专题11 一次函数的应用（讲义）（10题型）

第11讲一次函数的应用目录TOC\o"1-2"\h\u题型01分配问题 3题型02最大利润问题 4题型03行程问题 7题型04几何问题 9题型05工程问题 12题型06分段计费问题 13题型07体积问题 15题型08调运问题 20题型09计时问题 22题型10现实生活相关问题 24考点要求新课标要求命题预测一次函数的应用能用一次函数解决实际问题一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键.

一次函数的实际应用：1）一次函数应用问题的求解思路：①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；④利用函数的性质解决问题；⑤写出答案。3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：①观察图象，获取有效信息；②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．

题型01分配问题【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本x+10本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式：_____________________，_(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家．【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：规格线下线上单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）A240021020B300025030(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系式；(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．【变式1-3】（2021·贵州六盘水·统考二模）某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景：(1)请计算出A，B两种物品的单价；(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由题型02最大利润问题【例2】（2023·云南德宏·统考一模）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本（万元/套）2528售价（万元/套）3034(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？【变式2-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：品种种植成本（万元/亩）设备成本（万元/亩）售价（万元/亩）A10.23.5B1.50.34.2设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求最大利润．【变式2-2】（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．

(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100【变式2-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）2022年第19届亚运会（Tℎe19tℎAsianGamesHangzℎou2022），简称“杭州2022年亚运会”，将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A、B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）A种礼盒168198B种礼盒138158(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多少？题型03行程问题【例3】（2023·湖南娄底·统考一模）周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离相同，小明先骑车6min到达超市，购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发(1)填表：小明离开家的时间/min46201500(2)填空：①小明在超市购物的时间是_________min；②超市到公园的距离是_______m；③小亮骑行的速度是__________m/min；④小亮到达公园时，小明距离公园还有___________m；(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y1关于x的函数解析式．____________【变式3-1】（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程skm与时间(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有______km．(2)求乙离开M站的路程skm与时间tmin的函数关系式并说明图中两函数图象交点【变式3-2】（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y甲（千米），y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．【变式3-3】（2021·河南平顶山·统考二模）小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900米.小明因有事，比小亮晚一些出发，图中y1=k1t、y（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．（2）求k1、k2的值，并解释（3）通过计算说明，谁先到博物馆．题型04几何问题【例4-1】（2021·广东广州·二模）如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B

A．y=13x+2 B．y=−15x+2【例4-2】（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,−533)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐标为

【变式4-1】（（2022·安徽滁州·统考一模）如图，直线l对应的函数表达式为y=x+1，在直线l上，顺次取点A11,2，A22,3，A33,4，A44,5，……，猜想并填空：(1)S5(2)Sn=__________________（用含(3)S1+S【变式4-2】（（2019·山东青岛·统考二模）阅读材料解答问题：自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：如图1所示，点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）问题解决：（1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”．应用拓展：（2）已知点C（32，0），点D为y①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为__；②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为__；问题延伸：（3）已知：E是直线y＝34x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距离”的最小值及相应点E【变式4-3】（（2022·河北邢台·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l1经过点A−2,4，且与正比例函数y=−23x的图象l2交于点(1)求m的值及直线l1(2)求S△BOC(3)设直线x=a与直线l1，l2交于E，F两点，当S△EFB【变式4-4】（（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE的面积为

(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式以及对应的x(2)请在直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y(3)若直线y2的图象如图所示，结合你所画y1的函数图象，直接写出当y1题型05工程问题【例5】（2022·山东泰安·统考二模）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天．(1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里；(2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？【变式5-1】（（2021·山东淄博·统考二模）为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对200公里的道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度是乙工程队每天维护道路的长度的2倍，若甲、乙两个工程队分别独立完成整个任务，甲工程队比乙工程队少用25天．（1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里；（2）若该市需付给甲工程队的费用为每天40万元，需付给乙工程队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？题型06分段计费问题【例6】（2023·湖南长沙·校考一模）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：

