专项04-线段中的动点问题-专题训练（30道）

线段中的动点问题-专题训练（30道）【类型1一般性问题】1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？（2）当P在线段AB上且PA＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米．①运动1秒后，求CD的长；②当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．（1）求AB的长；（2）设点P、Q出发时间为ts，①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值；②直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【类型2满足关系式问题】7．如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若线段AC＝15，BC=25AC，则线段MN（2）若B为线段AC上任一点，满足AC﹣BC＝m，其它条件不变，求MN的长；（3）若原题中改为点B在直线AC上，满足AC＝a，BC＝b，（a≠b），其它条件不变，求MN的长．8．如图，已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．（1）当b＝5时，试求线段AC的长；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB=12AB，求此时满足条件的（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是．9．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？10．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=311．已知数轴上有A、B两个点．（1）如图1，若AB＝a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且ACCB=34，则AC＝，CB＝，MC＝（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20．①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB＝3BN．②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．12．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．（1）求点C所表示的数；（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜72时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段【类型3存在性问题】13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs．（1）AC＝cm；（2）当x＝s时，P、Q重合；（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．14．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．15．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．（2）用含有t的代数式表示AC的长为．（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【类型4定值问题】17．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝，若CF＝m，BE与CF的数量关系是；（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD＝7，且DF＝3DE？若存在，请求出10DFCF18．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC=3，若存在，求线段19．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）若AC＝4cm，求线段EF的长；（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由．20．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，①AB＝cm，②此时线段CD的长度＝cm；（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．21．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM；（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．23．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求证：AP＝PQ；（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问MNAB24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？（3）在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，P向左运动，Q向右运动，P点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点，在P、Q运动的过程中，PQ﹣2MN的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【类型5新定义问题】25．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．26．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．（2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．①点M在运动的过程中表示的数为（用含t的代数式表示）．②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．27．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由28．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC=12AB，此时点C就是点若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．29．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的12，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB=12BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．30．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．

