专题11 四边形压轴（讲练）

专题11四边形压轴考点要求命题预测四边形压轴在中考中，涉及四边形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以选择、填空题型出现，但是四边形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.考点四边形压轴真题演练题型01与四边形有关的多结论问题（选/填）1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2021·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A'，B'分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点A'，B'，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48；③A'C−B'C的最大值为15；④A'C+B'C的最小值为917．其中正确结论的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当

题型02与四边形有关的平移问题1．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB<BC，FG≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上．当MD=MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG=45

2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，点E，F，G，H的对应点分别为E'，F'，G'，

①如图②，当边E'F'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N，且矩形E'F'②当233≤t≤3．（2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE=BF；（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB=2,BF=x,DG=y，求y与x之间的关系式．题型03与四边形有关的翻折问题1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形ABCD(AD>AB)沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB

(1)求证：BE=BG．(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB

(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S3．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点

【问题提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．4．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+5题型04与四边形有关的旋转问题1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD=AF，连接BF．

(1)如图1，当0°<α<90°时，①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．②求证：EF=2(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB=2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<α<360°）△ADG面积的最大值．2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形ABCD中（顶点A,B,C,D按逆时针方向排列），AB=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB=

(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP②当△AC'D4．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．题型05与四边形有关的最值问题1．（2023·山东济南·中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．2．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB

3．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB=4，直接写出PQ+QF的最小值．4．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为________．

(2)深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．

5．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．题型06与四边形有关的动点问题1．（2023·海南·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ABC=60°，点P为线段BO上的动点（不与点B，O重合），连接CP并延长交边AB于点G，交DA的延长线于点H．

(1)当点G恰好为AB的中点时，求证：△AGH≌△BGC；(2)求线段BD的长；(3)当△APH为直角三角形时，求HPPC(4)如图2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点N，交CG于点M，连接NG，在点P的运动过程中，∠CGN的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．

(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；(2)延长FA，交射线BE于点G；①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；②若AB=3+6，求△BGF3．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC−CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0<x<4），四边形PQMN的面积为y（cm

(1)BP的长为__________cm，CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．4．（2022·四川资阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．(1)求证：△ABM∽△EBF；(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；(3)设BE=x,△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？题型07与四边形有关的新定义问题1．（2023·江苏·中考真题）综合与实践定义：将宽与长的比值为22n+1−12n（1）概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长CD的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．

（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，(2)点G2,2是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线GH的解析式是y(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC3．（2020·湖南益阳·中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．题型08与四边形有关的阅读理解问题1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG∵S△ADC=1任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

2．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+A3．（2020·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、S（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形题型09与四边形有关的存在性问题1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°，OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为

(1)求直线AD的解析式．(2)连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．2．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．(1)求线段AE的长；(2)求证四边形DGFC为菱形；(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．题型10四边形与圆综合1．（2023·广东·中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接AA'交BD于点E，连接

(1)求证：AA'⊥CA'；(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=3②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1，求⊙O的面积．2．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF题型11四边形与函数综合1．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m−a，0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m−ax(x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图像相交于点E，CD边与函数y1、y2

(1)m=2，a=4，求函数y3的表达式及△PGH(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y22．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境

建构函数】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE=y，试用含x的代数式表示y．

【由数想形

新知初探】（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．

【数形结合

深度探究】（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是−42<y<42；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点A、B、C、D【抽象回归

拓展总结】（4）若将（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是__________；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为_；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．核心知识点1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质四边形边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称、中心对称菱形对边平行且四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角轴对称、中心对称正方形对边平行且四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角轴对称、中心对称3平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定四边形边角对角线平行四边形1）两组对边分别平行2)两组对边分别相等3)一组对边平行且相等两组对角分别相等两组对角线互相平分矩形1）平行四边形+一直角2）四边形+三直角平行四边形+两条对角线相等菱形1）平行四边形+一组邻边相等2）四边形+四条边都相等平行四边形+两条对角线互相垂直正方形矩形+一组邻边相等菱形+一直角两条对角线互相垂直平分且相等的四边形必刷好题一、单选题1．（2023·广西·中考真题）如图，过y=kx(x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−1x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，

A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(−6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM

A．3 B．62−4 C．23．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点

A．5，5 B．6,245 二、填空题4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．下列结论：①S△NPF:S△NPC=FM:MC；②CM=PN；③EN⋅CD=EC⋅CF；④若EM=1，MB=45．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长

（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________．三、解答题6．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如图，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S

