专项04-角的平分线问题-专题训练（30道）

角的平分线问题-专题训练（30道）类型一单角平分线型1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC的度数．3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=12∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠6．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．9．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．类型二双角平分线（不交叉型）11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝96°，求∠AOB的度数．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图①，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图②，如图③，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图②结论：；图③结论：．15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．①若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝°；②若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．16．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．类型三双角平分线（交叉型）21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．23．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．24．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．27．已知：如图①所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图②所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）28．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）29．如图，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分别平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，则∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依旧分别平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改变？；（3）试说明（2）的结论的理由．30．已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠MON的度数为；（2）如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数；（3）在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF＝8°，求∠GOC的度数．

角的平分线问题-专题训练（30道）解析版类型一单角平分线型1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．【解题思路】本题需先结合图形，得出∠AOC的度数，再根据OD平分∠AOC，得出∠AOD的度数，最后即可求出正确答案．【解答过程】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=12∠∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝15°．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC的度数．【解题思路】根据角平分线的定义，由OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，得∠BOD＝2∠BOE＝34°，从而解决此题．【解答过程】解：∵OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，∴∠BOD＝2∠BOE＝34°．∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOD＝360°﹣90°﹣90°﹣34°＝146°．3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=12∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠【解题思路】设∠BOE为x°，则∠DOB＝55°﹣x°，∠EOC＝2x°，然后根据角平分线定义列方程解决求出∠BOE，可得∠EOC．【解答过程】解：设∠BOE为x°，则∠DOB＝55°﹣x°，由∠BOE=12∠EOC可得∠EOC＝2由OD平分∠AOB，得∠AOB＝2∠DOB，故有2x+x+2（55﹣x）＝140，解方程得x＝30，故∠EOC＝2x＝60°．4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．【解题思路】（1）根据补角的性质得到∠BOE＝∠AOE＝90°，根据角平分线的性质得到∠BOD＝∠BOC＝28°，根据角的和差即可得到结论；（2）根据题意求出∠COE的度数，再结合（1）的结论计算即可．【解答过程】解：（1）∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠BOE＝∠AOE＝90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOD＝∠BOC＝28°，∴∠DOE＝90°﹣∠BOD＝62°；∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝118°；（2）∵∠BOE＝90°，且∠BOC＝28°，∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝118°，∴∠COE+∠DOE＝118°+62°＝180°．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠【解题思路】（1）已知∠COD，欲求∠DOE，需求∠COE．由∠AOC＝40°，得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．由OE平分∠BOC，得∠COE=1（2）欲求∠AOC，需求∠BOC．由∠COE=13∠DOB，得∠DOB＝3∠COE．由OE平分∠BOC，得∠BOC＝2∠COE．由∠COD＝90°，得∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°，故∠COE＝18°，进而可求得∠【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．（2）∵∠COE=13∠∴∠DOB＝3∠COE．∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD＝90°，∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．∴∠COE＝18°．∴∠BOC＝2∠COE＝36°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．6．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．【解题思路】（1）由∠AOB﹣∠COD＝60°，可得∠AOC+∠BOD＝60°，从而可求解；（2）由（1）可行∠BOD＝60°﹣∠AOC，结合OB是∠DOE的平分线．则有∠DOE＝2∠BOD，再利用所给的条件即可求解．【解答过程】解：（1）∵∠AOB﹣∠COD＝60°，∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD，∴∠AOC+∠COD+∠BOD﹣∠COD＝60°，得：∠AOC+∠BOD＝60°，∵∠AOC＝x，∴∠BOD＝60°﹣x；（2）由（1）得：∠BOD＝60°﹣x，∵OB是∠DOE的平分线．∴∠DOE＝2∠BOD，∵∠DOE+∠AOC＝97°16'，∴2∠BOD+∠AOC＝97°16’，2（60°﹣x）+x＝97°16'，解得：x＝22°44'，即∠AOC＝22°44’．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．