专题10 三角形压轴（测试）

专题10三角形压轴目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）题型02与三角形有关的平移问题题型03与三角形有关的翻折问题题型04与三角形有关的旋转问题题型05与三角形有关的全等/相似问题题型06与三角形有关的最值问题题型07与三角形有关的动点问题题型08与三角形有关的新定义问题题型09与三角形有关的阅读理解问题题型10与三角形有关的存在性问题题型11三角形与几何图形综合题型12三角形与函数综合模拟集训

真题演练题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）1．（2023·陕西宝鸡·一模）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD，△BCE，△ABC的面积分别是S1,S2,S3现有如下结论：①S1:S2=AC

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．（2023·浙江湖州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别是边AB和BC上的两点，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与DE交于点F．下列三个结论：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME=113．（2023·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF=BC；②2cos∠DEB=12，③AE−CE=2ED

题型02与三角形有关的平移问题4．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AB=5，BC=3，则CD的长为________【操作一】如图，②，将图①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，则四边形AECD的周长为________；【操作二】如图③，将图②中的△ACE沿射线AB方向平移，使点A与点D重合，得到△DGF，点E的对应点为点F．（1）求证：四边形ADFE是菱形；（2）直接写出四边形ADGF的周长．5．（2023·山东青岛·三模）已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点(1)设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S(2)已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO的面积分别为S1、S2、6．（2023·辽宁沈阳·三模）在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B4，2，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'

(1)如图1，当E'O'经过点A(2)设OO'=t，△D'①如图②，当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D'E'与AB相交于点M，E'O'分别与AB，BC②请直接写出满足S=72的所有t的值题型03与三角形有关的翻折问题7．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，点E、F分别在直线AC、边BC上，连接EF，将△CEF沿着EF翻折，点C落在边AB上的点D处.过点D作DM⊥AB，交直线AC于M(1)AC=_____，BC=________；(2)当CF=CE时，求证：△EMD≌△FBD；(3)当CMCE=1(4)连接CD交EF于点P，当AP+BP取最小值=_时，EF的值为_．8．（2023·重庆·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过B点作BE⊥AC于点E，点D为线段AC的中点，连接BD(1)如图1，AB=2，AC=6，求(2)如图2，将线段DB绕着点D逆时针旋转45°得到线段DG，此时DG⊥AC，连接BG，点F为BG的中点，连接EF，求证：BC=2EF；(3)如图3，∠ACB=30°，AB=3，点P是线段BD上一点，连接AP，将△APB沿AP翻折到同一平面内得到△APB'，连接CB'，将线段绕点CB'顺时针旋转60°得线段9．（2023·重庆渝北·二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．

(1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE，若D点在AB边上，且DC=5，tan∠ACD=1(2)如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB−BD=AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在的平面内得到△BD'C，M点在AB边上，且AM=14AB，将MA绕点A逆时针旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至△MNH所在平面内得到△MN'H，在点D题型04与三角形有关的旋转问题10．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AD，AD交BC于点G，过点C作CF⊥AD于点F．(1)如图1，当旋转22.5°时，若BG=1，求AC的长；(2)如图2，当旋转30°时，连接BD，CD，延长CF交BD于点E，连接EG，求证：AG=CE+EG；(3)如图3，点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，若NA=2，请直接写出△CNM的面积．11．（2023·贵州贵阳·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC和Rt△ADE有公共顶点A，连接BD和(1)如图①，若AB=AC，AD=AE，当△ABC绕点A旋转α0°<α<360°，BD和CE(2)如图②，若AD:AE=AB:AC=1:3，当Rt△ABC绕点A旋转α0°<α<360°，（1）中BD(3)在（2）的条件下，若AD=23，AB=3，在旋转过程中，当C，B，D三点共线时，请直接写出12．（2023·广东云浮·三模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE=_______，DE=__________；(2)参考小明思考问题的方法，解决下列问题：①已知：如图3，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，则该三角形的形状是_______．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．猜想线段BE、EF题型05与三角形有关的全等/相似问题13．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图1，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，则PA的长为______；（2）如图2，∠MON=120°，点P是∠MON平分线上的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON上，且∠APB=60°，求证：四边形OAPB的面积是定值；【拓展运用】（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，点E为入口，点E在AB上，且AE=AD，小李计划过点E修一条垂直于CD的笔直小路EF，将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿AF修一条笔直的小路AF，直接写出小路14．（2023·安徽合肥·一模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC,AB上，且CD=AE，BD与CE相交于点P．

(1)求证：△ACE≌△CBD；(2)如图2，将△CPD沿直线CP翻折得到对应的△CPM，过C作CG∥AB，交射线PM于点G，PG与BC相交于点F，连接BG．①试判断四边形ABGC的形状，并说明理由；②若四边形ABGC的面积为63，PF=1，求CE15．（2023·重庆万州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，过点C作CD∥AB交过点B的直线于点D，∠ABD=30°，直线BD交AC于(1)如图1，若AB=2，求BD的长；(2)如图2，过点A作AG⊥BD交BD于点G，交BC的延长线于E，取线段AB的中点F，连接GF，求证：GF+3(3)在（2）的条件下，过点D作DP⊥AB交AB于点P，若点M是线段GF上任一点，连接BM，将△BGM沿BM折叠，折叠后的三角形记为△BG'M，当3题型06与三角形有关的最值问题16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，AB为⊙O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为4，若⊙O的半径为7，则⊙O上的点到弦AB的距离最大值为______；【问题探究】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD为BC边上的高，若AD=6，求△ABC面积的最小值；【问题解决】（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D，点P为BC上一点，BD=802米，∠CDP=45°．则四边形ABPD17．（2023·河南周口·二模）已知在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，连接AD．分别以A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，在AB的两侧分别交于点M、N，连接MN，MN交AB于点E，交AD于点F，连接ED、(1)如图1，若△ABC为正三角形，则∠DEC=__________；EDFC(2)如图2，若AD=BC=2，EF的延长线交AC于点P，求EDFC的值和FP(3)如图3，若AD=BC=2，把图2中的△AEF绕着点A旋转，直接写出EDFC的值，以及BF18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，∠B=60°，点D，E分别是BC，AC上的动点，连接AD，

