高等数学（工科类）课件 第七章 多元函数微积分

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）知识目标了解多元函数的概念，理解二元函数极限及连续的概念，掌握二元函数极限的求法．理解偏导数的概念，掌握偏导数（一阶及高阶）的计算，会求多元复合函数的偏导数．理解全微分的概念，掌握全微分的计算方法．理解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线等概念，并掌握它们的方程的求解方法．理解多元函数极值的概念，会求二元函数的极值．理解二重积分的概念及二重积分的性质，掌握二重积分的简单计算．第七章多元函数微积分

第一节多元函数微分学情景与问题

引例1身体质量指数BMI是国际上衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个常用指标，它的计算与体重

(单位：千克)和身高

(单位：米)相关：BMI=

，BMI由19世纪中期比利时的通才凯特勒最先提出．BMI正常值在20至25之间，低于18.5为体重不足，超过25为超重，30以上则属肥胖．引例2由物理学知识，运动物体的动能

与物体的质量

和运动的速度

两个量之间满足以下的关系：．引例3在周长为

的所有三角形中，求出面积最大的三角形．分析设三角形的三边长分别为

则面积为

于是，所讨论问题便转化为：在

条件下求函数的最大值问题．

上述各例所讨论的函数都涉及到了多个自变量，去掉它们的具体实际意义，只保留数量关系，便可抽象出多元函数的概念．抽

象

推

理7.1.1二元函数的概念、极限与连续1．二元函数的概念

定义7.1设有三个变量

和

，如果当变量

在它们的变化范围

中任意取一对值

时，按照给定的对应关系

，变量

都有唯一确定的数值与它们对应，则称

是关于

的二元函数，记为

其中

称为自变量，

称为因变量．

称为函数的定义域，所有函数值的集合

称为函数的值域．

类似地可以定义三元函数

以及

元函数

．多于一个自变量的函数统称为多元函数．引例1、2得到的BMI=，是二元函数，引例3是三元函数．同一元函数一样，定义域和对应关系是二元函数定义的两要素．对于以解析式表示的二元函数

其定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．

一般来说一元函数的定义域往往是一个或者几个区间，而二元函数的定义域通常是平面上的某个区域.二元函数定义域的区域可能是全部

坐标面，可能是一条直线，也可能是由曲线所围成的部分平面等等．围成区域的曲线称为该区域的边界，包含全部边界的区域称为闭区域；不包括边界上任何点的区域称为开区域．能被包含在以原点为圆心的某一圆内的区域称为有界区域，否则称为无界区域.例1求下列函数的定义域