【解题思路】（1）根据角平分线的定义求得∠2＝∠BOE，再根据∠1与∠2的关系和平角的定义，列方程即可求得∠2的度数；（2）根据余角的定义，可求出∠COF的度数．【解答过程】解：（1）∵OE平分∠BOC，∴∠2＝∠BOE，设∠2＝x°，则∠1＝（x+75）°，∵∠2+∠BOE+∠1＝180°，∴x+x+x+75＝180，解得x＝35，∴∠2＝35°；（2）∵∠EOF＝∠2+∠COF＝90°，∠2＝35°，∴∠COF＝90°﹣35°＝55°．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC互补；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．【解题思路】（1）根据周角与∠AOB，∠DOC的差得结论；（2）根据OE平分∠AOD，再利用角的和差关系，推角相等，从而得OF是∠BOC的平分线；（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，利用平角列方程求x的度数，进而得∠AOD的度数．【解答过程】解：（1）∠AOD和∠BOC互补．∵∠AOD+∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC＝360°﹣90°﹣90°＝180°．∴∠AOD和∠BOC互补．故答案为：互补．（2）∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝∠EOA，∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，∴∠BOF＝∠COF．∴OF是∠BOC的平分线．（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，∴∠FOC＝∠BOF＝3x．∵∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG＝180°，∴90°+3x+3x+2x＝180°，解得，x＝（908∴∠AOD＝180﹣6×（9089．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（3）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．【解答过程】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝10°，∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝80°，∵OC平分∠MOB，∴∠BOM＝2∠MOC＝160°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝20°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；（3）∠AOM＝2∠NOC．令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，∴∠AOM＝2∠NOC．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【解题思路】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解；（3）分OD在∠AOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解．【解答过程】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC=13∠AOB∠BOC=23∠AOB（2）∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC∵∠CON：∠BON＝1：3，∴∠CON=14∠BOC∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°；（3）如图，当OD在∠AOB内部时，设∠BOD＝x°，∵2∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD=32∵∠AOB＝120°，∴x+32解得：x＝48，∴∠BOD＝48°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣48°＝32°，如图，当OD在∠AOB外部时，设∠BOD＝y°，∵2∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD=32∵∠AOB＝120°，∴32y+y解得：y＝96°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝96°+80°＝176°，综上所述，∠COD的度数为32°或176°．类型二双角平分线（不交叉型）11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝96°，求∠AOB的度数．【解题思路】根据比例设∠AOC、∠COD、∠DOB，然后根据角平分线的定义表示出∠DON、∠COM，然后根据∠MON的度数列出方程，求得x的值即可表示出∠AOB的度数．【解答过程】解：设∠AOC＝3x，∠COD＝4x，∠DOB＝5x，则∠AOB＝12x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝1.5x，∠NOD＝2.5x，∴∠MON＝1.5x+4x+2.5x＝8x，∵∠MON＝96°，∴8x＝96°，解得x＝12°，∴∠AOB＝144°．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义求出∠COD的度数即可，先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；（3）根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC，然后整理即可得解．【解答过程】解：（1）∵OD平分∠BOC，∠BOC＝70°，∴∠COD=12∠BOC∵∠BOC＝70°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠AOC（2）∠COD与∠EOC互余，理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=12∠BOC，∠EOC=1∴∠COD+∠EOC=12（∠BOC+∠AOC）∴∠COD与∠EOC互余．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．【解题思路】（1）欲求∠MON，需求∠BON和∠BOM．由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠NOB=12∠DOB，∠（2）由题意得射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部，故需分类讨论．【解答过程】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠NOB=12∠DOB，∠∴∠NOB+∠BOM=1∴∠MON=1又∵∠AOD＝156°，∴∠MON=1（2）由题意得：射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部．①当射线OC可能在∠DON内部时，如图1．由（1）知：∠MON＝78°．∴∠COM＝∠CON+∠MON＝23°+78°＝101°．②当射线OC在∠NOB内部时，如图2．由（1）知：∠MON＝78°．∴∠COM＝∠MON﹣∠NOC＝78°﹣23°＝55°．综上：∠COM＝101°或55°．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图①，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图②，如图③，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图②结论：12（a+β）图③结论：12（a﹣β）【解题思路】（1）利用角平分线的性质，可先求出∠COD+FOD的度数，再求∠EOF的度数；（2）利用角平分线的性质和角的和差关系，把∠COD写成两个12∠COD【解答过程】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE=12∠AOC，∠DOF=1∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD，∴∠AOC+∠BOD＝90°∴∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF=12∠AOC+12=12（∠AOC+∠BOD=1＝75°．（2）图②∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF=12∠AOC+12∠BOD+1=12（∠AOC+∠BOD+∠COD）+=12∠AOB+=12（图③∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠EOF＝∠COE+∠DOF﹣∠COD=12∠AOC+12∠BOD−1=12（∠AOC+∠BOD﹣∠COD）−=12∠AOB−=12（故答案为：12（a+β）；12（15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．