（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG

7．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．8．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．9．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．10．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]用数形结合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知12即12方法2：借助函数y=12x+12+122+123即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，所以，12【实践应用】任务一

完善23

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知23方法2：借助函数y=23x+因为两个函数图象的交点的坐标为______，所以，23任务二

参照上面的过程，选择合适的方法，求34任务三

用方法2，求q+q2+【迁移拓展】长宽之比为5+1观察图⑤，直接写出5−1

11．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+2（b是常数）经过点(2,2)．点A的坐标为(m,0)，点B在该抛物线上，横坐标为1−m(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B在x轴上时，求点A的坐标；(3)该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2−m时，求m的值．(4)当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连结AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．

专题11四边形压轴考点要求命题预测四边形压轴在中考中，涉及四边形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以选择、填空题型出现，但是四边形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.考点四边形压轴真题演练题型01与四边形有关的多结论问题（选/填）1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【答案】B【分析】根据正方形的性质可得∠AED=∠BFA，从而证明△ABF≌△AED，即可判断①；由折叠的性质可得BM⊥AF，再由平行线的判定即可判断②；由CM⊥FM可得A,M,C在同一直线上，从而可得∠MCF=∠MFC=45°，再根据折叠的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，再根据菱形的判定即可判断③；设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，利用勾股定理求得DE=5a=AF，证明△AHD∽△FHB，可得AH=23AF=253a，从而证得△AGE∽△ABF，可得DG=455a，GH=45【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AEDAAS∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°−∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，

设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，DE=∵∠AHD=∠FHB,∠ADH=∠FBH=45°，∴△AHD∽△FHB，∴FH∴AH=2∵∠AGE=∠ABF=90°，∴△AGE∽△ABF，∴AE∴EG=55BF=∴DG=ED−EG=455∵∠BHF=∠DHA，在Rt△DGH中，tan由折叠的性质可得，△ABF≌△AMF，∴∠EAG=∠PAG，在△EAG和△PAG中，∠EAG=∠PAGAG=AG∴△EAG≌△PAGASA∴EG=PG，∴EG=1∵AD∥∴△AHD∽△FHB，∴DHBH∵AD=AB，∴DHBH∵∠AGE=∠ABF=90°，∠EAG=∠FAB，∴△EAG∽△FAB，∴EGAG∴BHDH∴EG⋅DH=AG⋅BH，∴12∴EP⋅DH=2AG⋅BH，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得BF=FO，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】如图，设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，∴AO=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠EAO=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC，∵AE∥∴四边形AECF是平行四边形，∵MN垂直平分AC，∴EA=EC，∴四边形AECF是菱形，故①正确；②∵FA=FC，∴∠ACB=∠FAC，∴∠AFB＝2∠ACB；故②正确；③由菱形的面积可得12AC•EF＝CF•CD④∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，若AF平分∠BAC，FB⊥AB,FO⊥AC，则BF=FO，∴∠BAF=∠FAC，∵∠FAC=∠FCA，∵∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°，∴∠ACB=30°，∴FO=1∵FO=BF，∴CF＝2BF．故④正确；故选B【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2021·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A'，B'分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点A'，B'，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48；③A'C−B'C的最大值为15；④A'C+B'C的最小值为917．其中正确结论的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作D关于AA'的对称点D'，DD'交AA'于M,连接BD'，过D'作D'【详解】解：由平移的性质可得AB//A且AB=A∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴A'B'//CD且∴四边形A'B当点B'与D重合时，四边形不存在，故①错误在矩形ABCD中，BD=AB2+A过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN∴S△ABD=12AB·CD=12BD∴AM=CN=15×2025∴点C到AA∴点C到它关于直线AA∴故②正确∵A∴当A',B此时B'与D∴A'C−B∴故③正确，如图，作D关于AA'的对称点D'，DD'交AA'于M,连接BD'，过D则AB//A'B'//KH,AB=KH=15,∴D由▱A'B∴B∴A由②同理可得：DM=D∵tan设HN=3x,则BN=4x,由勾股定理可得：DD∴25整理得：25x∴(5x−7)(5x+43)=0,解得：x1∴NC=20−4x=72∴D∴故④正确故选C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当

【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出BD=10，MN=152，，利用S四边形MBND【详解】解：∵EM=EN，MN⊥BD，∴MP=PN，在点P移动过程中，不一定MP=PN，相矛盾，故①不正确；