(1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？(2)写出y与x的函数解析式．(3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？【变式6-1】（2021·陕西西安·统考三模）某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若x≤10，则按原票价售票；若x>10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元，y1、y（1）图象中m=_______，n=_________．（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．【变式6-2】（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．(1)月用电量为50度时，应交电费______元．(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．(3)月用电量为150度时，应交电费______元．题型07体积问题【例7】（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．若乙比甲的水位高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（）A．3或5 B．4或6 C．3或133 【变式7-1】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离ycm与注水时间x(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．(2)求正方体铁块的体积．【变式7-2】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水tmin，水箱A的水位高度为yA（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）（2）分别写出yA、yB与（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．【变式7-3】（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务：年*月*日星期日利用一次函数知识解决化学问题今天我看到一则化学实验材料：如图1，在一支10ml的试管中充满了NO2

4NO当NO2和O2的体积比为4:1时，NO2和O3NO化学反应②中参与反应的NO2与生成的NO的体积比为根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．设原混合气体中NO2的体积为xml，O2的体积为情况一：由反应①可知，当NO2和O2的体积比为4:1时，NO2情况二：当x<8时，由反应①可知NO2全部参加反应，O2过量，参加反应①的O2的体积x4因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积y=10−5x4，即在平面直角坐标系中画出当0<x≤8时的函数图象如图2所示．情况三：当8<x<10时，由反应①可知O2全部参与反应，NO2过量，参与反应①的NO2的体积为4任务：(1)根据材料中的内容，求出当8<x<10时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数图象；

(2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为2ml时，求原混合气体中N【变式7-4】（2023·河南南阳·统考二模）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为200毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为100毫升．试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)：时间x(秒)10203040506070漏出的水量y(毫升)25811141720根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题：(1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出y与x的图象，并判断y是x的什么函数，且求出此函数关系式．

(2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出．(3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到0.1升)．试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示，(4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．

【变式7-5】（2023·陕西汉中·统考二模）在做测量液体密度的实验中，晓华想对比甲，乙两种液体．他利用天平测出液体和量杯的总质量y（g），记录此时液体的体积x（cm3），并根据实验数据画出甲、乙两种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm

(1)求乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3(2)当甲，乙两种液体的体积都为60cm题型08调运问题【例8】（2021·广西南宁·统考一模）自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，现某国药集团在甲、乙仓库共存放新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫苗乙仓库比甲仓库多30万剂．（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如下表：甲仓库运费定价调运疫苗不超过130万剂时调运疫苗超过130万剂时135元/万剂不优惠优惠10%m元/万剂乙仓库105元/万剂不优惠（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？【变式8-1】（2022·河南南阳·统考三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元），①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）【变式8-2】（2020·江西新余·统考一模）在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任务之一．在某市的甲、乙、丙、丁四地中，已知某种消毒液甲地需要10吨，乙地需要8吨，正好丙地储备有12吨，丁地储备有6吨．该市新冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这18吨消毒液全部调往甲、乙两地．已知消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）．又知从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙地共需440元．如果设从丙地调运x吨到甲地．起点/终点甲地乙地丙地ab丁地3570（1）确定表中a，b的值；（2）求调运18吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少．【变式8-3】（2023上·河北保定·八年级校考期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表月份销售量/件销售额/元冰墩墩雪容融第1个月1004014800第2个月1606023380(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．(2)若某公司购进冰墩墩200件，雪容融300件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰墩墩运往甲、乙两地的运费分别为8元和10元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为7元和11元．若运往甲地的吉祥物共240件，运往乙地的吉祥物共260件．①设运往甲地的为冰墩墩a件80≤a≤120，总运费为w元，请写出w与a的函数关系式；②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？题型09计时问题【例9】（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位ℎcm、时间tt（min）…1234…h（cm）…1.62.02.42.8…为了描述水位ℎcm与时间tmin的关系，现有以下三种函数模型供选择：ℎ=kt+bk≠0，ℎ=a

