高等数学（工科类）课件 第五章 微分方程

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）

目

录CONTENTS—————5微分方程------------------010203------------------------------------------------------------------------------------------------一阶微分方程二阶线性微分方程微分方程建模示例第五章微分方程第一节一阶微分方程引例1：三星堆一醒惊天下2021年3月23日，“考古中国”重大项目进展工作会议公布了对三星堆的新发现.一时间三星堆火爆出圈，持续霸屏，社会各界探索古蜀文明的热情被点燃.相信大家也有所耳闻，我们看到有绝美的黄金面具、造型独特的青铜器（如图5-1）等等，那我们是如何测算这些文物的年代的呢？情景与问题图5-1影像三星堆引例2：飞机安全着陆问题（如图5-2）由于航母上飞机跑道有限，常常使用减速伞作为飞机的减速装置，以实现舰载机安全着陆.它的基本原理是，在飞机接触跑道开始着陆时,由飞机尾部张开减速伞并利用空气对伞的阻力减少飞机的滑跑距离.设减速伞的阻力与飞机的速度成正比并忽略飞机所受的其它阻力.现已知机场跑道长1500m,一架重为6.5吨的歼击机以每小时600km的航速开始着陆，在减速伞的作用下滑行500m后速度减为每小时100km，且能安全着陆.如果将同样的减速伞装备在9吨重轰炸机上，且以每小时700km的航速开始着陆，此轰炸机能否安全着陆？要解决上述情景与问题中的问题，需建立一类特殊方程，在该方程中含有未知函数的导数，这种类型的方程在工程技术及社会生活中经常会有所涉及.这类问题便是本章要讨论的微分方程问题.情景与问题图5-2航母舰载机减速伞5.1.1微分方程的基本概念定义5.1含有未知函数及其导数（或微分）的方程叫做微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程的一些初步知识及简单应用，后续内容便直接把常微分方程简称为微分方程.微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.一般的，阶微分方程的形式为

(5.1)其中是必须出现的，而其他变量则可以不出现.例如阶微分方程中只含而没出现其他变量.

定义5.2如果将函数代入微分方程后使方程成为恒等式，则称为该微分方程的解.求微分方程的解的过程称为解微分方程.微分方程的解有两种形式：凡解中含有任意常数，其个数与方程阶数相同，且这些任意常数相互独立，则该解称为微分方程的通解；在通解中，可由特定条件确定任意常数的取值，这样得到的不含任意常数的解称为特解.确定特解的特定条件称为初始条件，求微分方程满足初始条件的特解的问题叫做初值问题.启迪：在常微分方程课程中，“通解”和“特解”的名词是瑞士数学家欧拉最早引入的，常系数齐次线性方程的特征值法，欧拉方程的求解，常系数非齐次线性方程的逐次降阶法都是欧拉的研究成果。欧拉，是一位全才的、多产的数学家，他的成就遍及力学、数论、无穷级数﹑复变函数﹑微分方程、变分法、几何学等多个领域。1735年28岁的欧拉右眼失明，1766年欧拉的左眼也因白内障失明，在双目失明后的17年内，欧拉凭借超强的记忆力和心算能力，以惊人的毅力完成了多本著作和400余篇论文。欧拉杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，是永远值得我们学习的。例1验证函数：为二阶微分方程的通解，并求方程满足初始条件，的特解.解首先求出函数的导数,.代入原方程得.所以函数是微分方程的解.因解中有两个相互独立的任意常数，且其个数与微分方程的阶数相同，故是微分方程的通解.将，代入与的表达式中，得，.故所求特解为5.1.2可分离变量的微分方程定义5.3形如(5.2)的方程叫做可分离变量的微分方程.其中,分别是变量的连续函数，且.可分离变量微分方程的求解比较简单.先把变量置于等式两边得再对上式两边积分，得这样便可得到原方程的通解：我们把这种求解微分方程的方法叫做分离变量法.例2求解初值问题

解分离变量，得两边积分，得，即再由得.所以初值问题的解为例3求解情景与问题2.解设飞机质量为，着陆速度为，滑跑距离为，则，减速伞阻力为，其中为阻力系数，由牛顿第二定律，可得

即，两边积分，代入得

又，则即

两边积分，代入得

可知飞机滑行距离代入歼击机相关数据得阻力系数；现将同样的减速伞装备在9吨重轰炸机上，且以每小时700km的航速开始着陆，机场跑道为1500m，代入求得

，即轰炸机的安全着陆距离为1400m.故其能够安全着陆.例4（伤口愈合问题）医学研究发现，刀割伤口表面恢复的速度（单位：，其中表示伤口的面积，假设问受伤5天后该病人的伤口表面积为多少？解由