，并画出的

图形

．(1)；解当根式内的表达式非负时函数才有意义，所以定义域为

表示在平面上以原点为圆心，以3为半径的圆以及圆的内部全部点构成的闭区域(图7-1)．图7-1所以函数的定义域是

以为

边界的矩形闭区域(图7-2).图7-2

解因为要使

有意义，应有即(2).例2求用形如

或

的不等式组来表示平面闭区域

，

由

所围成．解先作出区域

的图形(图7-3)，再将

投影到

轴上，得到区间

，则区域

内任一点的横坐标满足不等式

．在

内任取一点

，作平行于

轴的直线，则由对于所给的

，

内对应点的纵坐标

满足：，因此区域

可以用不等式组表示为图7-3另一方面，若将

投影到

轴上，则在

轴上得到区间

．在区间

内任取一点

，作平行于

轴的直线，则由图可知，对于所给的

，

内对应点的横坐标

满足：

，因此区域

可以用不等式组表示为图7-3

一元函数一般表示平面上的一条曲线，二元函数

在几何上通常表示空间曲面(图7-4)．设点

是二元函数的定义域

内的任一点，则相应的函数值是

，于是，有序数组

确定了空间一点

．当点

在

内变动时，对应的点

就在空间变动，一般形成一张曲面，即为二元函数

的图像，其定义域

就是空间曲面在

面的投影．图7-42．二元函数的极限与连续定义7.2设函数

在点

的某一邻域内有定义（点

可以除外），如果当点

以任意方式无限趋向于点

时，对应的函数值

趋向于一个确定的常数

，则称

为函数

当

时的极限．记为或．注意：与一元函数的极限不同的是二元函数极限要求点

以任意方式趋向于点

时，函数值

都趋向于同一个确定的常数

．因此，如果当

沿着两条不同的路径趋向于

时，函数

趋向于不同的值，那么可以断定函数极限一定不存在．例3求极限：(1)(2)解(1)令

，则，(2)．本例表明，二元函数的极限问题有时可转化为一元函数的极限问题．例4讨论函数

当

时的极限．解当点

沿

趋向于点

时．显然当

取不同的值时，

也不同，所以函数的极限不存在．

启迪：一元函数与二元函数的极限研究方法具有很大的不同.在研究一元函数时，自变量在邻域内（区间）趋于某点的方式只有左右两种，分别对应左极限和右极限，但对于二元函数来说，自变量的邻域是在二维平面内的区域，它趋于某点的方式是任意的，有无穷多种，我们就需要从整体的角度，去观察函数值的变化情况.推展开来，我们在实际生活中也不能用孤立、片面的观点来看问题，要通过持续学习来获得足够的判断力，从而能整体、全面地去观察、了解和认识事物.下面给出二元函数连续性的定义.定义7.3设函数

在点

的某个邻域内有定义，如果当点

趋向于点

时，函数

的极限存在，且等于它在点

处的函数值，即则称函数

在点

处连续．在上边的定义中，若令

，则得到连续的另一个等价定义：定义7.3’

设函数

在点

的某个邻域内有定义，若当自变量

的增量

趋向于零时，对应函数的全增量

也趋于零，即，

则称函数

在点

处连续．同一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数仍是连续函数；同时也有结论“多元初等函数在其定义区域内连续”．与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的二元函数也有以下结论．定理7.1

最值定理在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取得到最大值和最小值．定理7.2

介值定理在有界闭区域上连续的二元函数可取得介于它的最大值和最小值之间的任何值至少一次．

以上关于二元函数极限与连续的讨论可以推广到三元及以上的函数．7.1.2偏导数1．一阶偏导数

在一元函数微分学中，我们曾经研究过函数

的导数，即函数

对于自变量

的变化率

．对于多元函数，我们也常常遇到研究它对某个自变量的变化率问题，这就产生了偏导数的概念．定义7.4设函数

在点

的某一邻域内有定义．若存在，则称此极限值为函数

在点

处对

的偏导数，记为或或;即同理，可定义

在点

处对

的偏导数：如果函数

在区域

内每一点

处对

的偏导数都存在，这个偏导数仍是

的函数，称为函数

对自变量

的偏导函数，简称偏导数，记为或．类似地，可定义函数

对自变量

的偏导数，记为

或偏导数

也称为一阶偏导数．上述二元函数偏导数定义可以推广到多元函数．如

元函数

对

的偏导数被定义为：方法：从偏导数的定义可以看出，求二元函数对某一个自变量的偏导数时，实际上只需将另一个自变量看成常数，再按照一元函数的求导法则求导即可．例5求函数

