高等数学（第五版）课件 第三节 初等函数概述

第一章函数第一章函数

函数是数学的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。本章将介绍函数、三角函数、反三角函数与初等函数的基本知识，为极限与连续的学习奠定必要的基础。

第一节函数的概念

第二节三角函数与反三角函数

第三节初等函数的概述

第四节MATLAB数学实验（一）

第三节初等函数的概述引例1.3【生活中的函数】

函数在数学这个大家庭中是一个必不可少的成员，而且在生活中也同样随处可见。例如，细胞的分裂数量随时间的变化可以用指数函数表示；利润随销售时间的变化、自由落体时速度随时间的变化等，常考虑用幂函数解决。又如，建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题，确定光照及房屋建造合理性及河宽的测量都可以利用三角函数。这些形形色色的函数，都在用不同的方法、不同的角度表示着自然界中变量与变量之间的关系,很多都是本节要讲的基本初等函数.1.基本初等函数第三节初等函数的概述常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。

高中我们已经学习了常数函数、幂函数、指数函数、对数函数，三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数，在系统总结复习已学过函数的表达式、定义域、值域、图像及性质的基础上，再介绍复合函数和初等函数。第三节初等函数的概述1.常数函数定义域为值域为单点集当时，图形为平行于轴的一条直线，当时，图形与轴重合。有界无单调性偶函数（时，既是奇函数又是偶函数）周期函数（无最小正周期）

（为常数）第三节初等函数的概述2.幂函数（为常数）幂的底数是自变量、指数是常量、系数是1，定义域、值域依指数的取值而定。图像特征及其性质：（1）所有幂函数在上都有定义，并且图像都通过点；（2）在第一象限内，当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；当时，无单调性。（3）当为奇数时，函数为奇函数；当为偶数时，函数为偶函数。第三节初等函数的概述

动脑筋想一想？（1）有界性、周期性；（2）是幂函数吗？第三节初等函数的概述3.指数函数幂的底数是常量、指数是自变量、系数是1。图像特征及其性质：曲线过点，图像在轴上方。定义域为值域为（1）当时，函数为减函数；（2）当

时，函数为增函数。第三节初等函数的概述

动脑筋想一想？（1）有界性、奇偶性、周期性；（2）特殊指数函数图像特征与性质如何？第三节初等函数的概述4.对数函数对数的底数是常量、真数是自变量。定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过点，图像在轴右边。（1）当时，函数为减函数；（2）当时，函数为增函数。第三节初等函数的概述

动脑筋想一想？（1）有界性、奇偶性、周期性；（2）特殊对数函数图像特征与性质如何？（3）在同一直角坐标系中，指数函数与对数函数的图像有何特点？第三节初等函数的概述5.三角函数（1）正弦函数定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过原点，有界，无单调性，奇函数，周期为。（2）余弦函数定义域为值域为图像特征及其性质：有界，无单调性，偶函数，周期为。第三节初等函数的概述（3）正切函数定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过原点，无界，无单调性，奇函数，周期为。（4）余切函数定义域为值域为图像特征及其性质：无界，无单调性，周期为。第三节初等函数的概述（5）正割函数定义域为值域为性质：无界，无单调性，偶函数，周期为。（6）余割函数定义域为值域为性质：无界，无单调性，奇函数，周期为。第三节初等函数的概述6.反三角函数（1）反正弦函数定义域为值域为性质：曲线过原点，有界，增函数，奇函数，非周期函数。（2）反余弦函数定义域为值域为图像特征及其性质：有界，减函数，非奇非偶函数，非周期函数。第三节初等函数的概述（3）反正切函数定义域为值域为图像特征及其性质：曲线过原点，有界，增函数，奇函数，非周期函数。（4）反余切函数图像特征及其性质：有界，减函数，非奇非偶函数，非周期函数。定义域为值域为第三节初等函数的概述定义1.3设函数,且函数的值域全部或部分包含在函数的定义域内，那么通过的联系成为的函数，我们把叫做的复合函数，记作，其中叫做中间变量。第三节初等函数的概述

动脑筋

想一想？下列两组函数能否复合而成一个新的函数？（1）与；（1）不能；（2）能。（2）与；第三节初等函数的概述例1.12

试求由函数

，

复合而成的函数。注意：不是任何两个函数都可以复合。例如：

是不可以复合的。第三节初等函数的概述例1.12

指出下列复合函数的结构：（1）

；

（2）

。解（1）

；（2）

。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。

分析个函数是由哪些函数经过怎样的过程复合而成的，称为复合函数的分解，分解的顺序常是由外向内，一直分解到在引入中间变量后，使得每一个函数都是基本初等函数或是由基本初等函数经过四则运算构成的简单函数为止。第三节初等函数的概述定义1.4由六类基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。例如，等等都是初等函数。3.初等函数第三节初等函数的概述在自变量不同的范围内由不同的式子表示的函数通常叫做分段函数。例如，函数

。第三节初等函数的概述tuOsE案例1.5

【脉冲电压】

已知一个三角脉冲电压，其波形如图所示。求电压u与时间t的函数关系式。解

由图可知，u随t变化的规律在各段时间区间内是各不相同的，所以要分段进行考虑：当t≤0时，函数的图形是横轴的一部分，因此u=0。当0≤t<

时，函数的图形是连接原点(0,0)与点(,E)的直线段，于是

。当

≤t<s时，函数的图形是连接点(,E)与点(s,0)的直线段，故第三节初等函数的概述tuOsE案例1.5

【脉冲电压】

当

≤t<s时，函数的图形是连接点(,E)与点(s,0)的直线段，故

，即

。

当t≥s时，函数的图形是横轴的一部分，因此u=0。归纳上述讨论可知，u与t的函数关系式可写成分段的形式：

第三节初等函数的概述学有所思(1)任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数?(2)分段函数是不是初等函数?一般不是初等函数！升学直通车

1.函数

是（

）（A）偶函数

（B）奇函数

（C）非奇非偶函数

（D）无法判断奇偶性小结本次课主要介绍了六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形，复合函数，初等函数和分段函数。通过学习，要求掌握六类基本初等函数的特性和图形，学会如何把