分离变量，得

两边积分，得（C为常数）将代入上式得故5天后病人的伤口表面积.5.1.3一阶线性微分方程方程(5.3)叫做一阶线性微分方程，其中，为已知函数

称为自由项.如果则方程(5.3)称为齐次的；反之，方程(5.3)则称为非齐次的.1.一阶齐次线性方程的求解一阶齐次线性方程其实就是可分离变量微分方程.先分离变量得

两端积分，得

(5.4)这就是一阶齐次线性方程的通解.例5求解满足初值条件的特解.解直接由公式得通解：再由初始条件得所以原方程特解为：2.一阶非齐次线性方程的求解现在我们使用所谓常数变易法来求解非齐次线性方程.该方法是把对应齐次线性方程通解(5.4)中的常数换成待定函数，即作变换此时，将及代入方程(5.3)，得两端积分，得将此结果代入，便得非齐次线性方程(5.3)的通解公式：(5.5)

启迪：公示(5.5)是法国著名数学家、物理学家拉格朗日花了11年时间才研究出来的常数变易法，即将对应一阶齐次线性方程中的常数变换成待定函数.这充分体现了科学家们在追求真理、探求知识过程中的宝贵工匠精神：坚持思考，不畏艰难，追求真理.例6求微分方程的通解.解所给方程即一阶非齐次线性方程，其中由公式(5.5)得

即原方程通解为:例7求微分方程的通解.解如果将看作未知函数，则该方程不是一阶线性方程.但如果将看作未知函数，则原方程便成为典型的一阶非齐次线性方程，即此时，由公式(5.5)得原方程通解

该例说明在微分方程求解中，“自变量”与“因变量（未知函数）”的称谓是相对的，在求解中应具体问题具体分析，力求方法灵活.想一想：通过展开公式（5.5）可以得到

(5.6)我们发现，一阶非齐次线性微分方程的通解可看作两部分的和：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解.那么，二阶及以上阶非齐次线性微分方程的通解是否也具有这样的特征？案例1已知某放射性材料在任何时刻的衰变速度与该时刻的质量成正比，若最初有50克的材料，2小时后减少了10%，求在任何时刻，该放射性材料质量的表达式.分析设时刻材料的质量为，由于材料的衰变速度就是对时间的导数，由题意得：，（其中是比例系数）.这是一个可分离变量的微分方程.分离变量后积分，得：.当时，，代入上式得，因此，.由题意知当,,把它们代入上式得，即所以,该放射性材料在任何时刻的质量为：.案例2

设某厂生产某种商品的边际收入函数为，其中为该种产品的产出量．如果该产品可在市场上全部售出,求总收入函数．解是变量已分离的微分方程．两边积分得当，即产出量为零时，应有，由此初始条件可得．所以，总收入函数为.案例3在一个含有电阻（单位：），电感

（单位：

）和电源

（单位：

）的RL串联回路中，由回路电流定律，知电流（单位：

）满足微分方程

若电路中有电源

，电阻10，电感和初始电流，求电路中任意时刻的电流．解将，，代入RL电路中电流应满足的微分方程，得

初始条件为.此方程是一阶非齐次线性微分方程，将，代入公式(5.5)，得通解

将时,代入通解，得

解得：.所以在任何时刻的电流为

注:中的称为瞬时电流，因为当时，它变为零（“消失”）；称为稳态电流，当时电流趋于稳态电流的值.第五章微分方程第二节二阶线性微分方程引例1在航空航天领域，当向太空发射卫星时，为了摆脱地球的引力，必须保证初始速度不小于第二宇宙速度，那么应如何确定该初始速度呢？分析设卫星质量为，地球质量为,卫星质心到地心的距离为，则由牛顿第二定律得（

为引力系数）.又设卫星的初速度为，已知地球半径.则有初值问题

设，则，代入上述方程可得一阶微分方程：

.其解为：.显然，则应满足：.因为当(在地面上)时，重力=引力，即.于是，，代入上式可得.这样就得到了第二宇宙速度：.情景与问题引例2某型大炮发射炮弹时的仰角为,初速度为.如果不考虑空气阻力，试讨论炮弹发射后的运行曲线（即弹道曲线）.分析不妨取炮口为坐标原点，炮弹前进的水平方向为轴，铅直向上方向为轴,并设炮弹水平位移为，铅直位移为.于是，由已知条件可得如下两个初值问题：及.上述情景与问题中的方程属于二阶线性微分方程.接下来我们便较系统地学习二阶线性方程相关知识.5.2.1二阶线性微分方程解的结构定义5.4