在点

处的两个偏导数．解因为

所以例6求函数

的偏导数．解按偏导数定义有例7求

的偏导数．解把

和

看成是常数，对

求导，得．观察到此函数自变量具有对称性，因此有

，

．例8已知理想气体的状态方程

(

常数)，求证

．证明因为

，

；

，

；

，

，所以．注意：这个例子说明，偏导数

，

的记号是一个整体，不能看成

与

或者

与

之商．例9求二元函数

在点

处的两个偏导数．解，类似地可求得．在例4中，我们已指出

在点

处极限不存在，所以不连续，然而本例表明该函数在

处的两个偏导数都存在．另外也可证明函数

在点

处是连续的，但在该点的偏导数却不存在．所以，二元函数连续与偏导数存在这两个条件之间没有必然关系．2．偏导数的几何意义一元函数

在点

处导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，而二元函数

在点

处的偏导数，实际上就是一元函数

及

分别在点

及

处的导数．因此二元函数偏导数的几何意义也是曲线切线的斜率．

是曲线

在点

处切线的斜率(图7-5)，即

；

是曲线在点

处切线的斜率，即.2．偏导数的几何意义图7-53．高阶偏导数

函数

的两个偏导数

、

一般仍然是

的函数，可以对其继续求偏导数（如果存在的话），且称它们为函数

的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同，二元函数有下列四种二阶偏导数：纯偏导数：

，

；混合偏导数：

，

．类似地，可以定义多元函数的三阶、四阶、…、

阶偏导数，二阶及以上的偏导数统称为高阶偏导数．例10求

的所有二阶偏导数．解因为

，

，所以

，

，

，

．注意：上例中的两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然，在此不加证明地给出二阶混合偏导数相等的充分条件.定理7.3如果函数

在区域上的两个二阶混合偏导数

，

连续，那么在区域

上必有．例11求函数

的所有二阶偏导数．解函数的一阶偏导数为：

，，因此，

，

， .例12设

，求

．解，

7.1.3全微分1．全微分的概念

在一元函数

中，若

，那么函数的微分

是函数的增量

的线性主部，可用

近似代替

，其误差是的高阶无穷小．对于二元函数来说，计算全增量

比较复杂．类似于一元函数，我们用自变量

、

的线性函数来近似地代替函数的全增量，从而引入如下定义．定义7.5设函数

在点

的某一邻域内有定义，且函数在该点处的全增量

可表示为其中

与

，

无关，

是

的高阶无穷小，即

，则称

为函数

在点

的全微分，记作

，即这时也称函数

在点

处可微．

当函数

在区域

内各点处都可微时，那么称函数

在

内可微．像一元函数一样，规定

，

，则全微分也可写为定理7.4（可微的必要条件）如果函数

在点

可微，则(1)

在点

处连续；(2)

在点

处偏导存在，且

，即

在点

的全微分为证明由函数

在点

可微，可得

，其中

．(1)因为

，所以

．即

在点处连续．(2)对于偏增量来说，

，此时的

，对偏增量除以求极限得同理可证

．定理7.5（可微的充分条件）如果函数

在点

的某一领域内偏导数

连续，则函数在该点处可微．

证明从略．

以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数．例13求函数

的全微分．解因为

，

，所以例14求函数

在点

处的全微分．解因为

，

点

处连续，所以函数点

处可微，且2．近似计算

多元函数的全微分也可以用于近似计算．对于可微的二元函数

，因为

是一个比

高阶的无穷小量，所以有近似公式上式也可以写成例15计算

的近似值．解设函数

，显然要计算的值就是.取

，由于

，又

，

，有

.所以例16一个圆锥的底面半径和高度分别为

和

，这两个量的可能误差为

，用微分的方法估计该圆锥体积的最大误差．解设圆锥的底面半径为

，高为

，根据圆锥的体积公式有

，得体积的全微分为取

，得即圆锥体积的最大误差为

．3．全微分的几何意义

类似一元微分的几何意义，可以得到二元函数全微分(图7-6)的几何意义为：函数在点

处切平面上的点与曲面

上点

的

轴坐标之差．图7-6想一想：古时候的人们为什么认为地球是方的?

函数微分是在“以直代曲，以线性代非线性”的思想下做的一种近似，根据全微分的定义有

，也就是说微分是实现增量线性化的一种数学模型.对于三维空间中的曲面来说，微分的的实质就是：局部区域像张平面.当可微函数的自变量改变很小时，函数增量可以近似看作一个二维线性函数——平面.如果视地球表面为一个二元函数，那么在人的肉眼范围内，也就是当自变量增量很小的时候（相对于地球半径），所看到的地球表面（就是函数的增量）几乎就是平的.在科技欠发达的时候，人类的视野十分有限，自然会认为地球是方的.4．复合函数的微分法下面不加证明地给出多元复合函数的求导法则．定理7.6若