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t【变式9-1】（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．题型10现实生活相关问题【例10】（2023·陕西渭南·统考二模）千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12481012y（斤）0.751.001.502.503.003.50(1)在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；(2)当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？【变式10-1】（2021·云南保山·统考一模）公司小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车场里，该停车场收费标准如下表：时段收费标准备注白天停车07时—22时（小车）停车3小时以内（含3小时）5元/辆·次，超过3小时，每小时加收3元．持续几天停车，仅前3小时收费5元；超过3小时，不足1小时的按1小时计算收费．07时—22时（大车）停车3小时以内（含3小时）10元/辆·次，超过3小时，每小时加收5元．夜间停车22时—07时（小车）无论停车时间长短10元/辆·次22时—07时（大车）无论停车时间长短20元/辆·次（1）设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表达式；（2）如果小李是4月23日上午10：05时驾车进入停车（开始计时收费），至次日中午12：30时驾驶车辆驶出停车场（收费计时结束），小李应交停车费多少元？【变式10-2】（2022·河南濮阳·统考一模）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．(1)求每副象棋和围棋的单价；(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，请设计出所需总费用最少的方案，并求出最少总费用．【变式10-3】（2021·陕西·统考二模）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴漓出行”是全球最大的站式多样化出行渠道，现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表；里程/千米收费/元2千米以下（含2千米）11.42千米以上，每增加1千米1.95（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．【变式10-4】（2023·河南信阳·校考三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．

某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t(1)求出线段BC对应的函数表达式；(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？【变式10-5】（2019·山东青岛·统考一模）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？

第11讲一次函数的应用答案解析题型01分配问题【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本x+10本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式：_，(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【答案】(1)y1(2)选择方案②更为优惠，见解析【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．【详解】（1）解：由题意，得：y1=15x+4×x+10−x（2）当x=10时，y1=15×10+40=190∵190>184，∴选择方案②更为优惠．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家．【答案】(1)甲旅行社：y=2000x×0.8=1600x；乙旅行社：y=1700x(2)甲旅行社【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题．【详解】（1）解：由题意可得，甲旅行社：y=2000x⋅0.8=1600x；当0≤x≤20时，y=2000x⋅0.85=1700x，当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+x−20故乙旅行社：y=1700x（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，则甲旅行社：y=1600×25=40000；因为25>20所以把x=25代入y=1400x+6000中，则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000；因为41000>40000，所以选择甲旅行社．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：规格线下线上单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）A240021020B300025030(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系式；(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．【答案】(1)y=−50x+5600(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元【分析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20−x)个，根据表中的单价及运费列出函数关系式即可；（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解．【详解】（1）由题意得y=210x+250(20−x)+20x+30(20−x)整理得y=−50x+5600（2）由题意得20−x≥2x解得x≤20∵−50<0∴y随x的增大而减小∴当x=6时，y最小为−300+5600=5300线下购买时的花费为240×6+300×14=5640此时，购买B种书架20-6=14个线上比线下节约5640-5300=340元所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题的关键．【变式1-3】（2021·贵州六盘水·统考二模）某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景：(1)请计算出A，B两种物品的单价；(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元(2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得2x+y=753x+2y=120（2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m≥623，W＝30m+15（20﹣m）＝15m【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，根据题意得：2x+y=753x+2y=120解得x=30y=15答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元；（2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20﹣m）个，共需W元，∵A物品的数量不少于B物品数量的一半，∴m≥20−m解得m≥623而W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300，∵15＞0，∴W随m的增大而增大，∵m≥623，m∴m＝7时，W最小，最小为15×7+300＝405，∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．题型02最大利润问题【例2】（2023·云南德宏·统考一模）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本（万元/套）2528售价（万元/套）3034(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)有11种建房方案．(2)A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，再建立不等式组可以解答本题；（2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题；【详解】（1）解：设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建80−x套，25x+2880−x解得，391∵x取非负整数，∴x为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，∴有11种建房方案．（2）设该公司建房获得利润W万元，由题意知：W=30−25∵k=−1，W随x的增大而减小，∴当x=40时，即A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．【变式2-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：品种种植成本（万元/亩）设备成本（万元/亩）售价（万元/亩）A10.23.5B1.50.34.2设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？并求最大利润．【答案】(1)y=−0.1x+9.6(2)种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元【分析】（1）由题意得，y=3.5−1−0.2（2）根据A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．【详解】（1）解：由题意可得，y=3.5−1−0.2∴y与x的函数关系式为y=−0.1x+9.6；（2）解：∵A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，∴x≥1.54−x，解得x≥2.4∵y=−0.1x+9.6，∵k=−0.1<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=2.4时，y取得最大值，此时y=9.36，答：种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键在于明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式2-2】（2023·河南洛阳·统考二模）西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．