(1)如图1，若AB>BC，且BD=DE，AD平分∠BAC，求∠CED的度数．(2)如图2，若AB=BC，在平面内将线段AD绕点D顺时针方向旋转60度得到线段DF，连接BF，过点F做FG⊥AB，垂足为点G，在点D运动过程中，猜想线段BD，BA，AG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，若点H为AC下方一点，连接AH，CH，△ACH为等边三角形，将△ACH沿直线AH翻折得到△AHP．M是线段PB上一点，将△PMH沿直线HM翻折得到△HMN，连接PN，当线段PB取得最小值，且tan∠PHN=83题型07与三角形有关的动点问题19．（2023·吉林长春·二模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是边BC上的一点，且BD=2.动点P从点B出发，沿折线BA−AC以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连结PD，作点B关于直线PD的对称点B'，连结B'P、B'D.设点P

(1)线段CD的长为______．(2)用含t的代数式表示线段AP(AP>0)的长．(3)连结AB'，求(4)当DB'∥AC20．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4，动点F从点A出发沿折线AC−CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒3个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度．当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边△CFQ，设点F的运动时间为t（秒），点F到AB的距离为ℎ(1)AC=______；(2)求ℎ与t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为23ℎ，求(4)作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C,F,Q'21．（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=2cm，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发．以3cm/s的速度沿边AB向点B匀速运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB交折线AC−CB于点Q，将线段PQ绕点Q逆时针旋转60°得到线段QM，连接PM，设点(1)直接写出AB=______cm；(2)当点Q在边AC上时，CQ的长为______cm（用含x的代数式表示）；(3)当点M落在边CD上时，求x的值；(4)在点P运动的过程中，作点M关于直线AB的对称点N，连接PN、MN，设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为ycm2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量题型08与三角形有关的新定义问题22．（2023·四川遂宁·一模）定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1=∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上．(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求(2)如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．证明：△DEF为△ABC的光线三角形．23．（2023·浙江宁波·二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．(1)如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+12∠BAD=180°，求证：△ACB和△ADC(2)如图2，△ACB和△ADC为叠似三角形，若AB∥CD，AD=4，(3)如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE=DC，F为AC中点，且∠BEC=∠AEF，若BC=9，AE=4，求EFBE24．（2023·山东青岛·一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角形．如图①，AD是△ABC的中线，F是AD的中点，则△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．(2)如图②，AD是△ABC的中线，E是边AC上的点，AC=3AE，BE与AD相交于点F，连接CF．求证：△FBC是中原三角形．(3)如图③，在（2）的条件下，延长CF交AB于点M，连接ME，求△FEM与△ABC的面积之比．题型09与三角形有关的阅读理解问题25．（2023·河南新乡·二模）阅读下列材料并并完成任务：数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．如图1，已知在∠AOB中，点M、N分别在射线OA、OB上，且OM＝ON，点P在线段OB上，求作直线PQ，使小琦的作图方法：如图2，连接MP，作∠QNP＝∠PMQ，NQ交OA于点Q，作直线PQ，则（1）①通过师生讨论，小琦的解法得到赞同，下面是小琦不完整的证明过程请补充完成．∵∠PMO=∠QNP，OM＝ON，∴__________，∴__________，∴∠OPQ=1∵∠ONM=1∴__________，∴__________小颖：我认为小琦的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，作∠OMN的角平分线MC交OB于点P，作MP的垂直平分线EG交OM于点Q，则PQ∥MN．…任务：(1)小琦得出△PMO≌△QNO的依据是___________（填序号）．①SSS

②SAS

③AAS

④ASA(2)小颖的作法正确吗？若正确，请加以证明；(3)如图4，已知∠AOB＝30°，点M、N分别在射线OA、OB上，且OM＝ON，点P在线段OB上，点Q是射线OA上的一动点，当

26．（2023·河南南阳·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长-部分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=3，AC=5，求AD的长的取值范围．解题思路：如图①，延长AD到点E，使DE=DA，连接CE，则可证得△ECD≌△ABD（依据），得出EC=AB=3，在△ACE中，AE=2AD，AC=5，CE=3，即可得到AE的取值范围，进一步得到AD的取值范围．

任务：(1)上述解题思路中的“依据”是___________（填序号）①SAS

②ASA

③AAS

④SSS

⑤HL(2)如图②，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的长．

(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=46，点E是CD边的中点，连接AE，点F在直线BC上，且BFCF=12

27．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．平面直角坐标系与直角三角形x年×月ⅹ日星期三原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论口诀：“两线一圆”作图：举例如下：已知A3，0、B0，4情况一：当A为直角顶点时，过点A作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图①，有C1情况二：当B为直角顶点时，过点B作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图②，有C2情况三：当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，则该圆与直线x=1的交点即为所求点C．如图③，有C3，C方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．任务：(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合

B．统计思想

C．分类讨论

D．转化思想(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中C1(3)直接写出“情况二”中C2的坐标____________(4)请你写出在“情况三”中，确定C3、C题型10与三角形有关的存在性问题28．（2023·浙江金华·三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点D为AC的中点，点E为折线A−B−C上一动点，连接DE，以DE为边作正方形DEFG（点F为点D绕点E顺时针旋转90°得到），直线FG与直线BC，AC的交点分别为M，N