是关于

的可微函数，

和

是关于

的可微函数，则

是关于

的可微函数，并且．由变量关系图7-7看到，从函数

到自变量

有两条路径：

和

，沿第一条路径有

，沿第二条路径有

，两项相加就得到公式.我们形象地把复合函数的微分法称为链式法则．链式法则可以根据具体情形推广使用．图7-7推论7.1若

，

都是可微函数，则定理7.7若

是关于

的可微函数，

和

是关于

的可微函数(图7-8)，则

有对

的偏导数，并且，例17设

，求

．解由定理7.6得图7-8例18设

，求

．解由定理7.7得例19设

，求

．解设

，则

，于是有该函数的变量关系实际如图7-9．图7-9注意：一般地，我们用

表示函数

对第个

中间变量的偏导数，如上题中将

记为

，将

记为

．启迪：在多元复合函数求导的链式法则中，我们感受到了思维的魔力，整个过程结构清晰，层层递进，在解题中体会到了数学的逻辑性和严谨性.“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，让我们畅游在知识的海洋中感受数学的魅力吧.7.1.4偏导数的应用1．空间曲线的切线和法平面设空间曲线

(图7-10)的参数方程为曲线上对应于

及

的点分别为

和

假定

均可导，且

不全为零．则割线

的方程为图7-10图7-10当

沿着曲线

趋于

时，割线的极限位置

即是

在

处的切线．上式分母同时除以

得

当

(即

)时，对上式取极限，即得曲线在点

的切线方程向量

是切线

的方向向量，称为切线向量．切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦．通过点

与切线垂直的平面称为曲线在

点的法平面，它是以切线向量

为法向量的平面．因此法平面方程为例20求螺旋线

在

对应点的切线及法平面方程．解易得

对应的点为

．因为

，所以切线向量

．因此，曲线在点

处的切线方程为在点

处的法平面方程为：即例21求曲线

上点

处的切线和法平面方程．解把

看作参数，此时曲线方程为

且所以，曲线在点

处的切线方程为：

；法平面方程为：

，即.2．曲面的切平面与法线设曲线

是曲面

：

上过点的任意一条曲线（如图7-11），

的方程为

，与点

相对应的参数为

，假定函数的偏导数在该点连续且不同时为零，则曲线

在

处的切线向量为.

图7-11因

在

上，故有

．此恒等式左端为复合函数，在

时的导数为记

，上式则说明

，即

与

互相垂直．由于曲线

是曲面上过

的任意一条曲线，所以在曲面

上所有过

点的曲线的切线都与同一向量

垂直，故这些切线位于同一个平面上．这个平面称为曲面在

处的切平面．向量

是切平面的法向量，称为曲面在

处的法向量．切平面方程为过点

且与切平面垂直的直线称为曲面

在点

处的法线，其方程为

若曲面方程

由给出，则可令

．于是，此时，曲面在

处的切平面方程为法线方程为例22求椭球面

在点

处的切平面和法线方程．解

设

，则故在点

处椭球面的切平面方程为即

．法线方程为．例23求旋转抛物面

在点

处的切平面方程和法线方程．解由

得

．则切平面方程为

，即

．法线方程为.3．二元函数的极值在实际问题中，会遇到求多元函数最大值或最小值的问题，这里我们只讨论二元函数的情形，三元以上函数的情形可类似讨论．与一元函数相类似，二元函数的最大值、最小值常与极大值、极小值相联系，因此下面先讨论极值问题．定义7.6设函数

在点

的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于

的任意一点

，都有或，则称函数在

处有极大值（或极小值）．称点

为函数的极大值点（或极小值点）．极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点．定理7.8（极值点的必要条件）设函数

在点

的两个一阶偏导数都存在，且点

为极值点，则证明因为点

是函数

的极值点，所以当

固定为

时，

为一元函数

的极值点．由一元函数极值点的必要条件，有

，几何上表现为：对应于

的曲面

上的点

有平行于

轴的切线．同理可证

．满足方程组

的点

称为函数

的驻点．与一元函数一样，驻点不一定是极值点．那么，如何判断一个驻点是否是极值点呢？下面不加证明地给出极值点的判定定理．定理7.9（极值存在的充分条件）设函数

在点

的某个领域内具有二阶连续偏导数，且

是驻点．令

，

，

，

，则（1）当

时，点

是函数

的极值点，且当

时，点

是极大值点；当

时，点

是极小值点．（2）当

时，点

不是极值点．（3）当

时，点

可能是极值点，也可能不是极值点．例24求函数

的极值．解(1)求偏导数，解方程组得驻点：

、

、

、

．(2)求出二阶偏导数 (3)列表判断极值点讨论如下：驻点结论1206-72极小值120-672无极值-120672无极值-120-6-72极大值与一元函数类似，二元可微函数的极值点一定是驻点，但对不可微函数来说却不一定．例如：点