方程.(5.7)称为阶线性微分方程.特别地，当右侧自由项时，二阶线性方程

.(5.8)称为齐次的；当时，方程称为非齐次的.本节只讨论的情形，即二阶线性微分方程.1.二阶齐次线性方程解的结构先引入一个定义.定义5.5

设是定义在区间上的个函数，如果存在个不全为零的常数，使得当时恒有

则称函数在区间上线性相关；否则称线性无关.例如，在整个实数范围内，函数是线性相关的，而函数是线性无关的.根据上述定义可知，对于两个函数的线性相关性的判定，可采取简单易行办法，即只需看它们的比是否为常数：如果比为常数，则它们就线性相关；否则就线性无关.比如，函数与是线性相关的，而函数与是线性无关的.在线性相关性定义基础上，便可引入关于二阶齐次线性微分方程通解结构的定理.定理5.1设与是方程(5.8)的两个解，则对任意常数与,

也是(5.8)的解.进一步，若与线性无关，则是微分方程(5.8)的通解.证明从略.2.二阶非齐次线性方程解的结构在上节“想一想”中我们已看到，一阶非齐次线性微分方程的通解可看作两部分的和：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次微分方程本身的一个特解.实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，二阶及以上阶非齐次线性微分方程的通解也具有这样的结构.定理5.2设是二阶非齐次线性微分方程

(5.9)的一个特解.是对应的齐次方程的通解，则

是二阶非齐次线性方程(5.9)的通解.证只需证是方程（5.9）的解即可.将代入方程（5.9）的左端，得

.由于是对应齐次方程的解，是非齐次的解，则上式右侧第一个括号内的表达式结果为零，第二个结果为.于是，满足(5.9)式，即是(5.9)的解,定理得证.5.2.2二阶常系数线性微分方程定义5.6对于方程

当系数函数均为常数时，称为二阶常系数线性微分方程，简称为二阶常系数线性方程.当时，方程

(5.10)称为二阶常系数齐次线性方程.当时，方程

(5.11)称为二阶常系数非齐次线性方程.1.二阶常系数齐次线性方程由定理5.1可知，要找微分方程(5.10)的通解，只需找出两个线性无关的特解即可.为此，我们先分析方程(5.10)解的特点.从方程(5.10)的形式可看出，未知函数同其一、二阶导数经常数倍因子相加为零.这种情况有可能是由于未知函数同其一、二阶导数相差常数因子而导致的.那么，什么样的函数具有这样的特性呢？恰好以为底的指数函数便具有如此性质.因此，我们不妨用来尝试，如果能找到适当的常数，便得到了方程(5.10)的解.将代入方程(5.11)，得.由于,所以有.（5.12）由此可见，只要满足代数方程（5.12），函数便是微分方程（5.10）的解，这样便将解微分方程转化为解代数方程.我们把方程（5.12）称为微分方程（5.10）的特征方程，其根为特征根.下面就特征根的三种情况分别加以讨论:(1)特征方程有两个不等的实根，这时对应的两个解为，由不是常数知与是线性无关的.于是方程（5.10）的通解为：

.(2)特征方程有两个相等的实根.此时，我们只能得到方程（5.10）的一个解，还需。找出另一个与线性无关的解.不妨设，即，如果找得到适当的，那么也就找到了.将代入方程（5.10）并整理得

.由于是特征方程（5.12）的二重根.因此，，且，于是有.因为这里只需要得到一个不为零的解，所以不妨选取，由此便得到了方程（5.10）的另一个与线性无关的解:.这样便得到了方程（5.10）的通解：

.(为任意常量).特征方程

的根微分方程

的通解

两个不等的实根

两个相等的实根

一对共轭复根

(3)特征方程有一对共轭复根.此时方程（5.10）通解为

,此处是任意常量.利用欧拉公式，便可得到方程（5.10）另一种形式的通解:.其中，.综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（5.10）的通解的一般步骤如下：第一步写出方程（5.10）对应的特征方程；第二步求出特征根；第三步根据特征根的三种不同情形，按照下列表格写出对应的通解：表5-1例1求微分方程的通解.解特征方程为，特征根为，因此所求方程的通解为例2求微分方程满足初始条件的特解.解特征方程为，特征根为，因此所求方程的通解为由初始条件得，故所求方程的特解为2.二阶常系数非齐次线性方程根据定理5.2，求二阶常系数非齐次线性方程(5.13)的通解，可由对应的齐次线性方程的通解与其非齐次方程一特解之和而得，即，其中是齐次方程通解，是非齐次方程的特解.关于的计算已解决了，在此只需讨论特解的求解.这里仅就自由项为工程中两种常见的情形加以讨论，即，或，其中为次多项式，、常数.下面对这两种情形分别加以讨论.（1）因为右侧自由项为多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，那么可以猜测其特解形式也为一个多项式乘指数式.为此，我们设,只要找到适当的多项式便可得方程的特解.将所设代入方程，得等式