(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100【答案】(1)甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元(2)当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元【分析】（1）设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）由（1）可知甲、乙的进货单价，根据题意可算出甲、乙的销售价格，设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，分别列式表示总利润、销售总额，根据题意解不等式，根据一次函数图像的性质即可求解．【详解】（1）解：设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意可得：10m+15n=95015m+20n=1350，解得m=50∴甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元．（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元，∵甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2∴甲种猕猴桃的售价为50+50×20%=60（元/件），乙种猕猴桃的售价为设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，∴两种猕猴桃100件全部售完后的总利润为w=(60−50)x+(42−30)(100−x)=−2x+1200，两种猕猴桃100件全部售完后的销售总额为y=60x+42(100−x)=18x+4200，∵18x+4200≥5100，∴x≥50，∵w=−2x+1200，而−2<0，∴w随x的增大而减小，∴当x=50时，w最大是−2×50+1200=1100（元），∴当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，一次函数图像的性质与销售的问题，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组得方法，解不等式，一次函数图像的增减性等知识是解题的关键．【变式2-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）2022年第19届亚运会（Tℎe19tℎAsianGamesHangzℎou2022），简称“杭州2022年亚运会”，将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A、B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）A种礼盒168198B种礼盒138158(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多少？【答案】(1)购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；(2)购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒50−x个，根据购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒80−a个，获得利润为y元，根据两种礼盒进价不超过12000元求出a的取值范围，再根据总利润=两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值．【详解】（1）解：设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒50−x个，根据题意：168x+13850−x解得：x=20，∴50−x=30，答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；（2）解：设购进A种礼盒a个，B种礼盒80−a个，获得利润为y元，∵购买A、B两种礼盒的费用不超过12000元，∴168a+13880−a解得：a≤32，根据题意得：y=198−168∵10>0，∴y随a的增大而增大，∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，80−a=80−32=48，答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解析式是解题关键．题型03行程问题【例3】（2023·湖南娄底·统考一模）周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离相同，小明先骑车6min到达超市，购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发(1)填表：小明离开家的时间/min46201500(2)填空：①小明在超市购物的时间是_____min；②超市到公园的距离是_____m；③小亮骑行的速度是______m/min；④小亮到达公园时，小明距离公园还有_____m；(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y1关于x【答案】(1)见解析(2)①15；②2100；③240；④1260(3)y【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，读懂题意，准确计算是解题的关键；（1）由图可知，小明的速度为15006=250mmin，即可求得当x=4时y的值，根据图象即可得到当（2）①由图象可知，小明在超市购物的时间；②根据图象可知，超市到公园的距离；③用路程除以时间即可得到小亮骑车的速度；④根据第二阶段小明骑行的速度求出小亮到达公园时，小明距离公园的距离即可；（3）根据题意和图象，分别写出0≤x≤6、6<x≤21、21<x≤31得到解析式，即可得到答案．