是函数

的极小值点，但它并不是驻点，因为函数在该点的偏导数并不存在．4．二元函数的最值

我们已经知道，有界闭区域

上的连续函数一定有最大值和最小值．如果使函数取得最值的点在区域

的内部，则对可微函数来讲，这个点必然是函数的驻点，然而，函数的最值也可能在该区域的边界上取得．因此，求有界闭区域

上可微的二元函数的最值时，求出函数在

内的驻点及在

的边界上的最值，比较这些值，其中最大（小）者，就是该函数在区域上

的最大（小）值．（对于不可微函数，还应求出连续而不可微点处的函数值加以比较．）求二元函数在区域上的最值往往比较复杂，但在实际问题中，若由分析可知二元函数的最值一定存在时，如果目标函数的驻点唯一，且无其他可疑极值点，那么这个驻点即是极值点．例25在

坐标面上找出点

，使它到三点

距离的平方和为最小．解设

到三点距离的平方和为

，有对

求偏导数，解方程组

得驻点

．由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，函数

可微且只有一个驻点，因此

即为所求之点．例26某工厂要用铁板做一个体积为

的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?解设水箱的长、宽分别为x、y，则高为

，水箱所用材料的面积为令

得驻点

．

根据实际问题可知最小值在定义域内必存在，可断定此唯一驻点就是最小值点．即当长、宽均为

，高为

时，水箱所用材料最省．应用与实践案例1边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题，检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点，是特征提取中的一个重要研究领域，它能大幅度地减少数据量，并且剔除可能不相关的信息，保留图像重要的结构属性.几种最常用的经典图像边缘提取算子，都是基于微分的理论得以实现的.以图7-12为例，简要分析图像边缘检测原理.图7-12解在图像处理中认为，灰度值变化剧烈的地方就是边缘.变化剧烈程度，其实就是函数的一阶导数.函数

的偏导数定义为，但数字图像是离散的二维函数，

和

不能无限小，图像是按照像素来离散的，因此最小的

和

就是1像素，于是图像的微分就可以记为它们分别是图像在点

处

方向和

方向上的梯度，即两个相邻像素之间的差值.设图像在某区域的灰度值为

，则

方向上的微分相减的结果能反映图像亮度的变化率：像素值保持不变的区域，相减的结果为0，即像素为黑；像素值变化剧烈的区域，相减的差越大，则得到的像素就越亮，图像的竖直边缘得到增强.但对于二维图像来说，仅仅得到

或者

方向的边缘是不够的，更需要考虑的是边缘到底是什么走向，所以要用到不同方向上的梯度，并由此衍生出一系列的算子，图7-13展示了不同算子的边缘检测效果.欢迎有兴趣的同学参阅专业书籍进行更深入学习.图7-13几种经典图像边缘提取算子效果图案例2日常生活中罐装食品很多，如饮料，调味品，熟食等，体积相同的罐头可做成尺寸不同的形状．设有一个半径为

，高为

的圆柱形罐头外壳，当其半径

或高

有微小改变量时，都会引起容积产生相应的改变量．试比较容积

对半径

和高

的微小变化的敏感度．解计算

的全微分，有于是容积的改变量这表明半径

的变化要比高

的变化所造成的容积

的改变约敏感10倍，也表明，当半径有微小减少时，必须使高明显地增加，才能保持容积不变．因此，将一个罐头外壳的半径取得比标准的小一些，小得使人不易注意到，而增加高度使容积保持不变，可使人感到容积比原来标准的大了许多，这也是将啤酒罐做得又细又高的原因，当然，将它做得又细又高也便于握持.案例3某零售商公司为提高产品销量，通过报纸和电视台做销售产品广告．根据统计资料，销售收入R（万元）与报纸广告费用