①若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝63°；②若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．【解题思路】（1）根据角平分线的定义，和角的和差关系，可找到∠BOC和∠DOE的度数，代入数据即可；（2）根据角平分线的定义，和角的和差关系，可找到∠BOC和∠DOE的度数，代入数据即可；【解答过程】解：（1）①如图，∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOB，∠AOE=1∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE=12（∠AOB+∠AOC）=1∵∠BOC＝126°∴∠DOE＝63°，故答案为：63．②由①可知，∠DOE=12∠∵∠∠BOC＝164°，∴∠DOE＝82°．（2）如图，∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOB，∠AOE=1∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12（∠AOB﹣∠AOC）=1∵∠BOC＝n°，∴∠DOE=1216．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠【解题思路】（1）根据角平分线的定义以及角的和差定义计算即可；（2）根据∠DOE：∠DOC＝3：2，设∠DOE＝3x，∠DOC＝2x，根据条件分别求出∠EOD，∠DOC即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵OE平分∠AOD，OC平分∠BOD，∴∠EOD=12∠AOD，∠DOC=1∴∠EOC=12（∠AOD+∠DOB）=1（2）∵∠DOE：∠DOC＝3：2，∴设∠DOE＝3x，∠DOC＝2x，∵∠EOA=14∠∴∠AOD＝4x，∵∠DOC=23∠∴∠DOB＝3x，∵∠AOB＝100°，∴3x+4x＝70°，∴x＝10°，∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝5x＝50°．17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON的度数为78°．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．【解题思路】（1）先由角的和差关系求得∠AOB，再由角平分线求得∠BOM和∠BON，最后求此两角的和便可；（2）先由角平分线得到∠MON=12∠AOD，再由∠MON﹣∠CON（3）由∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，得∠AOC＝（52+2t）°，∠BOD＝（126﹣2t）°，再由角平分线求得∠AOM和∠DON，再分两种情况：∠AOM＝2∠DON和∠DON＝2∠AOM，分别列出t的方程进行解答便可．【解答过程】解：（1）∵∠AOD＝156°，∠BOD＝96°，∴∠AOB＝156°﹣96°＝60°，∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM＝30°，∠BON＝48°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝78°；（2）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=1∵∠MON＝∠BOM+∠BON=12（∠AOB+∠BOD）=12∴∠COM=∠MON−∠CON=1（3）∵∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∴∠AOC＝（52+2t）°，∠BOD＝（126﹣2t）°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM＝（26+t）°，∠DON＝（63﹣t）°，当∠AOM＝2∠DON时，26+t＝2（63﹣t），则t=100当∠DON＝2∠AOM时，63﹣t＝2（26+t），则t=11故当t=1003或113时，∠AOM18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．【解题思路】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）根据∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可．【解答过程】解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF=12∠AEF，∠MEF=∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF=12∠AEF+12∠BEF=12（∠AEF∵∠AEB＝180°∴∠MEN=1（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG=1∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．【解题思路】（1）根据∠AOB＝60°，OM平分∠AOB和∠COD＝45°，ON平分∠COB，分别求出∠MOB和∠BON的度数，再根据∠MON＝∠MOB+∠BON，即可得出答案；（2）先设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60﹣2x，根据∠AOB＝60°，∠COD＝45°，列出算式，求出x﹣y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，即可求出答案；先设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60﹣x，根据∠BOD＝∠DOM﹣∠BOM，得出∠BOD的度数，再根据∠COB＝∠BOD+∠DOC，求出∠CON＝∠BON，最后根据∠MON＝∠BOM+∠BON，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴∠MOB＝30°，∵∠COD＝45°，ON平分∠COB，∴∠BON＝22.5°，∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝30°+22.5°＝52.5°．故答案为：52.5°．（2）①如图2，设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60﹣2x，∵∠COD＝45°，∴60﹣2x+2y＝45°，x﹣y＝7.5°，∴∠MON＝x+（60﹣2x）+y＝60﹣（x﹣y）＝52.5°．②如图3，设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60﹣x，∵∠BOD＝∠DOM﹣∠BOM，∴∠BOD＝x﹣（60﹣x）＝2x﹣60，∵∠COB＝∠BOD+∠DOC，∴∠COB＝（2x﹣60）+45＝2x﹣15，∴∠CON＝∠BON=12（2x﹣15）＝∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝60﹣x+x﹣7.5＝52.5°．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解题思路】利用三角板角的特征和角平分线的定义解答，（1）根据余角的定义即可得到结论；（2）由角平分线的定义得到∠BOC=12∠COD（3）根据角平分线的定义得到12（∠BOD+∠AOC）=【解答过程】解：（1）∠BOD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠BOC=12∠COD∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°；（3）∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°，12（∠BOD+∠AOC）=∠MON=12（∠BOD+∠AOC）+∠即∠MON的度数不会发生变化，总是75°．类型三双角平分线（交叉型）21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．【解题思路】直接利用角的和差关系得∠BOD＝36°，再利用角平分线的定义得出∠COE以及∠DOF的度数．【解答过程】解：∵∠COD＝90°，∠BOC＝54°，∴∠BOD＝90°﹣54°＝36°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝18°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝54°+18°＝72°，∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣18°＝162°．∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝81°﹣18°＝63°，综上，∠COE的度数为72°，∠DOF的度数为63°．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．【解题思路】（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；【解答过程】解：（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+60°＝160°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA=12∠∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝100°﹣80°＝20°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON＝30°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝20°+30°＝50°；（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠MOA=12∠AOC∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α−12（α+β）=1∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝∠CON=1∴∠MON＝∠BOM+∠BON=12α−12β故∠MON=123．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝35°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．【解题思路】（1）根据角的和差关系可得∠AOC的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案；（2）根据角的和差关系可得∠AOC的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案；（3）根据角的和差关系可得∠AOC的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案．【解答过程】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC＝75°，∠NOC=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+60°＝130°．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC＝65°，∠NOC=1∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°；故答案为：35；（3）12如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC∠NOC=12∠BOC∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）−124．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．【解题思路】（1）由平分线可得∠AOD＝∠BOD=12∠AOB，∠DOE=12∠AOD，从而得∠DOE=14∠AOB，结合∠COD=12∠AOB﹣∠（2）利用（1）的结果求得∠BOD的度数，从而可求∠BOF的度数．【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝5∠BOC，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝6∠BOC，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB，∠DOE=1∴∠DOE=14∠∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC=12∠AOB﹣∠BOC，∠∴∠COD+∠DOE＝∠COE＝70°，12∠AOB﹣∠BOC+143∠BOC﹣∠BOC+32∠解得：∠BOC＝20°，∴∠AOB＝120°；（2）由（1）得∠AOB＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝60°，∵∠BOD+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝30°．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．【解题思路】（1）利用角平分线的定义和角的和差的意义即可解答；（2）由∠BOE＝20°，可得∠AOE＝70°，由角平分线的意义可得∠EOC＝∠AOE＝70°，则∠BOC＝∠EOC﹣∠BOE．【解答过程】解：（1）∠AOB是直角，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°．∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠∵OF平分∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠FOC=12∠∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝45°；（2）∵∠BOE＝20°，∠AOB是直角，∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝70°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠EOC＝70°，∴∠BOC＝∠EOC﹣∠BOE＝70°﹣20°＝50°．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．【解题思路】（1）由∠BOE＝3∠DOE，设∠DOE＝α，则∠BOE＝3α，再由∠COE＝70°，及OC平分∠AOD可分别表达出∠COD及∠AOD的度数，再利用平角可得出结论；（2）由∠BOD：∠COD＝3：2，设∠BOD＝3β，则∠COD＝2β，再结合角平分线的性质可用β表达出∠DOE的度数，求出β的值，可求出∠EOD的度数．【解答过程】解：（1）如图1，∠DOE＝α，则∠BOE＝3α，∵∠COE＝70°，∴∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝70°﹣α，∵OC平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠COD＝140°﹣2α，∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∴140°﹣2α+α+3α＝180°，∴α＝20°，∴∠BOE＝3α＝60°．（2）如图2，设∠BOD＝3β，则∠COD＝2β，∴∠BOC＝5β，∵OF平分∠COD，∴∠COF＝DOF=12∠∵OE是∠BOC的平分线，∴∠COE=12∠BOC∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD=1∠EOF＝∠COE﹣∠COF=3∵∠DOE＝12°，∴12∴∠EOF=327．已知：如图①所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是65°．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图②所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）【解题思路】（1）利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可；（2）利用（1）中的方法解答即可；（3）同（1）中的方法利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可．【解答过程】解：（1））∵OE平分∠AOC，∠AOC＝80°，∴∠EOC=12∠∵OF平分∠BOC，∠AOC＝50°，∴∠FOC=12∠∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝65°．故答案为：65°．（2）∵OE平分∠AOC，∠AOC＝a，∴∠COE=1∵OF平分∠BOC，∠AOC＝β，∴∠COF=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=1∵∠EOF=12（α+β）=12（∠AOC+∠BOC），∠AOC+∠∠EOF与∠AOB之间的关系为：∠EOF=12∠AOB（或∠AOB（3）∠EOF=12∠∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC∴∠COE=12∴∠EOF=∠COE−∠COF