【详解】（1）解：由图可知，小明的速度为15006∴当x=4时，y=250×4=1000，由图象可知，当x=20时，y=1500，填表如下：小明离开家的时间/min4620小明离家距离/100015001500（2）解：①由图象可知，小明在超市购物的时间：21−6=15min②超市到公园的距离是：3600−1500=2100m③小亮骑车的速度为360025−10④第二阶段小明的速度为：3600−150031−21小亮到达公园时，小明距公园还有：3600−1500−210×25−21故答案为：①15；②2100；③240；④1260．（3）解：设当0≤x≤6时，y1=kx，把1500=6k，解得：k=250，∴此时y1当6<x≤21时，y1当21<x≤31时，设y1=k'x+b21k解得：k'∴此时y1∴y1【变式3-1】（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程skm与时间(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有______km．(2)求乙离开M站的路程skm与时间tmin的函数关系式并说明图中两函数图象交点【答案】(1)5；23；(2)s=43t−【分析】（1）观察图象可得甲比乙提前5分钟出发；再利用路程除以无人驾驶小巴到达n站所用时间可得无人驾驶小巴的速度；再用20减去无人驾驶小巴20分钟所行驶的路程，即可求解；（2）根据题意可得5,0，20,20两点在函数图象上，再利用待定系数解答，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：甲比乙提前5分钟出发；无人驾驶小巴的速度为2030=2当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有20−2故答案为：5；23；（2）解：设s关于时间t的函数关系式为s=kt+b，∵5,0，20,20两点在函数图象上，∴0=5k+b20=20k+b，解得k=所以s关于时间t的函数关系式为s=43t−图中两函数图象交点P的实际意义是乙乘坐的无人驾驶汽车追上甲乘坐的无人驾驶小巴，两车与M站的距离相等．【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，能准确从函数图象获取信息，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．【变式3-2】（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y甲（千米），y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．【答案】(1)2(2)320千米；(3)符合【分析】（1）根据AB段图象直接解答；（2）根据点D的坐标得到乙车的速度，求出点E的坐标进而得到直线CE的解析式，即可得到答案；（3）结合函数图象可知在B、C两点处，两车距离最远，结合速度计算距离与45比较可得结论．【详解】（1）解：甲车途中停留了6-4=2小时，故答案为：2；（2）∵D（8，480），∴乙车的速度是y乙∴当E的纵坐标为60×7=420，即E（7，420），设直线CE的解析式为y=kx+b，得7k+b=420385k+b=480∴y=100x-280，当x=6时，y=320，∴甲车在排除故障时，距出发点的路程是320千米；（3）由图象可知，甲、乙车在第一次相遇后，在B、C处相距最远，在B处有y乙-y甲=6×60−320=40<45，在C处有y甲∴按图象所表示的走法符合约定．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确理解函数图象并得到相关的信息是解题的关键．【变式3-3】（2021·河南平顶山·统考二模）小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900米.小明因有事，比小亮晚一些出发，图中y1=k1t、y（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．（2）求k1、k2的值，并解释（3）通过计算说明，谁先到博物馆．【答案】（1）100；（2）k1=3，k2【分析】（1）根据图像直接进行判断即可；（2）将t=20，y=60代入y1=k1t，可以求得k1的值；将t=0时，y=100；t=20时，y=140代入y2=k2（3）根据（2）的结果进行计算即可．【详解】（1）根据图像可以看出小明走的时候，小亮已经走了100米．故答案为：100.（2）将t=20，y=60代入y1=k1t分别将t=0时，y=100；t=20时，y=140代入y2b=100140=20解得b=100k所以k1=3，其中k2（3）由题意可知：从小明开始出发计算：小明用的时间为900=3t，t=300s小亮用的时间为900=2t+100，t=400s所以小明先到博物馆．【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，正确理解图表中的信息是解题关键．题型04几何问题【例4-1】（2021·广东广州·二模）如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B