线段中的动点问题-专题训练（30道）解析版【类型1一般性问题】1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．【解题思路】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．【解答过程】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm∵AP＝8cm，AB＝12cm∴PB＝AB﹣AP＝4cm∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm②∵AP＝8，AB＝12，∴BP＝4，AC＝8﹣2t，∴DP＝4﹣3t，∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，∴AC＝2CD；（2）当t＝2时，CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm，当点D在C的右边时，如图所示：由于CD＝1cm，∴CB＝CD+DB＝7cm，∴AC＝AB﹣CB＝5cm，∴AP＝AC+CP＝9cm，当点D在C的左边时，如图所示：∴AD＝AB﹣DB＝6cm，∴AP＝AD+CD+CP＝11cm综上所述，AP＝9cm或11cm2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？（2）当P在线段AB上且PA＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；【解题思路】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；（2）分两种情形求解即可．【解答过程】解：（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，则t+2t＝90，解得t＝30，所以经过30秒时间P、Q两点相遇．（2）∵AB＝60cm，PA＝3PB，∴PA＝45cm，OP＝65cm．∴点P、Q的运动时间为65秒，∵AB＝60cm，13AB＝20cm∴QB＝20cm或40cm，∴点Q是速度为10+2065=613cm3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米．①运动1秒后，求CD的长；②当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是9或11厘米．【解题思路】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．【解答过程】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm），∵AP＝8cm，AB＝12cm，∴PB＝AB﹣AP＝4（cm），∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm），②∵AP＝8，AB＝12，∴BP＝4，AC＝8﹣2t，∴DP＝4﹣3t，∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，∴AC＝2CD；（2）当t＝2时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm），当点D在C的右边时，如图所示：由于CD＝1cm，∴CB＝CD+DB＝7（cm），∴AC＝AB﹣CB＝5（cm），∴AP＝AC+CP＝9（cm），当点D在C的左边时，如图所示：∴AD＝AB﹣DB＝6（cm），∴AP＝AD+CD+CP＝11（cm），综上所述，AP＝9或11，故答案为：9或11．4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．（1）求AB的长；（2）设点P、Q出发时间为ts，①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值；②直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．【解题思路】（1）设AB的长为xcm，则BC＝（x﹣5）cm，根据时间＝路程÷速度结合点P比点Q先到3s，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①根据路程＝速度×时间结合点P与点Q重合得出等式，即可得出结论；②分别利用点P追上点Q前和追上后分别相距2cm分别得出答案．【解答过程】解：（1）设AB＝xcm，根据题意可得：（x﹣5）−x解得：x＝12，答：AB的长为12cm；（2）①由题意可得：3t＝t+5，解得：t=5故点P与点Q重合时（未到达点B），t的值为52②当点P追上点Q前相距2cm，由题意可得：3t+2＝t+5，解得：t=3当追上后相距2cm，由题意可得：3t﹣2＝t+5，解得：t=7当点P到达终点，点Q距离点P2cm，此时t＝5，综上所述：t=32或t5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．【解题思路】①根据AC＝2BC，AB＝18，可求得BC＝6，AC＝12，根据中点定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，确定点F是BC的中点，即可求AD的长．【解答过程】解：①AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，如图1，∵E为BC中点，∴CE＝BE＝3，∵DE＝8，∴BD＝DE+BE＝8+3＝11，∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；②Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2，或∵CE+EF＝3，BC＝6，∴点F是BC的中点，∴CF＝BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，∴AD=13∵CE+EF＝3，故图2（b）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧，或∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝9，∴AF＝3AD＝9，∴AD＝3．∵CE+EF＝3，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：AD的长为3或5．6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【解题思路】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答过程】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC＝5厘米，CN=∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=∴MN＝CM+CN=12AC+12（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤163时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t③当163＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或265或11【类型2满足关系式问题】7．如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若线段AC＝15，BC=25AC，则线段MN的长为（2）若B为线段AC上任一点，满足AC﹣BC＝m，其它条件不变，求MN的长；（3）若原题中改为点B在直线AC上，满足AC＝a，BC＝b，（a≠b），其它条件不变，求MN的长．【解题思路】（1）先求得BC的长，再根据点M、N分别是AC、BC的中点，即可得到线段MN的长；（2）先根据点M、N分别是AC、BC的中点，得到CM=12AC，CN=12BC，再根据MN＝（3）分三种情况进行讨论：点B在线段AC上，点B在AC的延长线上，点B在CA的延长线上，分别根据点M、N分别是AC、BC的中点，依据线段的和差关系进行计算即可．【解答过程】解：（1）∵AC＝15，BC=25∴BC＝6，又∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC=152，∴MN＝CM﹣CN=152−故答案为：92（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC，CN=∴MN＝CM﹣CN=12AC−12BC=12（AC（3）当点B在线段AC上时，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC，CN=∴MN＝CM﹣CN=12AC−12BC=12（AC﹣BC）当点B在AC的延长线上时，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC，CN=∴MN＝CM+CN=12AC+12BC=12（AC+BC）当点B在CA的延长线上时，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC，CN=∴MN＝CN﹣CM=12BC−12AC=12（BC﹣AC）8．