(1)当点E在线段AB上时，①若AE=ED，求此时AE的长；②若直线FG过点C，求此时正方形DEFG的面积；(2)是否存在点E，使得△CMN是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由．29．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】（2）如图2，点A−3,a在反比例函数y=3x图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转90°到OB，若反比例函数y=kx【拓展延伸】（3）如图3抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q0,−1，连接AQ，抛物线上是否存在点M，便得题型11三角形与几何图形综合30．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在△OAB中，OB=3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得OA'B'，连接【问题探究】（2）如图2，已知△ABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△BPC绕点C逆时针旋转60°【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD中，边AB=10，AD=20，P是BC边上一动点，Q为△ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时31．（2023·广西·三模）知识回顾例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．实践操作如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你延长AF交BC延长线于点M，我们易证△ADF≌数学发现如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？

_（用字母及符号表示）．证明猜想请结合“实践操作”完成猜想的证明．已知：求证：证明：

实际应用如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=8，E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°.连接AF并延长，交CD于点G，若EF∥AB，求DG的长．

32．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与我们所学过的全等三角形等等数学知识相结合来解决问题，有时我们还能从中探索学习一些新知．小苗在研究三角形旋转过程中，进行如下探究：如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG．

观察猜想：（1）在图1中，点E，F，G分别在边AB，AC，AD上，直接写出GDFC=实践发现：（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接DG，FC，请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证明：联系旧知：（3）如果正方形ABCD的边长为5，正方形AEFG的边长为3．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图3所示位置，连接EG交AB于点M，交AC于点N，若NG=22，直接写出EM的长探求新知：（4）在（3）的条件下，当正方形AEFG绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，直接写出CG的长__________．题型12三角形与函数综合33．（2023·宁夏银川·二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．请用等面积法的思想解决下列问题：(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为______．(2)如图1，反比例函数y=−6xx>0的图像上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y(3)如图2，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知12aℎ1+ℎ2+ℎ3=S△ABC=3S△OAB，可得ℎ1+(4)如图4，已知⊙O的半径为1，点A为⊙O外一点，OA=2，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，求图中阴影部分的面积．（结果保留(5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆．用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积V=13底面积34．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为−1,0，与y轴交于点C0,−3，直线CD:y=2x−3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为点(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以35．（2023·西藏日喀则·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(−1，0),B(4，0)两点，与y(1)求这条抛物线的解析式：(2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，(3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大值．36．（2023·山东济南·二模）如图，点B坐标为(−1,0)，点A在x轴的正半轴上，四边形BDEA是平行四边形，DF⊥x轴于点F，BD=35,tan∠DBA=2，反比例函数y=kx(k>0)

(1)求反比例函数解析式及C点坐标；(2)若线段BD上一点P，使得∠DCP=∠BDF(3)过点C作CG∥y轴，交DE于点G，点M为直线CG上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存在这样的点H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出所有满足条件的模拟集训（时间：60分钟）一、单选题1．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形ABC中，D是边BC上的中点，DE∥AB．将△CDE绕点C顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到△CD'E'，连接AD'，AE

A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°2．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD与AE交于点F．延长CD到点P，使∠BPD=30°，若AF=a，CF=b，则下列结论错误的是（）A．∠AFD=60° B．BF的长度的最小值等于3C．PC的长度为a+3b D．△ACF的面积的最大值是△ABC3．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知▱ABCD的边长AB为43，∠B=30°，AE⊥BC于点E．现将△ABE沿BC方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的△ABE与▱ABCD重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（

A．833 B．33 C．934．（2024·河北衡水·一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C=65°，将△MNC沿MN折叠得△MNC'，若MC'与△ABC的边平行，则A．57.5° B．25° C．57.5°或25° D．115°或25°5．（2024·安徽·一模）如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，∠ABC=∠CDE=90°，点A，C，E共线，点F和点G分别是BD和AE的中点，AE=4，连接AF，CF，

A．CF+FG的最小值是2 B．S△BCD的最大值为C．S△ABC+S△CDE的最小值为22 二、填空题6．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AB=4，点D在边AC上由C向A运动，点E在边BC上由B向C运动，且CD=BE，连接BD、AE交于点P，将边AC绕着点C顺时针旋转90°得到CM，在射线CM上截取线段CF，使CF=3AC，在D、E的运动过程中，求12

7．（2023·浙江金华·三模）如图是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条AB=BC=28cm，CD=24cm，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条EF，GH一端分别与支撑条BC，CD中点连接，并且可绕固定支点E与支点G转动，通过转动活动条，将末端点F与点H分别卡入支撑条AB及BC上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条GH=16cm．将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条EF，使得∠ABC=30°，调节活动条GH使得GH⊥CD，此时活动条末端点H到桌面的距离为______，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即MP=NP，将其放置到上述状态电脑支架上，使点M与点C重合，此时点P恰好与点D重合，开合电脑显示屏，点N到桌面的最大高度是

三、解答题8．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．【问题初探】（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是______；【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至DF=1时，DE的长度为__________．9．（2024·江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=10．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．问题提出：如图2．（1）当OC=5时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求OA的最大值；问题探究：（3）如图3，点P为线段AD上一点，AP=2．①在运动过程中，tan∠POC②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．10．（2024·辽宁大连·一模）【概念感知】两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．【概念理解】如图1，二次函数y=−12x2+32x+2的图象C1交x轴于点A,B，交y轴于点C，点D为线段BC的中点，二次函数y=ax2+bx+c与（1）求二次函数y=ax【拓展应用】（2）如图2，直线EF∥BC，交抛物线C1于E,F，当四边形CDEF（3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M，N，连接MC,NC，当