(5.14)①

如果不是特征方程的根，则.要使（5.14）成立，可令为另一次多项式:，然后比较（5.14）式两端同次幂的系数，便可确定，并得到所求特解.②

如果是特征方程的单根，则且.要使（5.14）成立，必须是次多项式，于是可令为一次多项式:，然后代入方程确定的系数，进而得到所求特解：.③

如果是特征方程的二重根，则且.要使（5.14）成立，

必须是次多项式，于是可令为一次多项式:，然后代入方程确定的系数，进而得到所求特解：.

例3求方程的一个特解.解方程自由项，不是特征方程的特征根，故可令特解为.代入原方程得：.比较等式两端系数有：

解得，故所求特解为.综上所述，我们有如下结论：当自由项为时，则二阶常系数非齐次线性方程有形如的特解，其中是与同次的多项式，而按不是特征根、是特征单根或是特征重根依次取为0、1或2.例4求方程的通解.解特征方程有两个特征实根.对应齐次方程通解为.自由项,是特征单根，故可令特解为.代入原方程得比较等式两端系数有

解得，故所求特解为.从而所求的通解为：.（2）或类似于前述讨论有：当不是特征根时，可设其特解为

.当是特征根时，可设其特解为

.其中与是次待定多项式.例5求方程的通解.解特征方程，有两个特征根.由于不是特征根，所以应设特解为

.代入原方程得：.比较两端同类型的系数可得解得.因此,所给方程的一个特解为：.案例1一个RLC串联回路(如图5-3)由电阻，电容F，电感H和电源V构成．假设在初始时刻，电容上没有电量，电流是1A，求任意时刻电容上的电量所满足的微分方程．解将,代入回路电流定律所确定电流方程得将已知条件，F，H和V代入上式，得初始条件为．

图5-3案例2一质量为的物体在某冲击力作用下以的初速度在水面上滑动，已知作用于该物体的摩擦力为（为常数），求该物体的运动方程，并求物体滑行的距离.分析设物体运动方程为，则物体运动速度函数为，加速度函数为，由牛顿第二定律得运动方程：.即.通过两次积分，得通解：

又由题意得初始条件，将其代入通解求得.所以,所求运动方程为：.令，得，即经过时间后物体停止运动，总的滑行距离为

第五章微分方程第三节微分方程建模示例5.3.1人口模型1.马尔萨斯（Malthus）模型英国神父Malthus（1766-1834）担任牧师期间，研究了所在教堂100多年人口出生统计资料后认为，在人口自然增长过程中，人口出生率是一个常数.1789年他在《人口原理》一书中提出了著名的马尔萨斯人口模型.模型基本假设：①在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率与死亡率之差）是常数，记为;②时刻人口数记为.由于人口总数很大，可将作连续可微处理（即离散变量连续化处理）；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加和减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率.微分方程已被广泛地应用到科学、技术、工程、社会及经济等领域中，并已有若干经典案例.譬如，1846年9月23日，数学家和天文学家合作，利用微分方程知识，发现了一颗有名的新星——海王星，这一发现一直在科学界被传为佳话.本节主要讨论微分方程在实际应用中的几个案例，读者可从问题的求解中，了解微分建模的基本步骤，熟悉微分建模的主体工作，并深刻领会微分建模的魅力.建模与求解：在到时间段内，人口增长量为

于是可得马尔萨斯人口模型:

用分离变量法易求出其解为：.模型评价与检验：据估计，1961年全球人口总数为，而且在随后7年内，人口总数年平均自然增长率为2%，这样，，，于是

(5.15)结合1700—1961年间世界人口统计数据，发现这些数据与上式计算结果相当吻合.特别地，在此期间全球人口大约每35年翻一番，而上式算出每36.6年增加1倍，模型检验效果相当理想.但是，利用式(5.15)对世界人口进行预测也会出现较大差异.比如，有科学家以美国人口为例，用马尔萨斯指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表5.2.