（万元）和电视广告费用

（万元）的关系有如下的公式：

．如果零售商公司有足够的广告费用支出预算，求最优广告策略．解零售商公司的纯销售收入为令

得驻点

（万元）；

(万元）．又因为，

，

，

，所以，函数

在点

取得极大值，又因为是唯一极值点，故为最大值．因此，即最优广告策略为报纸广告费用为0.75万元，而电视广告费用为1.25万元．第七章多元函数微积分

第二节多重积分情景与问题引例1曲顶柱体的体积．设有一曲顶柱体，它的底面

是平面上的有界闭区域

，侧面是以

的边界曲线为准线，母线平行

于轴的柱面，它的顶是由二元非负连续函数

所表示的曲面(图7-14)，求其体积．分析采用类似于求曲边梯形面积的方法，通过分割、局部近似、累加求和、取极限来研究曲顶柱体的体积．图7-14分析采用类似于求曲边梯形面积的方法，通过分割、局部近似、累加求和、取极限来研究曲顶柱体的体积．(1)分割：将区域

任意分割成个

小区域(子域)：

，并用

表示第

个子域的面积．然后对每个子域，作以它的边界为准线，母线平行于

轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分成

个小曲顶柱体．(2)近似：在将小曲顶柱体近似地看成平顶柱体，用子域

内的任意一点

对应的函数值

为它的高，则小曲顶柱体的体积：(3)求和：将这

个小平顶柱体的体积

相加，得到原曲顶柱体体积的近似值，即(4)极限：将区域

无限细分，每个子域趋向于缩成一点，这个近似值就趋向于原曲顶柱休的体积，即其中

是这

个子域的最大直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值)．引例2平面薄片的质量．设有一平面薄板，在

平面上占有区域

，其质量分布的面密度(单位面积上的质量)函数是

上的连续函数，，试求薄板的质量

．分析仍然采用微元法的思想．图7-15(1)分割：将区域

任意分割成

个小块(图7-15)：

，并用

表示第

个小块的面积．(2)近似：当

直径很小时，可以认为在

上的质量分布是均匀的，用

内的任意一点

处的密度

为它的面密度，则第

个小块的质量为：(3)求和：薄板的质量可以表示为(4)极限：用

表示这

个小块的最大直径，当

时，上边和式的极限就是薄片的质量，即抽象推理7.2.1二重积分的概念与性质上面两个例子虽然来自不同的领域，但解决问题的办法却是一样的，都归结为二元函数在平面区域上和式的极限．而这种案例在物理、力学、几何及工程技术中有许多，抽去它们的具体意义，我们就得到二重积分的定义．定义7.7设函数

是定义在有界闭区域

上的有界函数，将闭区域

任意分割成

个子域

，其面积也用

表示．在每个子域

上任取一点

，作和

．如果当各个子域的直径的最大值

趋于零时，上边和式的极限存在，且此极限与区域

的分割方法以及点

的取法无关，则称此极限为函

数

在闭区域

上的二重积分，记作

或

，即

此时称

在

上可积，其中

称为二重积分号，

称为被积函数，

称为积分表达式，

称为面积微元，

为积分区域，

为积分变量．当

时，二重积分

的几何意义就是图7-14所示的曲顶柱体的体积；当

时，柱体在

平面的下方，二重积分表示该柱体体积的相反值，所以

的值是

平面上下方柱体体积的代数和．由于二重积分和定积分本质都是和式的极限，所以它们有着相似的性质，下面给出二重积分的基本性质（以下所遇到的函数假设均可积）．性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分号前面，即性质2函数和或差的二重积分等于各个函数二重积分的和或差，即性质3如果积分区域