专题10三角形压轴目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）题型02与三角形有关的平移问题题型03与三角形有关的翻折问题题型04与三角形有关的旋转问题题型05与三角形有关的全等/相似问题题型06与三角形有关的最值问题题型07与三角形有关的动点问题题型08与三角形有关的新定义问题题型09与三角形有关的阅读理解问题题型10与三角形有关的存在性问题题型11三角形与几何图形综合题型12三角形与函数综合模拟集训

真题演练题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）1．（2023·陕西宝鸡·一模）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD，△BCE，△ABC的面积分别是S1,S2,S3现有如下结论：①S1:S2=AC

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【答案】C【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可证；②根据CD=AC∠ACE=∠DCBCE=BC，即可求得全等（SAS）；③设AC=a，BC=b，根据面积公式分别计算出S【详解】解：①S1∵△ADC与△BCE是等边三角形，∴∠∴△ADC∽△BCE，∴S1②△BCD≌△ECA正确，∵△ADC与△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，CD=AC∴∠ACD+即∠ACE=在△ACE与△DCB中，CD=AC∠ACE=∠DCB∴△BCD≌△ECA（SAS）；③若AC⊥BC，则S1设等边三角形ADC的边长为a，等边三角形BCE边长为b，则△ADC的高为32a，△BCE的高为32∴S∴S∵S∴S∴S故答案是：①②③．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别是边AB和BC上的两点，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与DE交于点F．下列三个结论：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME=11【答案】③【分析】①由折叠的性质可得ED是BM的垂直平分线，假设DF=EF，则四边形BDME为菱形，MB平分∠ABC，由∠ACB=90°，∠B=30°，M是AC的中点，得出BM不是∠ABC的平分线，即可判断，②由BM不是∠ABC的平分线，可得∠MDA=∠DBM+∠DMB≠30°，在△ADM中∠MAD+∠MDA=60°+∠MDA≠90°，即可判断，③设CM=a，ME=x，应用勾股定理，表示出CE的长度，在Rt△CME中，ME2本题考查了折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．【详解】解：由折叠的性质可得：EB=EM，DB=DM，∴ED是BM的垂直平分线，假设DF=EF，则四边形BDME为菱形，∴∠EBF=∠DBF，即：MB平分∠ABC，∵∠ACB=90°，∠B=30°，M是AC的中点，∴BM不是∠ABC的平分线，∴假设DF=EF错误，故①错误，∵BM不是∠ABC的平分线，∴∠DBM=∠DBM≠15°，∴∠MDA=∠DBM+∠DMB≠30°，∴∠MAD+∠MDA=60°+∠MDA≠90°，故②错误，设CM=a，ME=x，则：AM=a，EB=x，AC=2a，AB=2AC=4a，由勾股定理得：BC=A∴CE=BC−BE=23在Rt△CME中，ME2=CM∴CE=23∴tan∠CME=综上所述，只有③正确，故答案为：③．3．（2023·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF=BC；②2cos∠DEB=12，③AE−CE=2ED

【答案】①③④【分析】①②只要证明△ADF≌△CDB即可解决问题．③如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，想办法证明AE−CE=BC+EF−EC=EF+BE=2EN=2DE，即可．④如图2中，延长FE到H，使得FH=FB．连接HC、BH．想办法证明△BFH是等边三角形，AC=AH【详解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠AEC=∠ADC=∠CDB=∵∠AFD=∴∠DAF=∵CD⊥AB,∠BAC=45°∴∠ACD=90°−45°=45°=∴AD=DC，在△ADF和△CDB中，∠DAF＝∴△ADF≌△CDB（ASA），∴AF=BC，DF=DB，故①正确，∴∠DFB=取BF的中点O，连接OD、OE．

∵∠BDF=∴OE=OF=OB=OD，∴E、F、D、B四点共圆，∴∠DEB=∴2cos如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，∵∠DEB=45°，∠∴∠AED=90°−45°=45°=∴DM=DN，∵DF=DB，∴Rt△DMF≌∴MF=BN，EM=EN，∴EF+EB=EM−FM+EN+NB=2EM=2EN，∵cos∠DEB=∴EN=2∴AE−CE=BC+EF−EC=EF+BE=2EN=2DE如图2中，延长FE到H，使得FH=FB．连接HC、BH．

