高等数学（工科类）课件 第四章 一元函数积分学

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）情景与问题

抽象推理

由不定积分的定义以及导数与不定积分的关系，可以得到不定积分的性质.设下列函数的不定积分均存在，则有性质1两个函数代数和的不定积分，等于它们不定积分的代数和，即此性质可推广到有限个函数的代数和的情形.性质2被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号前面，即性质3不定积分与导数(或微分)互为逆运算，即

或

或

图4-1

4.1.3不定积分的几何意义

应用与实践

情景与问题

抽象推理

例11求解

例12求解

在计算不定积分时，不少情况下需要我们将类型1与类型2进行结合.

启迪：学习微积分对一个人的意义到底在哪里，真的仅仅是为了用纷繁复杂的方法求出导函数与原函数吗？数学教育学家弗朗西斯·苏说：“一个脱离了数学情怀的社会，就如同一个缺少了音乐会、公园、博物馆的城市.和数学擦肩而过，你的生命就彻底失去了与美妙思想共同歌舞的机会，也失去了一个观察世界绝佳的角度.理解数学之美将是一场与众不同的、令人心醉神迷的体验，每个人都不应该放弃享受数学的权利.”不要把数学当成冰冷的法则，用同学们的好奇心、希望、专注力、自信、耐力、毅力和开放的态度去感受数学，享受数学.“学习数学，就是学习做难而正确的事类型3，，，

，，……

例19求解例20求解

例21求解

例24求解注意到即例25求解

因为通过以上例子可以发现，利用凑微分法求解积分具有一定的灵活性.用该种方法求解积分主要在于能否熟练的利用积分公式以及如何凑的技巧，关键把握“为什么这样凑”以及“如何凑”这两个问题.其实，我们应主要通过观察被积函数的结构，看看能否通过凑微分法去解决，在能够求解的情况下应优先考虑凑微分法.4.2.2第二类换元积分法（变量置换法）当被积函数中含有根式，而且不能用直接积分或凑微分法求其不定积分时，常常可以考虑用简单根式代换或三角代换，将其根号去掉后再进行计算，这种方法称为第二类换元积分法.第二换元积分法的一般过程可表示为：常见的第二换元积分法求解积分的类型主要包含：常见的第二换元积分法求解积分的类型主要包含：1.根式换元法例26求解令则于是

2.三角换元法

图4-2

图4-3

图4-4

例33求解

虽然此题属于三角换元中的型积分，但这

并不是个明智的选择，使用例5中的结论可以直接写出结果：

例39求解移项整理后可得

最后需要指出的是，并非所有初等函数的原函数一定为初等函数，有些积分看似简单，却很难求出.比如等等，尽管这些被积函数的原函数存在，却不能用初等函数表示，故这些不定积分均被称为“积不出来”.应用与实践

图4-5

图4-6上述两个问题的实际背景虽然不同，但描述它们的数学模型却是一致的，都是“和式”极限.其实，用这种方法来描述的量在科学技术和经济管理领域相当广泛，如旋转体的体积、平面曲线的弧长、水力发电厂堤坝所承受的水的压力、交流电的平均功率等.抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上的共同特性与本质，我们便可抽象出定积分的定义.抽象推理

图4-7

图4-10

图4-11图4-12

应用与实践

图4-13

图4-14情景与问题

抽象推理

图4-15

4.4.2牛顿莱布尼兹公式由于定积分的值与积分变量无关，将字母换成

即得要证明的公式.为书写方便，上式常采用如下格式：该式称为生顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，也称微积分基本公式.该公式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处函数值的差.这一结果已很好地回答了本节引例所提问题.它揭示了定积分与不定积分的内在联系，从而为定积分计算找到了一条简

捷的途径.它是整个积分学最重要的公式，并为微积分的创立和发展奠定了基础

启迪：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了计算曲线的长度、曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法.只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值.这极大的简化了定积分的计算过程，完美的解决了定积分计算的难题.

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它首次发现了微分和积分是一对互逆的运算，并将微分与积分这两个看起来毫不相关的概念紧紧联系在了一起。牛顿-莱布尼茨公式的诞生在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科应用与实践

4.5.1定积分的换元积分法

图4-16

图4-18图4-17