如图，已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．（1）当b＝5时，试求线段AC的长；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB=12AB，求此时满足条件的（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是0≤b≤7．【解题思路】（1）根据数轴上点的特点直接可以求解；（2）分b＞0和b＜0分别求值；（3）以B点在0与A之间，B点在0左侧，B点在0右侧分别判断等式是否成立．【解答过程】解：（1）∵点A对应的数为9，b＝5，BC＝2，∴C对应的点为7，∴AC＝2；（2）由题意可得：AB＝9﹣b，AC＝9﹣（b+2）＝7﹣b，当b＞0时，由AC﹣OB=12∴7﹣b﹣b=12（9﹣∴b=5当b＜0时，由AC﹣OB=12∴7﹣b+b=12（9﹣∴b＝﹣5；∴b＝﹣5或53（3）当0≤b≤7时，|AC﹣OB|＝|9﹣（b+2）﹣b|＝|7﹣2b|，|AB﹣OC|＝|9﹣b﹣（b+2）|＝|7﹣2b|符合题意；当b＜0时，|AC﹣OB|＝|9﹣（b+2）﹣（﹣b）|＝7，|AB﹣OC|＝|9﹣b﹣（b+2）|＝|7﹣2b|不符合题意；当b＞7时，|AC﹣OB|＝|（b+2）﹣9﹣b|＝7，|AB﹣OC|＝|b﹣9﹣（b+2）|＝11不符合题意；故答案为0≤b≤7．9．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？【解题思路】（1）根据BC＝30，可得c﹣b＝b﹣a＝30，再根据点C对应的数是20，即可得出点A对应的数为20﹣60＝﹣40；（2）假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR＝4RN，据此得出方程，求出x的值即可．【解答过程】解：（1）如图1，∵BC＝30，∴c﹣b＝b﹣a＝30，∵C点对应20，∴A点对应的数为：20﹣60＝﹣40，B点对应的数为：20﹣30＝﹣10，∴a的值为﹣40，b的值为﹣10；（2）如图2，由（1）可得AB＝BC＝30，设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR＝4RN，∵MR=12（8x+4x+30），RN=12（30﹣4∴当MR＝4RN时，12（8x+4x+30）＝4×12（30﹣4x解得：x＝2.5，∴2.5秒时恰好满足MR＝4RN．10．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=3【解题思路】（1）根据已知条件得到BC＝5，AC＝10，①由线段中点的定义得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，如图3，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y=27x，当点E在点A的左侧，如图4，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4【解答过程】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，∴BC＝5，AC＝10，①∵E为BC中点，∴CE＝2.5，∵DE＝6，∴CD＝3.5，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如图1，当点F在点C的右侧时，∵CF＝3，BC＝5，∴AF＝AC+CF＝13，∴AD=1当点F在点C的左侧时，∵AC＝10，CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AF＝3AD＝7，∴AD=7综上所述，AD的长为133或7（2）当点E在线段BC之间时，如图3，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵AD+ECBE∴0.5x+y+yx−y∴y=27∴CD＝1.5x−27x=1714x，BD＝3x﹣（0.5x+y∴CDBD当点E在点A的左侧，如图4，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝∴y−0.5x+yx+y∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴CDBD当是D在A右侧，E在C左侧时，如图5，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AD=12x﹣∵AD+ECBE∴12∴x＝2x+2y（不合题意），当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述CDBD的值为1731或11．已知数轴上有A、B两个点．（1）如图1，若AB＝a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且ACCB=34，则AC＝37a，CB＝47a，MC＝（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20．①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB＝3BN．②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．【解题思路】（1）根据题意计算即可；（2）根据题意列方程即可得到结论；由点P、Q的运动规律找出点P、Q表示的数，分三种情况考虑，根据两点间的距离公式结合PQ＝18即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵AB＝a，C为线段AB上的一点，且ACCB∴AC=33+4AB=37a，CB=∵M是AB的中点，∴MC=12AB−37故答案为：37a，47a，1（2）①∵若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20，∴AB＝BC＝30，设x秒时，C在B右边时，恰好满足MB＝3BN，∵BM=12（8x+4x+30），BN=12（30﹣4∴当MB＝3BN时，12（8x+4x+30）＝3×12（30﹣4x解得：x＝2，∴2秒时恰好满足MB＝3BN；②点P表示的数为20﹣t，点Q表示的数为20﹣3（t﹣30），Ⅰ、当点P移动18秒时，点Q没动，此时，PQ两点间的距离恰为18个单位；Ⅱ、点Q在点P的右侧，∴20﹣3（t﹣30）﹣（20﹣t）＝18，解答：t＝36，Ⅲ、当点Q在点P的左侧，∴20﹣t﹣[20﹣3（t﹣30）]＝18，解答：t＝54；综上所述：当t为18秒、36秒和54秒时，P、Q两点相距18个单位长度．12．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．