∵∠CAE=30°，∠CAD=45°，∴∠DAF=15°，∠∵∠DFB=45°∴∠AFB=120°∴∠BFH=60°∵FH=BF，∴△BFH是等边三角形，∴BF=BH，∵BC⊥FH，∴FE=EH，∴CF=CH，∴∠CFH=∴∠ACH=75°∴∠ACH=∴AC=AH，∵AF+FB=AF+FH=AH，∴AF+BF=AC，∴AF+BFAC=1故答案为：①③④．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．题型02与三角形有关的平移问题4．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AB=5，BC=3，则CD的长为________【操作一】如图，②，将图①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，则四边形AECD的周长为________；【操作二】如图③，将图②中的△ACE沿射线AB方向平移，使点A与点D重合，得到△DGF，点E的对应点为点F．（1）求证：四边形ADFE是菱形；（2）直接写出四边形ADGF的周长．【答案】问题原型：125；操作一：565【分析】问题原型：首先利用勾股定理解得AC的值，再利用面积法解得CD的长即可；操作一：首先利用勾股定理解得AD的值，再根据折叠的性质可得CE=CD，AE=AD，然后计算四边形AECD的周长即可；操作二：（1）首先根据平移的性质可得AE=DF，AE∥DF，可证明四边形ADFE为平行四边形，再结合AE=AD，即可证明四边形ADFE为菱形；（2）连接DE，交AC于点O，首先根据菱形的性质可得AF⊥DE，OA=OF=12AF，利用面积法解得OE的值，再利用勾股定理解得OA=AE【详解】解：问题原型：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=A∵CD⊥AB，∴S△ABC∴12解得CD=12故答案为：125操作一：∵CD⊥AB，AC=4，CD=12∴AD=A∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠AEC=∠ADC=90°，CE=CD=125，∴四边形AECD的周长=AE+CE+CD+AD=16故答案为：565操作二：（1）∵△ACE沿射线AB方向平移得到△DGF，∴由平移的性质可得AE=DF，AE∥∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE=AD，∴四边形ADFE为菱形；（2）如下图，连接DE，交AC于点O，∵四边形ADFE为菱形，∴AF⊥DE，OA=OF=1∴S△ACE即12×16∴在Rt△AOE中，OA=∴AF=2OA=128∵△ACE沿射线AB方向平移得到△DGF，∴FG=CE=125，∴四边形ADGF的周长=AF+FG+DG+AD=128【点睛】本题主要考查了平移的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质和平移的性质是解题关键．5．（2023·山东青岛·三模）已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点(1)设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S(2)已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO的面积分别为S1、S2、【答案】(1)<(2)结论成立，理由见解析【分析】（1）利用等边三角形的性质，证明△ADE∽△ABC,△BDF∽△ABC,△EFC∽△ABC，求出△ABC的面积，即可得到（2）延长OB到H使BH=OE，延长OA到G使AG=OD，连接HG，证明△GHO是等边三角形，且面积为3，再证明△MGA≌△CODSAS【详解】（1）解：∵D、E、F分别为AB、AC、∴DE=BF=CF=AD=AE=BD=GC=DF=EF=1，∴△ADE、△BDF、△EFC都是边长为1的等边三角形，∴△ADE∽∴DE∴△ADE、△BDF、△EFC的高等于△ABC高的12∴△ADE、△BDF、△EFC的面积都等于△ABC面积的14如图，设△ABC的高为h，∵∠ABC=60°,AB=2，∴ℎ=AB·sin∴S∵S∴S故答案为：<；（2）结论成立证明：延长OB到H使BH=OE，延长OA到G使AG=OD，连接HG，∵OA+AG=OA+DO=AD=2OB+BH=OB+OE=BE=2∠AOB=60°∴△GHO是等边三角形∵OG=OH=HG=2∴在HG上取点M，使MG=OC∵HM+MG=HG=2OC+OF=CF=2∴HM=OF在△MGA和△COD中，MG=CO∠G=∠COD=60°∴△MGA≌同理可证：△MHB≌∴S2由图形可知：S△ABO∴即S1【点睛】本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．6．（2023·辽宁沈阳·三模）在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B4，2，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'

(1)如图1，当E'O'经过点A(2)设OO'=t，△D'①如图②，当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D'E'与AB相交于点M，E'O'分别与AB，BC②请直接写出满足S=72的所有t的值【答案】(1)y=−x+2(2)①S=−12t2+4t−4，4<t<6【分析】（1）根据平移的性质可得△AOO'是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得OO（2）①根据S=S矩形BCD'M−S△BPN，即可求得S=−12t2+4t−4，再结合题意列不等式组即可求得4<t<6；②分五种情况讨论：当0<t≤2时，△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为三角形；当2<t<3【详解】（1）解：如图①，当E'O'，∵矩形ABCO的顶点B4∴OA=BC=2，由平移的性质可得：△D∴∠E∵∠AOO∴△AOO∴OO∴A0设直线O'A的解析式为将A0，2解得：k=−1b=2∴直线O'A的解析式为：（2）解：①如图②，当△D'O

∵矩形ABCO中，AB=OC=4，∴四边形BCD设OO'=t∴CD'=∵∠O∴△BPN是等腰直角三角形，∴BN=BP=6−t，∴S=S∵t>4∴4<t<6；②当0<t≤2时，△D'O

重叠部分的面积为：S=S∵S=7∴12t∵0<t≤2，∴t=±7不符合题意，此时重叠部分面积不可能为7当2<t<3时，△D'O

则OD∴S=S∴2t−2=7解得：t=11∵2<t<3，∴t=11当3≤t≤4时，重叠部分为梯形，S=12×当4<t<6时，△D'O由①知：S=−1∴−1解得：t1=3（舍去），当6≤t<7时，重叠部分为矩形BCD

