高等数学（第五版）课件 函数的连续性1

第三节函数的连续性第三节函数的连续性

“连绵不断”的概念在数学中有着重要的地位，那么它是怎样定义的呢？

一、函数连续的概念

二、函数的间断点

“连续”这个貌似通俗的概念，其数学描述却不简单。极限不仅能描述“连续”概念，而且可揭示连续函数的一些重要性质。

三、闭区间上连续函数的性质

1.函数在

处的连续性

2.区间上的连续函数

3.复合函数的连续性

4.初等函数的连续性第三节函数的连续性

一、函数连续的概念【引例2.5增量】设变量

从它的一个初值

变到终值

，终值与初值之差

称为变量的

增量，记作

，即

。注增量

可以是正的，也可以是负的，记号

不表示某个量

与变量

的乘积，

是一个不可分割的整体性记号。当

时，变量

从

变到

，是增大的；当

时，变量

从

变到

，是减小的。第三节函数的连续性

一、函数连续的概念如图：对于函数函数相应的有一个改变量，增量（改变量）——因变量的改变量如果给一个改变量第三节函数的连续性1.函数在处的连续性定义2.6设函数

在

的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量

趋于零时，对应的函数值增量

也趋于零，即

，那么就称函数

在点

连续．若设，当，有可见，就是，所以与等价。第三节函数的连续性1.函数在处的连续性定义2.7

设函数

在

的某一邻域内有定义，如果函数

当

时的极限存在，且等于它在

处的函数值

，即

（2.2）那么就称函数

在点

连续．注意：函数在点连续，必须同时满足以下三个条件：（1）函数在的一个邻域内有定义；（2）存在；（3）。第三节函数的连续性证明：当自变量

的增量为

时，函数

对应的增量为例2.29

所以函数

在

处连续.由于第三节函数的连续性定义

定理2.12

第三节函数的连续性注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

2、区间上的连续函数

函数的极限案例2.4

【阴影面积】

如图所示，OABC是边长为1的正方形，另有一直线．设正方形与平面区域的公共部分（图中的阴影部分）的面积为：（1）写出的表达式；（2）证明是的连续函数．

解由图易得（1）函数的极限案例2.4

【阴影面积】

如图所示，OABC是边长为1的正方形，另有一直线．设正方形与平面区域的公共部分（图中的阴影部分）的面积为：（1）写出的表达式；（2）证明是的连续函数．

解由图易得（2）因为所以函数在处连续；

因为，所以函数在处连续；

因为，所以函数在处连续．因此，函数是关于的连续函数．第三节函数的连续性例2.30证明函数在区间内连续．证设为内任意给定的一点，当有增量时，对应的函数的增量是由于，因此．又因为，故．当时，由夹逼准则知，从而，这就证明了在区间内每一点都是连续的．同理，可证在区间内连续．第三节函数的连续性3.复合函数的连续性注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

第三节函数的连续性定理2.13可见：极限符号与函数符号可交换次序。

即第三节函数的连续性例2.31

在

上是连续的，

在

和

内是连续的，根据定理可知：

第三节函数的连续性例2.32求

解：函数

是由

及

复合而成的复合函数。

因为

，而函数

在

处连续，故极限符号可以与函数符号交换，所以第三节函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续定义区间是指包含在定义域内的区间。结论

4.初等函数的连续性第三节函数的连续性解：例2.33求升学直通车

1.已知函数

在

处连续，则

（

）（A）1

（B）-1

（C）0（D）3小结1.函数在点连续的等价形式函数在点连续，必须同时满足以下三个条件：（1）函数