A．y=13x+2 B．y=−15x+2【答案】B【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．【详解】解：对于直线y=23x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，∴∠ACM+∠CAM=90°，∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，∴∠CAM+∠BAO=90°，∴∠ACM=∠BAO，在△CAM和△ABO中，∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAO∴△CAM≌△ABO(AAS∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，∴C(−5,3)，设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B(0,2)，∴b=2−5k+b=3，解得k=−∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=−1故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．【例题4-2】（2023·江苏盐城·校考三模）如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,−533)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点

【答案】(6【分析】依据直线EF过定点E，则定点P到直线EF的最大距离就是PE长，利用直线PE的解析式求出直线EF的解析式，则F点坐标可求出来．【详解】解：如图，AB=AD=6，∵∠DAB=60°，∴D(4，33∵点E在边BC上且横坐标?为8，∴E(8,3)，C(10，∵直线EF过定点E，∴PE⊥EF时，点P到EF所在直线的距离取得最大值．∵P(0,−533设PE解析式为y=kx−533∴3=8k−53∴此刻直线EF的k值为：kEF设直线EF解析式为：y=−3x+m，代入点E坐标得：∴m=93∴直线EF的解析式为：y=−3令y=33，则33=−∴此刻点F的坐标为：(6，故答案为：(6，

【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及菱形的性质，本题的关键就是能看到点到直线的最大距离就是P到定点E的长．【变式4-1】（（2022·安徽滁州·统考一模）如图，直线l对应的函数表达式为y=x+1，在直线l上，顺次取点A11,2，A22,3，A33,4，A44,5，……，猜想并填空：(1)S5(2)Sn=______（用含(3)S1+S【答案】(1)7×6−6×5；（或12）(2)n+2n+1−(3)n【分析】（1）由题意可知A55,6、（2）分别求出S1、S2、S3（3）根据S1、S2、S3、S【详解】（1）解：由题意可知A55,6、∴S5故答案为：7×6−6×5；（或12）（2）由题意可知：S1S2S3S4……Sn故答案为：n+2n+1−（3）S=3×2−2×1+4×3−3×2+5×4−4×3+⋅⋅⋅+(n+2)(n+1)−(n+1)n=(n+2)(n+1)−2=故答案为：n【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题关键．【变式4-2】（（2019·山东青岛·统考二模）阅读材料解答问题：自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：如图1所示，点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）问题解决：（1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”．应用拓展：（2）已知点C（32，0），点D为y①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为__；②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为__；问题延伸：（3）已知：E是直线y＝34x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距离”的最小值及相应点E【答案】（1）3；（2）①（0，3）或（0，﹣3）；②32（3）【分析】（1）根据若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|解答即可；（2）①根据点D位于y轴上，可以设点D的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=3，据此可以求得y的值；②设点D的坐标为（0，y），根据|-32-0|≥|0-y|，得出点C与点D的“非常距离”最小值为|-3（2）设点E的坐标为（x0，34x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=34x【详解】（1）∵|﹣1﹣2|＝3，|0﹣3|＝3，∴3＝3∴点A与点B的“非常距离”为3．（2）①∵D为y轴上的一个动点，∴设点D的坐标为（0，y）．∵|﹣32﹣0|＝32，点C与点∴|0﹣y|＝3，解得，y＝3或y＝﹣3，∴点D的坐标是（0，3）或（0，﹣3），故答案为（0，3）或（0，﹣3）；②当|﹣32﹣0|≥|0﹣y|时，点C与点D的“非常距离”为3∴点C与点D的“非常距离”的最小值为32故答案为32（2）如图2，取点E与点F的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，即AE＝AF，∵E是直线y＝34x+3上的一个动点，点F∴设点E的坐标为（x0，34x0∴﹣x0＝34x0此时，x0＝﹣87∴点E与点F的“非常距离”的最小值为：|x0|＝87此时E（﹣87，15【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“非常距离”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式4-3】（（2022·河北邢台·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l1经过点A−2,4，且与正比例函数y=−23x的图象l2交于点(1)求m的值及直线l1(2)求S△BOC(3)设直线x=a与直线l1，l2交于E，F两点，当S△EFB【答案】(1)m=−3，y=2x+8(2)4(3)a的值为0或−6【分析】（1）把Bm,2代入y=−23x中求出m的值，得到点（2）求出点C的坐标为−4,0，根据三角形面积公式即可得到答案；（3）分三种情况进行求解即可．【详解】（1）解：把Bm,2代入y=−23∴B−3,2将B−3,2，A−2,4代入得2=−3k+b,解得k=2,b=8,∴直线l1的解析式为y=2x+8（2）令2x+8=0，解得x=−4，∴点C的坐标为−4,0，∴S△BOC（3）由题意可知，点E的坐标为a,2a+8，点F的坐标为a,−2∴EF=2a+8+23a=8+8∴S△EFB结合图象分析，当a>−3时，S△EFB=12×当a=−3时，不存在S△EFB当a<−3时，S△EFB解得a1=0（舍），综上所述，a的值为0或−6．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．【变式4-4】（（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE的面积为