（1）求点C所表示的数；（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜72时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段【解题思路】（1）根据线段的和差得到AB＝4，得到OC＝24﹣16＝8，于是得到点C所表示的数为﹣8；（2）分三种情况：设运动时间为t，则AP＝BQ＝2t，求得PC＝24﹣2t，CQ＝28﹣2t，根据线段中点的定义得到CE=12PC＝12﹣t，CF=12（3）根据题意得到P表示的数为16﹣2t，Q表示的数为20﹣2t，M表示的数为﹣8+6t，N表示的数为﹣10+6t，知MQ＝20﹣2t﹣（﹣10+6t）＝30﹣8t，由3＜t＜72知9＜16﹣2t＜10，8＜﹣10+6t＜11，从而以点N与点P位置先后来分类讨论，利用MQ﹣NT＝3【解答过程】解：（1）∵OA＝16，点B所表示的数为20，∴AB＝4，∵AC＝6AB，∴AC＝24，∴OC＝24﹣16＝8，∴点C所表示的数为﹣8；（2）设运动时间为t，当0＜t＜9时，点P，Q在点C的右侧，则AP＝BQ＝2t，∵AC＝24，BC＝28，∴PC＝24﹣2t，CQ＝28﹣2t，∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，∴CE=12PC＝12﹣t，CF=12∴EF＝CF﹣CE＝2；当9＜t＜14时，点P，Q在点C的左右，PC＝2t﹣24，CQ＝28﹣2t，∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，∴CE=12PC＝t﹣12，CF=12∴EF＝CE+CF＝2，当t＞14时，点P，Q在点C的左侧，PC＝2t﹣24，CQ＝2t﹣28，CE=12PC＝t﹣12，CF=12∴EF＝CE﹣CF＝2，综上所述，EF＝2；（3）由题意得，P表示的数为16﹣2t，Q表示的数为20﹣2t，M表示的数为﹣8+6t，N表示的数为﹣10+6t，则MQ＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，∵3＜t＜7∴9＜16﹣2t＜10，8＜﹣10+6t＜11，当8＜﹣10+6t≤9时，∵TN＝PN﹣PT，MQ﹣NT＝3PT，∴MQ﹣PN+PT＝3PT，∴28﹣8t﹣[16﹣2t﹣（﹣10+6t）]＝2PT，解得PT＝1；当9＜﹣10+6t＜11时，∵TN＝PT﹣PN，MQ﹣NT＝3PT，∴28﹣8t﹣PT+（﹣10+6t）﹣（16﹣2t）＝3PT，解得PT=1综上PT＝1或12【类型3存在性问题】13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs．（1）AC＝12cm；（2）当x＝203s时，P、Q（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据线段的和差，可得答案；（2）根据相遇时间＝路程和÷速度和，列出方程计算即可求解；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答过程】解：（1）AC＝AB﹣BC＝20﹣8＝12（cm）．故答案为：12；（2）20÷（2+1）=203（故当x=203s时，P、故答案为：203（3）存在，①C是线段PQ的中点，得2x+20﹣x＝2×12，解得x＝4；②P为线段CQ的中点，得12+20﹣x＝2×2x，解得x=32③Q为线段PC的中点，得2x+12＝2×（20﹣x），解得x＝7；综上所述：x＝4或x=325或14．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【解题思路】（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=14（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．【解答过程】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，∴0≤t≤6，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，解得：t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，解得：t＝2（舍去）；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，解得：t=14综上所述，当t＝2或143时，点C为线段MN（3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，∵点P是线段CN的中点，∴CP=12CN＝∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此时，PM的长度保持不变；②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN＝（8﹣2t）cm，∵点P是线段CN的中点，∴CP=12CN=12（8﹣2t）＝（4﹣∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此时，PM的长度变化；③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，∵点P是线段CN的中点，∴CP=12CN=12（2t﹣8）＝（∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此时，PM的长度保持不变；综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．15．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AC的长为2，当t＝2秒时，AC的长为4．（2）用含有t的代数式表示AC的长为t+2．（3）当t＝6秒时AC﹣BD＝5，当t＝11秒时AC+BD＝15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）依据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可．（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点A、点D表示的数；根据两点间的距离＝|a﹣b|表示出AC、BD，根据AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC＝2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答过程】解：（1）当t＝0秒时，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；当t＝2秒时，移动后C表示的数为2，∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．故答案为：2；4．（2）点A表示的数为﹣2，点C表示的数为t；∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．故答案为t+2．（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，∵AC﹣BD＝5，∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．解得：t＝6．∴当t＝6秒时AC﹣BD＝5；∵AC+BD＝15，∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，t＝11；当t＝11秒时AC+BD＝15，故答案为6，11；（4）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，∵AC＝2BD，∴|t﹣2|＝2|t﹣9|，解得：t1＝16，t2=20故在运动的过程中使得AC＝2BD，此时运动的时间为16秒和20316．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是15；点C表示的数是3；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据两点间的距离公式可求点B表示的数是；根据线段的倍分关系可求点C表示的数；（2）分点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后两种情况讨论即可求解；（3）分点P在点C左侧时，点P在点C右侧时两种情况讨论即可求解．【解答过程】解：（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×1故答案为：15，3；（2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P表示的数是1；当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t=5此时点P表示的数是113综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或11317．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝4，若CF＝m，BE与CF的数量关系是BE＝2CF；（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD＝7，且DF＝3DE？