∵CD∴S=S当27−t=7综上所述，满足S=72的所有t的值为【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．题型03与三角形有关的翻折问题7．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，点E、F分别在直线AC、边BC上，连接EF，将△CEF沿着EF翻折，点C落在边AB上的点D处.过点D作DM⊥AB，交直线AC于M(1)AC=______，BC=_______；(2)当CF=CE时，求证：△EMD≌△FBD；(3)当CMCE=1(4)连接CD交EF于点P，当AP+BP取最小值=_______时，EF的值为_________【答案】(1)2；2(2)见解析(3)AD=3−5或(4)19，1421【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，（1）解直角三角形ABC求得结果；（2）可推出∠AMD=∠B，DE=CE=CF=DF，∠EDM=∠BDF，从而得出结论；（3）分为两种情形：当点M在CE上时，作FG⊥AB于G，可证得△EMD∽△FBD，从而 DFBF=DEEM=2，进而求得DF，BF，解三角形BDF求得BG和DG，进而求得结果；当点M在（4）由CP=DP得出点P在△ABC的一条中位线所在的直线l上运动，作点A关于直线l的对称点X，连接BX，交l于点P'，当点P在P'处时，D在V处，AP+PB最小为BX的值，在Rt△ACX中求得AX的值，进而求得BX，连接CX，作VS⊥BC于S，可得△CXP'≌△VBP'，从而求得BV=CX=1，依次求出VS，BS，CS，CV，CP'，根据△CFP'∽△CVS得出CFCV【详解】（1）解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4∴AC=4⋅cos60°=2，故答案为：2，23（2）证明：∵DM⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADM=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AMD=90°，∴∠AMD=∠B，由折叠得：∠EDF=90°，DF=CF，DE=CE，∴∠EDF=∠BDM=90°，DE=DF，∴∠EDM=∠BDF，∴△EMD≌△FBD(AAS)（3）解：如图1，当点M在CE上时，作FG⊥AB于G，由上知：∠AMD=∠B，∠EDM=∠BDF，∴△EMD∽△FBD，∴ DF∵DE=CE，CMCE∴DFBF∵CF=DF，BC=23∴BF=233∴BG=233∴DG=D∴AD=AB−BG−DG=4−1−5如图2，当点M在EC的延长线上时，作FH⊥AB于H，同理上可知： DF∵CF=DF，CF+BF=23∴BF=35×2∴FH=335∴DH=(∴AD=4−9综上所述：AD=3−5或11−（4）解：如图3，由对称可得：CP=DP，∴点P在△ABC的一条中位线所在的直线l上运动，作点A关于直线l的对称点X，连接BX，交l于点P'，当点P在P'处时，D在V处，AP+PB最小为BX的值，∵AX=AC⋅cos∴BX=A连接CX，作VS⊥BC于S，∵CP'又CX∥AB，则∴△CXP∴BV=CX=AC⋅sin∴VS=12BV=∴CS=BC−BS=23∴CV=V∴CP=CV∵∠BCA=90°，VS⊥BC∴VS∴△CFP∴CFCV∴CF7∴CF=7∵VS∴△CSV∽△ECF，∴EFCV∴EF7∴EF=14故答案为：19，14218．（2023·重庆·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过B点作BE⊥AC于点E，点D为线段AC的中点，连接BD(1)如图1，AB=2，AC=6，求(2)如图2，将线段DB绕着点D逆时针旋转45°得到线段DG，此时DG⊥AC，连接BG，点F为BG的中点，连接EF，求证：BC=2EF；(3)如图3，∠ACB=30°，AB=3，点P是线段BD上一点，连接AP，将△APB沿AP翻折到同一平面内得到△APB'，连接CB'，将线段绕点CB'顺时针旋转60°得线段【答案】(1)ED=(2)见解析(3)9【分析】（1）证明△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性质求出AE=23，则（2）过点D作DH⊥BC于点H，过点F作FJ⊥AC于点J．连接FD，则BE∥FJ∥GD，先证明FE=DF，进一步证明BD=AD=DC，再证明∠DBH=∠BDF=22.5°，即可证明△BFD≌△DHB，得到DF=BF，则BH=EF，再证明BH=HC，即可证明BC=2EF；（3）如图3中，以AC为边向上作等边三角形ACK，连接BK，证明△ACB'≌△KCQ，得到AB'=QK，则QK=3，求出BK=37，则BQ的最小值为37−3，此时B．Q．K共线，作CJ⊥BK【详解】（1）解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB，∴ABAE=∴AE=2∵点D为线段AC的中点，∴AD=DC=1∴DE=AD−AE=7（2）证明：过点D作DH⊥BC于点H，过点F作FJ⊥AC于点J．连接FD．

∵BE⊥AC，∴BE∥FJ∥GD，∵BF=FG，∴EJ=JD，∴FE=DF，∵∠BDG=45°，∴∠EDB=45°，∵∠ABC=90°，∴BD=AD=DC，∵∠ADB=∠DBC+∠DCB=45°，∴∠DBC=∠DCB=22.5°，∵DB=DG，∴∠BDF=∠GDF=22.5°，∴∠DBH=∠BDF=22.5°，∵BD=DB，∴△BFD≌△DHBAAS∴DF=BH，∴BH=EF，∵DB=DC，∴BH=HC，∴BC=2EF；（3）解：如图3中，以AC为边向上作等边三角形ACK，连接BK．

∵∠B∴∠ACB∵CA=CK，∴△ACB∴AB∵AB=AB∴QK=3，∵∠ABC=90°，∴AC=CK=2AB=6，∴BK=C∵BQ≥BK−QK=37∴BQ的最小值为37−3，此时B．Q．作CJ⊥BK于点J，∵12∴CJ=3∴此时△BCQ的面积=1【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．9．（2023·重庆渝北·二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．

(1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE，若D点在AB边上，且DC=5，tan∠ACD=1(2)如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB−BD=AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在的平面内得到△BD'C，M点在AB边上，且AM=14AB，将MA绕点A逆时针旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至△MNH所在平面内得到△MN'H，在点D【答案】(1)23(2)DG=CG，证明见解析(3)21【分析】（1）作DF⊥AC，在Rt△DFC中，由tan∠ACD=12，求出DF长度，结合∠BAC=60°，求出（2）作CH∥AB，与AG延长线交于点H，连接DH，由CH∥AB，可得∠ABF=∠ACH=120°，结合∠GAF+∠ABF=180°，可得∠FAB=∠HAC，由△FAB≌△HACASA，得到FB=CH，结合FB−BD=AC（3）根据折叠的性质，找到D'的轨迹，根据垂线段最短，确定MN'的位置，进而求出BD'、BD、AN、NH的长度，作DE∥N'H【详解】（1）解：过点D，作DF⊥AC，于点F，

∵DC=5，tan设AF=a，则FC=2a，在Rt△DFC中，DF2+FC∴DF=a=1，FC=2a=2，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，CA=CB，∴AD=DF∵DC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，∴∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即：∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE=2故答案为：BE的长度是23（2）解：过点C作CH∥AB，与AG延长线交于点H，连接