(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式以及对应的x(2)请在直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y(3)若直线y2的图象如图所示，结合你所画y1的函数图象，直接写出当y1【答案】(1)y(2)当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5<x≤9时，y1随(3)0≤x<3.3或7.1<x≤9（答案不唯一）【分析】（1）当点P在AB上运动时，由y1=12×AE×PH（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；（3）观察函数图象即可求解．【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD∥则CD⊥CE，即∠C=90°=∠D=∠AEC，则四边形AECD为矩形，在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，则AE=4=AD则矩形AECD为边长为4的正方形；当点P在AB上运动时，过点P作PH⊥AE于点H，

则y1当点P在AD上运动时，同理可得：y1即y1（2）当x=0时，y1=6，当x=5时，y1=0，当将上述坐标描点连线绘制图象如下：

从图象看，当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5<x≤9时，y1随（3）从图象看，当y1>y2时x的取值范围为：【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏．题型05工程问题【例5】（2022·山东泰安·统考二模）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天．(1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里；(2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？【答案】(1)B每天修4公里(2)B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元【分析】（1）设B工程队每天维护道路的长度是x公里，则A工程队每天维护道路的长度是2x公里，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A工程队单独完成整个任务比B工程队单独完成整个任务少用25天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设B工程队先单独做m天，根据要不超过20天完成整个工程，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，根据总费用=每天需支付给A工程队的费用×A工程队工作的时间+每天需支付给B工程队的费用×B工程队工作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）设B每天修x公里，则A每天修2x公里200解得x=4经检验x=4符合题意．答：B每天修4公里.（2）设B单独做m天．总费用为w元W=12m+=−∵k=−∴w随m的增大而减小.又∵m+m≤5∴当m=5时，w最小答：B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出整个工程费用与B工程队先单独做的天数之间的关系．【变式5-1】（（2021·山东淄博·统考二模）为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对200公里的道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度是乙工程队每天维护道路的长度的2倍，若甲、乙两个工程队分别独立完成整个任务，甲工程队比乙工程队少用25天．（1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里；（2）若该市需付给甲工程队的费用为每天40万元，需付给乙工程队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？【答案】（1）4公里；（2）乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是840万元【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独完成整个任务比乙工程队单独完成整个任务少用25天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做50−m3天，根据要不超过20天完成整个工程，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，根据总费用=每天需支付给甲工程队的费用×甲工程队工作的时间+每天需支付给乙工程队的费用×乙工程队工作的时间，即可得出w关于m【详解】解：（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，依题意得：200x解得：x=4经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．答：乙工程队每天维护道路的长度是4公里，（2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做200−4m4+2×4依题意得：m+解得：m≤5设该市需付的整个工程费用为w万元，则w=40×50−m∵−16∴w随m的增大而减小，∴当m=5时，w取得最小值，最小值为：−16答：乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是840万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出整个工程费用与乙工程队先单独做的天数之间的关系．题型06分段计费问题【例6】（2023·湖南长沙·校考一模）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：

(1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？(2)写出y与x的函数解析式．(3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？【答案】(1)10元(2)y=(3)21吨【分析】（1）根据图象可知，用水15吨交水费30元，依此求出基本段每吨水费，再用基本段每吨水费乘以5吨，可得应交水费；（2）分0≤x≤15，15<x≤22，