若存在，请求出10DFCF【解题思路】（1）先根据EF＝CE﹣CF求出EF，再根据中点的定义求出AE，然后根据BE＝AB﹣AE代入数据进行计算即可得解；根据BE、CF的长度写出数量关系即可；（2）根据中点定义可得AE＝2EF，再根据BE＝AB﹣AE整理即可得解；（3）设DE＝x，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE＝2CF求解得到x的值，再求出DF、CF，计算即可得解．【解答过程】解：（1）∵CE＝6，CF＝2，∴EF＝CE﹣CF＝6﹣2＝4，∵F为AE的中点，∴AE＝2EF＝2×4＝8，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣8＝4，若CF＝m，则BE＝2m，BE＝2CF；（2）（1）中BE＝2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，∴AE＝2EF，∴BE＝AB﹣AE，＝12﹣2EF，＝12﹣2（CE﹣CF），＝12﹣2（6﹣CF），＝2CF；（3）存在，DF＝3．理由如下：设DE＝x，则DF＝3x，∴EF＝2x，CF＝6﹣2x，BE＝x+7，由（2）知：BE＝2CF，∴x+7＝2（6﹣2x），解得，x＝1，∴DF＝3，CF＝4，∴10DFCF18．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是4或16；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC=3，若存在，求线段【解题思路】（1）设运动t秒时，BC＝8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．【解答过程】解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t＝24解得：t＝2；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣8+2t＝24解得：t＝4．（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．（3）方法一：存在关系式BD−APPC设运动时间为t秒，1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即BD−APPC2）当3＜t＜134时，点C在点A和点B之间，0＜①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC，当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即BD−APPC点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC，当PC=12时，有BD＝AP+3PC，即3）当t=134时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4当PC=12时，有BD＝AP+3PC，即4）当134＜t＜72时，0＜PC＜4，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣PC=12时，有BD＝AP+3PC，即∵P在C点左侧或右侧，∴PD的长有2种可能，即5或3.5．方法二：设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），∵BD−APPC∴BD﹣AP＝3PC，∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|，即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|，①当C点在P点右侧时，18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x，∴x+8t＝15，∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5；②当C点在P点左侧时，18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x，∴x+8t=33∴PD＝20﹣（8t+x）＝20−33∴PD的长有2种可能，即5或3.5．【类型4定值问题】19．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）若AC＝4cm，求线段EF的长；（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由．【解题思路】（1）由BD＝AB﹣AC﹣CD可求解BD的长，结合中点的定义可求解EF的长；（2）由中点的定义可得AE=12AC，BF=12BD，根据EF＝AB﹣【解答过程】解：（1）∵AC＝4cm，CD＝3cm，AB＝15cm，∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝15﹣4﹣3＝8（cm），∵点E是AC的中点，点F是BD的中点，∴EC=1∴EF＝EC+CD+DF＝2+3+4＝9（cm）；（2）线段EF的长度不发生变化．∵点E是AC的中点，点F是BD的中点，∴AE=1∴EF＝AB﹣AE﹣BF=AB−12AC−20．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，①AB＝4cm，②此时线段CD的长度＝3cm；（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．【解题思路】（1）①根据速度乘以时间等路程，可得答案；②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得BE的长，BC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答过程】解：（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4cm，故答案为：4；②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6cm，由C是线段BD的中点，得CD=12BD=1故答案为：3．（2）点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm，点B沿点D→A运动时，AB＝20﹣2tcm；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长不变，由AB中点为E，C是线段BD的中点，得BE=12AB，BC=EC＝BE+BC=12（AB+BD）=121．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM；（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．【解题思路】（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可．（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论．（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN=12PB＝x﹣12，分别表示出MN，MN+【解答过程】解：（1）如图1，设出发x秒后PB＝2AM，当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，由题意得，24﹣2x＝2x，解得：x＝6；当点P在点B右边时，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解；综上可得：出发6秒后PB＝2AM．（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；（3）选①；如图2，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN=12PB＝∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；②MN+PN＝12+x﹣12＝x（变化）．