∵∠ABC=∠BAC=60°，CH∥∴∠ABF=120°，∠BAC+∠ACH=180°，即：∠ABF=∠ACH=120°，∵∠GAF+∠ABF=180°，∴∠GAF=60°，∴∠GAF−∠BAG=∠BAC−∠BAG，即：∠FAB=∠HAC，又∵AB=AC，∴△FAB≌△HACASA∴FB=CH，∵FB−BD=AC，即：FB=AC+BD，∴CH=FB=AC+BD=AB+BD=AD，∴四边形DACH为平行四边形，∴DG=CG，（3）解：过点B作GI∥AC，连接MD'、N'D，过点D作DE∥N'H，交AC延长线于点

∵GI∥AC，∴∠IBC=∠BCA=∠ABC=60°，∴直线AB与直线GI关于直线BC对称，即：D'的运动轨迹为直线GI∵N'D'当MD'⊥GI，点N'在线段MD∵将MA绕点A逆时针旋转120°得到线段AN，AM=14AB∴∠NAM=120°，AN=AM=14AB=∴MN=MN'=由折叠的性质可知，∠NMH=∠N∵∠N∴∠NMH−∠NMA=∠N'MH−∠∴∠NMH=∠AMN+∠AMH=30°+90°=120°，∴N'H=NH=3∴∠NHN∵DE∥∴S△DN'H=∴AD−AB=AE−AC，即BD=CE=3∴HE=AC−AH+CE=AC−NH−AN∴HF=3∴S△D故答案为：213【点睛】本题考查了，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，折叠的性质，旋转的性质，解题的关键是：（1）证明△ACD≌△BCESAS，解△DAC；（2）找到△FAB≌△HACASA；（3）找到D'的运动轨迹，N题型04与三角形有关的旋转问题10．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AD，AD交BC于点G，过点C作CF⊥AD于点F．(1)如图1，当旋转22.5°时，若BG=1，求AC的长；(2)如图2，当旋转30°时，连接BD，CD，延长CF交BD于点E，连接EG，求证：AG=CE+EG；(3)如图3，点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，若NA=2，请直接写出△CNM的面积．【答案】(1)2+(2)见解析(3)3【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题（1）过点G作GH⊥AC于点H，得到HG=BG=1，即可求得CG=2，再由BC=AB=BG+CG，勾股定理求得AC（2）延长CF交AB于点T，连接BT，求得Rt△AGB≌Rt△CTB，可得AG=CT，BT=BG，由BD∥（3）将△BCN绕点B逆时针旋转60°，得到△BPQ，连接NQ、AP，当点P、Q、N、A四点共线时，NB+NA+NC的值最小，此时BM是等腰直角三角形ABC的一条中线，即可求得△CNM的面积【详解】（1）解：如图1，当旋转22.5°时，则∠CAG=∠GAB=22.5°，过点G作GH⊥AC于点H，则GH=BG=1，在等腰Rt△CGH中，∠BCA=45°则CG=2则BC=BG+CG=2在等腰Rt△ABCAC=2（2）证明：如图2，过点D作DM⊥AC于点M，过点B作BN⊥AC于点N，∵∠DAM=30°，∴DM=∵∠ABC=90°，AB=AC，∴BN=而AC=AD，∴DM=BN又DM⊥AC，BN⊥AC，∴四边形BDMN是矩形∴BD延长CE交BA的延长线于点T，∵CF⊥AD，∴∠CFG=∠ABC=90°，∵∠AGB=∠CGF，∴∠TCG=∠GAB，∵∠ABG=∠CBT=90°，BA=BC，∴△ABG≌△CBT∴AG=CT，BG=BT，∵BD∥∴∠EBG=∠ACB=45°，则∠EBT=90°−∠EBG=45°=∠EBG，∵BT=BG，BE=BE，∴△BEG≌∴ET=EG，∴AG=CT=CE+ET=CE+EG；（3）解：如图3，将△CBN绕点B逆时针旋转60°得到△PBQ，连接QN，AP．则PQ=CN，△BQN是等边三角形，∴BN=NQ，∠BNQ=∠BQN=60°，∵CN+AN+BN=PQ+QN+NA≥AP，∴当P，Q，N，A共线时，NC+BN+AN的值最小．此时∠ABP=90°+60°=150°，PB=AB，∠BAN=15°，并且△BQN是等边三角形，∠BNQ=60°，∴∠ABN=60°−15°=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∵BA=BC，∴BM⊥AC，且CM=AM又∠MAN=45°−15°=30°，∴NM=12AN=1∴CM=AM=3∴△CNM的面积=111．（2023·贵州贵阳·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC和Rt△ADE有公共顶点A，连接BD和(1)如图①，若AB=AC，AD=AE，当△ABC绕点A旋转α0°<α<360°，BD和CE(2)如图②，若AD:AE=AB:AC=1:3，当Rt△ABC绕点A旋转α0°<α<360°，（1）中BD(3)在（2）的条件下，若AD=23，AB=3，在旋转过程中，当C，B，D三点共线时，请直接写出【答案】(1)BD=CE，BD⊥CE(2)CE=3BD，(3)313−1【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE得BD=CE，再证明∠OAD=∠EHO=90°，可得BD⊥CE；（2）延长DB交CE于H，与AE交于O，证明△BAD∽△CAE可得结论；（3）分两种情况讨论：运用相似三角形的性质求出AC，AE，由勾股定理求出DE，在Rt△ECD中，运用勾股定理求出BD，从而可求出CE【详解】（1）证明：如图，延长DB交CE于H，与AE交于O∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，又∠CAE+∠EAB=∠DAB+∠EAB=90°,∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，∵∠DOA=∠HOE，∴∠OAD=∠EHO=90°，∴CE⊥BD，故答案为：BD=CE，BD⊥CE；（2）解：CE=3BD，延长DB交CE于H，与AE交于O，∵ADAE=AB∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=1∴CE=3∵∠BOA=∠EOH，∴∠OAD=∠EHO=90°，∴BD⊥CE综上BD⊥CE，CE=（3）解：①如图：由（2）知△BAD∽△CAE，BDCE=AB∵AB=3∴AC=3，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=∵AD=23∴AE=6在Rt△AED中，由勾股定理得DE=∵C，B，D三点共线，且∠ECD=90°∴在Rt△ECD中，由勾股定理得即4∴BD=39∴CE=3②如图：由（2）知△BAD∽△CAE，BDCE=AB∵AB=3∴AC=3，由勾股定理得BC=A∵AD=23∴AE=6，在Rt△AED中，DE=∵C，B，D三点共线，且∠ECD=90°，∴在Rt△ECD中，由勾股定理得D即43∴BD=39+∴CE=3综上，当C，B，D三点共线时，CE的长度为313−1212．（2023·广东云浮·三模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE=_______，DE=_______(2)参考小明思考问题的方法，解决下列问题：①已知：如图3，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，则该三角形的形状是_______．