年实际人口（百万）指数增长模型预测人口（百万）误差（%）17903.9

18005.3

18107.27.31.418209.610.06.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.8188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3表5.2美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较从表5.2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.更离谱的是，人们在此基础上，预测到2670年，地球上将有36000亿人口，这是个什么概念呢？假设地球表面全是可供人站立的陆地（事实上，地球表面多达80%被水覆盖），每平米至少要容纳16人，只有人重人站几层了.显然，这一预测结果非常荒谬，其原因是对人口增长率估计过高，因此应该对是常数的假设进行修改.2.阻滞增长模型（Logistic模型）如何对人口增长率进行修正，进而利用修正的人口模型进行正确的人口预测呢？事实上，随着人口的增加，相关自然资源、所处环境条件等因素对人口再增长的限制作用将越来越显著.如果当人口较少时，将人口的自然增长率

看作常数有其合理性，那么当人口增加到一定数量以后，该增长率再看作同前面一样的常数便不科学，而应当将其视作随人口的增加而减少的变量，即将增长率表示为人口的关于的减函数.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在所作修改的模型中最著名的一个.1838年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数表示自然环境条件所能容许的最大人口数，并将净增长率假设为显然当时，增长率.由此建立阻滞增长人口模型：

(5.16)经变量分离解得

(5.17)根据方程（5.16）作出曲线图，见图5-4.由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律，即人口增长率由增到减，并在处最大，也即是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期，经过这一点后进入减速生长期，人口增长速率逐渐变小，最终达到0.根据结果（5.17）作出曲线，见图5-5.由该图可看出人口数随时间的变化规律.

图5-4图5-5后来，人们用该模型检验美国人口的变化趋势，发现从1790年——1930年，模型计算结果与实际人口都非常吻合，不过1930年后误差愈来愈大，一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口已突破了20世纪初所设立的极限人口.由此可见，该模型所设定常值仍有待研究.譬如，随着一个国家经济的飞速发展，它所能提供的物质财富就越丰富，相应地的值也就越大.需要指出的是，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量之外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要予以考虑.但另一方面，我们针对人口数量变化所建立的阻滞增长模型，可推展到在自然环境下生存的其他生物，如森林中的树木，草原中的象群，池塘中的鱼类等.有兴趣的读者可参阅其他书籍或资料，以进行更深入的研究.通过人口模型的学习，我们已基本对微分建模有了初步认识，对相关建模步骤也有了一定了解.其实，一般来说，应用微分方程建模解决实际问题的步骤可概括为以下几步：①分析问题，简化假设，提炼出关键因素；②根据实际问题并结合相关学科知识建立对应的数学模型——微分方程(组)；③求解并研究该微分方程(组)，包括分析解的若干特征；④对模型结果进行检验，必要时修改模型并对问题作进一步探讨.5.3.2衰变问题放射性物质因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量的现象称为衰变.在本章第一节，我们借用微分方程对放射性元素的衰变已进行了初步研究.其实微分方程在该领域的使用非常广泛，比如考古发掘物年龄的确定、艺术品真伪的鉴定.1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人后，根据躯体所含碳原子消失的程度，通过微分方程求解，推断出这个冰人大约在5000年前遇难.那么该项研究中的碳原子分析是如何进行的呢?1949年美国芝加哥大学教授威拉得·利比(WillardLibby)首先提出了用测定古代遗址年龄的方法，并因创立了的年代测定技术而获得1960年诺贝尔化学奖.目前，年龄测定法已成为测定考古挖掘物年代的最精确方法之一.地球周围的大气不断受到宇宙射线的冲击而产生大量中子，这些中子轰击占空气80%的氮原子核后，产生放射性.而与氧结合生成，在大气中运动被植物吸收，动物又通过进食植物把放射性碳代入到它们的组织中，这样就形成了自然界碳的交换循环运动.在活性组织中，提取的速率正好与的衰变速率相平衡，而当组织死亡以后，它就停止提取，此后组织内的浓度按照的衰变速率减少.由于碳在自然界的交换循环很快，因此处于与大气相互交换的各种物质在各地的水平基本是一致的.众所周知放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，并符合指数函数的变化规律.下面从某发掘出的考古文物的年代（如古墓遗体死亡时间）入手，分析的衰变过程，并建立相应微分方程模型.模型建立与求解：设样本形成时的含量为，时刻的含量为，为的衰变常数，由此建立微分模型：

解得由化学知识可知的半衰期为5730，即易得于是，的函数模型为：设挖掘出考古样本含量为原含量的百分比为，即由上式易解出考古样本形成时间计算式：另外，也可通过衰变速率得到考古样本形成的时间.具体来说，由及有（5.18）进而可得（5.19）模型假设：假设地球大气层中放射性碳的含量在文物形成到发掘测量之前是