22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数﹣4；（2）点P所表示的数6﹣6t；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【解题思路】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为12AB，所以得出结论线段MN【解答过程】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，点B在原点左边，所以数轴上点B所表示的数为﹣4，故答案为：﹣4；（2）点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t，故答案为：6﹣6t；（3）线段MN的长度不发生变化，理由：分两种情况：①当点P在A、B两点之间运动时，如图MN＝MP+NP=12BP+12②当点P运动到B的左边时，如图MN＝MP﹣NP=12AP−12综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5…（10分）23．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：AB＝3AP；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求证：AP＝PQ；（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问MNAB【解题思路】（1）根据BD＝2PC可知PD＝2AC，故可得出BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，所以点P在线段AB上的13（2）由题意得AQ＞BQ，故AQ＝AP+PQ，再根据AQ﹣BQ＝PQ，可知AQ＝BQ+PQ，故AP＝BQ，由（1）得，AP=13AB，故PQ＝AB﹣AP﹣BQ=（3）当C点停止运动时，有CD=12AB，故AC+BD=12AB，所以AP﹣PC+BD=12AB，再由AP=13AB，设PC＝acm，BD＝2acm，解得AB＝6acm，再根据M是【解答过程】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC，∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的13处，即AB＝3AP故答案为：AB＝3AP；（2）证明：如图1，由题意得AQ＞BQ，∴AQ＝AP+PQ，又∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝BQ+PQ，∴AP＝BQ．由（1）得，AP=13∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ=13（3）MNAB理由：如图2，当C点停止运动时，有CD=12∴AC+BD=12∴AP﹣PC+BD=12∵AP=13设PC＝acm，则BD＝2acm，∴13AB﹣a+2a=1解得AB＝6acm．∵M是CD中点，N是PD中点，∴MN＝MD﹣ND=12CD−12PD=∴MNAB24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？（3）在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，P向左运动，Q向右运动，P点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点，在P、Q运动的过程中，PQ﹣2MN的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【解题思路】（1）根据BC＝30，可得c﹣b＝b﹣a＝30，再根据点C对应的数是20，即可得出点A对应的数以及点B对应的数；（2）假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR＝4RN，据此得出方程，求出x的值即可；（3）根据（1）中的条件得到PQ＝60+12t，MN＝NO+MB﹣OB＝25+6t，进而得到PQ﹣2MN＝（60+12t）﹣2（25+6t），化简计算即可．【解答过程】解：（1）如图1，∵BC＝30，∴c﹣b＝b﹣a＝30，∵C点对应20，∴A点对应的数为：20﹣60＝﹣40，B点对应的数为：20﹣30＝﹣10，∴a的值为﹣40，b的值为﹣10；（2）如图2，由（1）可得AB＝BC＝30，设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR＝4RN，∵MR=12（8x+4x+30），RN=12（30﹣4∴当MR＝4RN时，12（8x+4x+30）＝4×12（30﹣4x解得：x＝2.5，∴2.5秒时恰好满足MR＝4RN；（3）如图3，设运动的时间为t，则AP＝8t，CQ＝4t，由（1）可得AB＝BC＝30，点C表示20，∴AO＝40，AC＝60，BO＝10，∴PQ＝AP+AC+CQ＝8t+60+4t＝60+12t，∵N为OP的中点，M为BQ的中点，∴NO=12OP，BM=∴MN＝NO+MB﹣OB=12OP+12BQ﹣OB=12（40+8t）∴PQ﹣2MN＝（60+12t）﹣2（25+6t）＝10，即PQ﹣2MN的值不发生变化，是定值10．【类型5新定义问题】25．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝10，线段AB的中点表示的数为3；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【解题思路】（1）根据题意即可得到结论；（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；（4）由点M表示的数为−2+(−2+3t)2=3t2−【解答过程】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t＝8﹣2t，解得：t＝2，∴当t＝2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，又PQ=12AB∴|5t﹣10|＝5，解得：t＝1或3，∴当：t＝1或3时，PQ=12（4）∵点M表示的数为−2+(−2+3t)2点N表示的数为8+(−2+3t)2∴MN＝|（3t2−2）﹣（3t2+3）|＝|26．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点是这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．（2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．①点M在运动的过程中表示的数为20﹣3t（用含t的代数式表示）．②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．【解题思路】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t；②用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可；③用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可．【解答过程】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点两侧的小线段的长，所以一条线段的中点是这条线段的二倍点．故答案为：是．（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t，故答案为：20﹣3t；②当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t=10当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t=20答：t为103或5或203时，点M是线段③当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t=15当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t=90当