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．猜想线段BE、EF【答案】(1)90°，10(2)①直角三角形；②线段BE、EF、DF之间的数量关系为：EF=BE+DF，理由见解析【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质和旋转性质得到∠FCE=90°，进而利用勾股定理求得EF=10，证明△FAE≌△DAESAS证得（2）①将△ABM绕点A按逆时针方向旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADF，连接NF交AD的延长线于P，由旋转性质和正方形的性质证得△FDN是直角三角形，FD=BM，再证明△FAN≌△MANSAS，得到MN=FN②将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，根据旋转性质和已知可证得BE=DG，点F，D，G在同一条直线上，同样证明△AEF≌△AGFSAS，得到EF=FG，由FG=DG+DF=BE+DF【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由旋转的性质得：∠ACF=∠B=45°，CF=BD=3，AF=AD，∠BAD=∠CAF，∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，在Rt△EFC中，EF=∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°，∴∠FAE=∠DAE，在△FAE和△DAE中，AF=AD∠FAE=∠DAE∴△FAE≌△DAESAS∴EF=DE，∴DE=10故答案为：90°，10；（2）解：①BM、DN、MN为三边围成三角形，则该三角形的形状是直角三角形，理由如下：将△ABM绕点A按逆时针方向旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADF，连接NF交AD的延长线于P，如图3所示：∴AF=AM，DF=BM，∠DAF=∠BAM，∠ADF=∠ABM，∵正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠ABM=90°+45°=135°，∠PDN=45°，∠BAD=90°，∴∠ADF=135°，∴∠FDP=180°−135°=45°，∴∠FDP+∠PDN=45°+45°=90°，∴∠FDN=90°，∴△FDN是直角三角形，∵∠MAN=45°，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠DAF+∠DAN=45°，即∠FAN=45°，∴∠FAN=∠MAN，在△FAN和△MAN中，AF=AM∠FAN=∠MAN∴△FAN≌△MANSAS∴MN=FN，∵FD=BM，FN=MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形，故答案为：直角三角形；②线段BE，EF，DF之间的数量关系为：EF=BE+DF，理由如下：将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，如图4所示：∴BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADG+∠ADC=180°，即点F，D，G在同一条直线上，∵∠DAG=∠BAE，∴∠GAE=∠BAD，∵∠EAF=1∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，AF=AC∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGFSAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF．【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、直角三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用旋转性质构造全等三角形求解是解答的关键．题型05与三角形有关的全等/相似问题13．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图1，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，则PA的长为______；（2）如图2，∠MON=120°，点P是∠MON平分线上的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON上，且∠APB=60°，求证：四边形OAPB的面积是定值；【拓展运用】（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，点E为入口，点E在AB上，且AE=AD，小李计划过点E修一条垂直于CD的笔直小路EF，将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿AF修一条笔直的小路AF，直接写出小路【答案】（1）8；（2）证明见解析；（3）7202【分析】（1）根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答；（2）过点P分别作OM、ON的垂线，垂足分别为C、D，证明△PAC≌△PBDAAS，可得AC=BD，再证明Rt△PCO≌Rt△PDOHL（3）过点A作AG⊥EF于点G，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点H，可得四边形AGFH是矩形，证明四边形AGFH是正方形，再过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点M，可得四边形ABCM是矩形，证明△CDM∽△ADH，对应边成比例求出AH的长，进而可以解决问题．【详解】（1）解：∵∠1=∠2，∠APD=∠BPC，∴△DAP∽△CBP，∴PD∴4∴PA=8．故答案为：8；（2）证明：如图2，过点P分别作OM、ON的垂线，垂足分别为C、D，∴∠ACP=∠BDP=90°，∵OP平分∠MON，PC⊥OM，PD⊥ON，∴PC=PD，∵∠AOP=∠BOP=60°，∠APB=60°，∠MON=120°，∴∠PAO+∠PBO=180°，∵∠PBO+∠PBD=180°，∴∠PAC=∠PBD，∴△PAC≌△PBDAAS∴AC=BD，在Rt△PCO和Rt△PDO中，PC=PD，∴Rt∴OC=OD，在Rt△PCO中，∠POC=60°∴∠OPC=30°，∴CO=1∴PC=3∴四边形OAPB的面积=S∵PC=PD=32OP∴四边形OAPB的面积=1∵点P是∠MON平分线上的一个定点，即OP为定长，∴四边形OAPB的面积是定值；（3）解：如图3，过点A作AG⊥EF于点G，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点H，