被分成两个子区域

，则在

上的二重积分等于各个子区域

上二重积分的和，即性质4如果在区域

上，

，且

的面积为

，则性质5如果在区域

上，

，则有

．性质6假设

在闭区域

上的最大值和最小值分别为

和

，

的面积为

，则

性质7（二重积分中值定理）假设

在闭区域

上连续，

的面积为

，则在

上至少存在一点，使得

．例1试估计二重积分

的值．

解被积函数

在

处取得最小值

，在

处取得最大值

，积分区域的面积

．根据性质6，7.2.2二重积分的计算用二重积分的定义（即和式的极限）来计算二重积分比较困难，我们通常用计算两次定积分的办法来解决．由二重积分定义知当

在闭区域

上可积时，其积分值与区域的分割方式无关，因此可以采取特殊的分割方法来简化计算.1.在直角坐标下计算二重积分在直角坐标系中，用分别平行于

轴和

轴的直线将区域

分成许多小矩形，这时面积元素

，二重积分也可记为．图7-16(2)若区域

可用不等式组表示为

，其中

在

上连续，则称

为

型区域(图7-17).在讨论二重积分之前，先介绍下面两种类型的区域．(1)若区域

可用不等式组表示为

，其中

在

上连续，则称

为

型区域(图7-16).图7-17由二重积分几何意义知，

的值等于一个以

为底，以曲面

为顶的曲顶柱体的体积，我们用微元法解决二重积分的计算.下面以

型区域为例进行讲解.图7-18选

为积分变量，

，任取子区间

.设

表示过点

且垂直

轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积(图7-18)，则曲顶柱体体积

的微元为于是曲顶柱体体积为 由图可见该截面是一个以区间

为底边，以曲线

(此时

是固定的)为曲边的曲边梯形，其面积可表示为 .

将

代入上边曲顶柱体的体积，就得到二重积分在上边的积分过程中，第一次积分时，把

视为常量，对变量

进行积分，它的积分限一般是关于

的函数；第二次是对变量

积分，它的积分限是常量.这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次积分(二次积分)法，上边先积

后积

的积分通常也可以写成拾趣：大家有没有注意到，上述求二重积分的过程，就如同求一个面包的体积呢？如果把面包坐落在

坐标面上，将上表面视为函数

，则一小片面包的切面面积就是

，其体积就是我们的体积微元

，将所有面包片的体积加起来(积分)就是整个面包的体积了（如图7-19所示）.数学与生活联系如此紧密，让我们在生活中学习数学，并用数学的眼光和思维，让生活变得更美好吧!图7-19对于

型区域，先积

后积

，我们可以类似得到例2将二重积分

化为两种不同次序的累次积分.其中

是由

所围成的矩形区域.解先画出积分区域

(图7-20).如果先积

后积

，有如果先积

后积

，有图7-20 例3将二重积分

化为两种不同次序的累次积分.其中

是由

和

轴所围成的区域.解先画出积分区域

(图7-21).求出边界曲线交点

、

和

.

如果先积

后积

，可以将区域

投影到

轴上得区间

，0和2就是对

积分的下限和上限，在

上任取一点

，过

作与

轴平行的直线，发现

在不同的区间

，

上时，区域

的边界曲线是不同的，因此要将

分成两个区域

和

(图7-21)，分别在两个小区域上进行累次积分，并由积分域的可加性，得图7-21 如果先积

后积

，可以将

区域投影到

轴上得区间

，0和1就是对

积分的下限和上限，在

上任取一点

，过

作与

轴平行的直线，与

的边界交两点

和

，它们就是对

积分的下限和上限(图7-22)，所以有累次积分的计算关键是根据所给积分域，定出两次定积分的上下限，可以根据以上例题的方法进行直观的确定.图7-22例4计算二重积分

，其中区域

为由

围成的区域．解先画出积分区域

的图形(如图7-23)，这是一个

型区域，则思考：如果化为先

后

的二次积分，又应该怎么计算（提示：

）．图7-23例5计算二重积分

，其中区域

为由

围成的区域．解先画出

区域的图形(如图7-24)，这是一个

型区域．则此题若先积

后积

，则需分块考虑，计算较麻烦，读者不妨尝试一下．图7-24例6计算

，其中

由直线

与

轴所围成．解求出边界区域交点

、

和