5.三角函数（1）正弦函数定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过原点，有界，无单调性，奇函数，周期为。（2）余弦函数定义域为值域为图像特征及其性质：有界，无单调性，偶函数，周期为。第三节初等函数的概述（3）正切函数定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过原点，无界，无单调性，奇函数，周期为。（4）余切函数定义域为值域为图像特征及其性质：无界，无单调性，周期为。第三节初等函数的概述（5）正割函数定义域为值域为性质：无界，无单调性，偶函数，周期为。（6）余割函数定义域为值域为性质：无界，无单调性，奇函数，周期为。第三节初等函数的概述6.反三角函数（1）反正弦函数定义域为值域为性质：曲线过原点，有界，增函数，奇函数，非周期函数。（2）反余弦函数定义域为值域为图像特征及其性质：有界，减函数，非奇非偶函数，非周期函数。第三节初等函数的概述（3）反正切函数定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过原点，有界，增函数，奇函数，非周期函数。（4）反余切函数图像特征及其性质：有界，减函数，非奇非偶函数，非周期函数。定义域为值域为第三节初等函数的概述定义1.3设函数,且函数的值域全部或部分包含在函数的定义域内，那么通过的联系成为的函数，我们把叫做的复合函数，记作，其中叫做中间变量。第三节初等函数的概述

动脑筋

想一想？下列两组函数能否复合而成一个新的函数？（1）与；（1）不能；（2）能。（2）与；第三节初等函数的概述例1.12

试求由函数

，

复合而成的函数。注意：不是任何两个函数都可以复合。例如：

是不可以复合的。第三节初等函数的概述例1.12

指出下列复合函数的结构：（1）

；

（2）

。解（1）

；（2）

。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。

分析个函数是由哪些函数经过怎样的过程复合而成的，称为复合函数的分解，分解的顺序常是由外向内，一直分解到在引入中间变量后，使得每一个函数都是基本初等函数或是由基本初等函数经过四则运算构成的简单函数为止。第三节初等函数的概述定义1.4由六类基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。例如，等等都是初等函数。3.初等函数第三节初等函数的概述在自变量不同的范围内由不同的式子表示的函数通常叫做分段函数。例如，函数

。第三节初等函数的概述tuOsE案例1.5

【脉冲电压】

已知一个三角脉冲电压，其波形如图所示。求电压u与时间t的函数关系式。解

由图可知，u随t变化的规律在各段时间区间内是各不相同的，所以要分段进行考虑：当t≤0时，函数的图形是横轴的一部分，因此u=0。当0≤t<

时，函数的图形是连接原点(0,0)与点(,E)的直线段，于是

。当

≤t<s时，函数的图形是连接点(,E)与点(s,0)的直线段，故第三节初等函数的概述tuOsE案例1.5

【脉冲电压】

当

≤t<s时，函数的图形是连接点(,E)与点(s,0)的直线段，故

，即

。

当t≥s时，函数的图形是横轴的一部分，因此u=0。归纳上述讨论可知，u与t的函数关系式可写成分段的形式：

第三节初等函数的概述学有所思(1)任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数?(2)分段函数是不是初等函数?一般不是初等函数！升学直通车

1.函数

是（

）（A）偶函数

（B）奇函数

（C）非奇非偶函数

（D）无法判断奇偶性小结本次课主要介绍了六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形，复合函数，初等函数和分段函数。通过学习，要求掌握六类基本初等函数的特性和图形，学会如何把一个复杂的初等函数分解成若干个基本初等函数的四则运算和复合运算。作业

[1]复习函数的概念，预习极限的概念。[2]完成智慧职教中的知识点。[3]中国大学慕课网《高职高等数学》第一章所有内容，第二章前4节。

[4]P23-24，练习题1.3

1、2、3题

[5]完成函数习题一与自测题（一）THANKS！第一章函数第一章函数

函数是数学的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。本章将介绍函数、三角函数、反三角函数与初等函数的基本知识，为极限与连续的学习奠定必要的基础。

第一节函数的概念第二节三角函数与反三角函数

第三节初等函数的概述

第四节MATLAB数学实验（一）

第四节MATLAB数学实验（一）

窗口功能命令行窗口MATLAB进行操作的主要窗口，在窗口中的提示号（>>）之后输入指令，然后按回车（Enter）键执行运算，并输出运算结果。工作区用于列出数据的变量信息，包括变量名、变量字节大小、变量数组大小、变量类型等内容当前文件夹显示当前目录下所以文件的文件名、文件夹类型和最后的修改时间等内容详细信息利用该窗口，可以查看文件的详细信息。一、MATLAB软件入门

1．MATLAB视窗环境第四节MATLAB数学实验（一）

第四节MATLAB数学实验（一）

2．MATLAB常用命令、符号命令含义clf清除图形窗口clc清除命令窗口中的显示内容clear清除MATLAB工作区中的变量format定义输出格式（默认值），相当于formatshortformatshort输出中小数点后有4位有效数字formatlong输出中小数点后有15位有效数字

（

）向前（后）调出已输出过的指令who列出MATLAB工作内存中驻留的变量名清单whos列出MATLAB工作内存中驻留的变量名清单以及属性第四节MATLAB数学实验（一）

名称符号含义等号=赋值空格

输入量与输入量之间的分隔符逗号,输入量与输入量之间的分隔符分号;不显示计算结果命令的结尾标志；数组行与行之间的分隔符注释号%用于注释，在它后面的文字、命令等不被执行单引号对‘’字符串标记符方括号[输入数组标记符圆括号(用于运算式中的结合与次序续行号...用于长表达式的续行第四节MATLAB数学实验（一）

函数类别函数名称三角函数sin(x)反三角函数asin(x)x的平方根sqrt(x)x的绝对值abs(x)x取整Fix(x)以e为底的x指数exp(x)以e为底的x的对数log(x)以10为底的x的对数log10(x)第四节MATLAB数学实验（一）

3．MATLAB帮助系统（1）利用help指令，如果已知要找的题材(topic)，直接键入help<topic>．所以即使身旁没有使用手册，也可以使用help指令查询不熟悉的指令或是题材之（改为“的”）用法，例如helpsqrt,helptopic．（2）利用lookfor指令，它可以从你（去掉）键入的关键字(key-word)（即使这个关键字并不是MATLAB的指令）列出所有相关的题材，例如lookforcosine,lookforsine．（3）官方网站：

中文论坛：第四节MATLAB数学实验（一）

3．MATLAB帮助系统（4）MATLAB联机系统包含了丰富的系统演示软件.在命令行窗口中键入demos，按回车键，将进入MATLAB帮助系统的主演