延长ME交BC于点H,则ABHM为矩形，∴BD=∵ME⊥AD，MN⊥BD，∴∠MED+∠MDE=∠MEP+∠EMN=90°∴∠MDE=∠EMN，∴△MHN∽△DAB，∴MHAD即68解得：HN=9∴S故②正确；∵ME∥AB，∴△DME∽△DAB，∴MEAB∴ME=4，∵∠MDE=∠EMN，∠MPE=∠A=90°，∴△MPE∽△DAB，∴S△MPE∴S△MPE故③正确，BM+MN+ND=BM+ND+15即当MB+ND最小时，BM+MN+ND的最小值，作B、D关于AD、BC的对称点B把图1中的CD1向上平移到图2位置，使得CD=92，连接B1D1，即这时B1即BM+MN+ND的最小值是20，故④正确；故答案为：②③④

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．题型02与四边形有关的平移问题1．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB<BC，FG≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上．当MD=MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG=45

【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；（探究提升），证明四边形ABEN是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；（结论应用），证明四边形ECPH是菱形，求得其边长为10，作GQ⊥BC于Q，利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，∴MN∥EF，∴四边形EFMN是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），∵MN∥EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵∠B=∠FEH，∴NE∥又AN∥∴四边形ABEN是平行四边形，∴EF=AB=NE，∴平行四边形EFMN是菱形；（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，∴MD∥GP，∴四边形MNHG、CDMF、PGMD是平行四边形，∵MD=MG，∴四边形PGMD是菱形，∵四边形EFMN是菱形，∴四边形ECPH是菱形，∵四边形ECPH的周长为40，∴FH=GF=10，作GQ⊥BC于Q，

∵sin∠EFG=∴GQGF∴GQ=8，∴四边形ECPH的面积为10×8=80．故答案为：80．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，点E，F，G，H的对应点分别为E'，F'，G'，

①如图②，当边E'F'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N，且矩形E'F'②当233≤t≤【答案】(1)3,2，−(2)①32<t≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得EF=E'F'=3,EH=E'H'=1，然后可得∠ABO=60°，则有EM=32，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当23【详解】（1）解：∵四边形EFGH是矩形，且E0,∴EF=GH=3∴G−连接AC,BD，交于一点H，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，且A(3∴AB=AD=3−02∴AC=2，∴C3故答案为3,2，−（2）解：①∵点E0,12，点F∴矩形EFGH中，EF∥x轴，EH⊥x轴，EF=3∴矩形E'F'G'H'由点A3,0，点B0,1在Rt△ABO中，tan∠ABO=OA在Rt△BME中，由EM=EB⋅tan60°,EB=1−∴S△BME=1∵EE'=t又S=S∴S=t−3当EE'=EM=32时，则矩形E∴t的取值范围是32②由①及题意可知当233≤t≤332时，矩形E'F'G'H'∴当t=332时，矩形E

此时面积S最大，最大值为S=1×3当t=1134时，矩形E

由（1）可知B、D之间的水平距离为23，则有点D到G'F由①可知：∠D=∠B=60°，∴矩形E'F'∴该等边三角形的边长为2×3∴此时面积S最小，最小值为12综上所述：当233≤t≤【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键．3．（2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE=BF；（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB=2,BF=x,DG=y，求y与x之间的关系式．【答案】（1）见详解；（2）∠AFQ=45°；（3）y=【分析】（1）由题意易得AD=AB,∠EAD=∠FBA=90°，进而可得∠FAB=∠EDA，则有△ABF≌△DAE，然后问题可求证；（2）连接AQ，过点Q作QM⊥AD于点M，并延长MQ，交BC于点N，由题意易得AQ=FQ，∠ADB=45°，则有QM=MD，进而可得证△AMQ≌△QNF，然后可得∠MQF=90°，则问题可求解；（3）过点D作DH∥EG，交AB于点H，由题意易证四边形HEGD是平行四边形，则有AH=BF=x,HE=DG=y，进而可得BEDG=BF【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠EAD=∠FBA=90°，∵AF⊥ED，∴∠APE=90°，∴∠BAF+∠AEP=∠AEP+∠ADE=90°，∴∠FAB=∠EDA，∴△ABF≌△DAEASA∴AE=BF；（2）解：连接AQ，过点Q作QM⊥AD于点M，并延长MQ，交BC于点N，如图所示：∵点P是AF的中点，AF⊥EQ，∴AQ=FQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,∠ADB=45°，∴四边形MNCD是矩形，△MDQ是等腰直角三角形，∴MN=CD=AD,MD=MQ，∴AM=QN，∴△AMQ≌△QNFHL∴∠AQM=∠QFN，∵∠FQN+∠QFN=90°，∴∠FQN+∠AQM=90°，即∠AQF=90°，∴△AQF是等腰直角三角形，∴∠AFQ=45°；（3）过点D作DH∥EG，交AB于点H，如图所示：∴四边形HEGD是平行四边形，∴DG=HE，∵AF⊥EG，∴AF⊥HD，由（1）中结论可得AH=BF，∵AD//∴△APD∽△FPB，△BPE∽△DPG，∴BFAD∵AB=2,BF=x,DG=y，∴AD=AB=2,AH=BF=x,HE=DG=y，∴BE=2−x−y，∴BEDG∴2−x−yy∴y与x之间的关系式为y=4−2x【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定、函数及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定、函数及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．题型03与四边形有关的翻折问题1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形ABCD(AD>AB)沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB

(1)求证：BE=BG．(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=2【分析】（1）连接AE，由切线的性质得∠AEB=90°，则∠AEG+∠BEG=90°，由矩形的性质得∠BAD=∠BAF=90°，再由直角三角形两锐角互余得∠F+∠AGF=90°，根据对顶角相等和同圆的半径相等得∠BGE=∠AGE，∠F=∠AEG，然后由等角的余角相等得∠BGE=∠BEG，最后由等角对等边得出结论；（2）由锐角三角函数得，sin∠ABE=AEAB=12，得∠ABE=30°，由翻折得∠CBD=∠C'BD【详解】（1）证明：如图，连接AE．

∵⊙A与BC'相切于点∴∠AEB=90°，∴∠AEG+∠BEG=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BAF=90°，∴∠F+∠AGF=90°．∵AE=AF，∴∠F=∠AEG．∵∠BGE=∠AGF，∴∠BGE=∠BEG，∴BE=BG．（2）解：在Rt△BCD中，AE=1，AB=2∴sin∠ABE=∴∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，由翻折可知，∠CBD=∠C∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，在Rt△BCD中，tan∴BC=CD【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键．2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB

(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S【答案】(1)4(2)S=【分析】（1）连接BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得△BDC为等边三角形，根据∠QPB=45°，可得△PBQ为等腰直角三角形，则PB=23，PQ=26，根据翻折的性质，可得∠BPB'=90°，PB=PB'，则BB'=26（2）等积法求得BE=23xx2+12，则QE=12x2【详解】（1）如图，连接BD、BQ，∵四边形ABCD为菱形，∴CB=CD=4，∠A=∠C=60°，∴△BDC为等边三角形．∵Q为CD中点，∴CQ=2，BQ⊥CD，∴BQ=23，QB⊥PB∵∠QPB=45°，∴△PBQ为等腰直角三角形，∴PB=23，PQ=2∵翻折，∴∠BPB'=90°∴BB'=2同理CQ=2，∴CC'=2∴S四边形（2）如图2，连接BQ、B'Q，延长PQ交CC∵PB=x，BQ=23，∠PBQ=90°∴PQ=x∵S∴BE=BQ×PB∴QE=12∴S△QEB∵∠BEQ=∠BQC=∠QFC=90°，则∠EQB=90°−∠CQF=∠FCQ，∴△BEQ∼△QFC，∴S△QFC∴S△QFC∵S△BQC∴S=2S【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点

【问题提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．【答案】线段CQ的长为2512【分析】方案一：连接OQ，由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，证明△QPO≌△QCOHL，推出PQ=CQ，设PQ=CQ=x，在Rt方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，证明∠OAQ=∠R，推出QA=QR，设CQ=x，同方案一即可求解．【详解】解：方案一：连接OQ，如图2．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作图知BO=OC=1由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∠APO=∠B=90°，∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，又OQ=OQ，∴△QPO≌△QCOHL∴PQ=CQ，设PQ=CQ=x，则AQ=3+x，DQ=3−x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴线段CQ的长为2512方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作图知BO=OC=1由旋转的不变性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°，则∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，∴D、C、R共线，由翻折的不变性，知∠BAO=∠OAQ，∴∠OAQ=∠R，∴QA=QR，设CQ=x，则QA=QR=3+x，DQ=3−x，在Rt△ADQ中，AD2解得x=25∴线段CQ的长为2512【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+5【答案】（1）54；（2）5；（3）【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得A'B=2，设AE=A'E=x则BE=AB−AE=6−x，Rt△A（2）由矩形的性质和翻折性质得到∠EB'C=∠B'DA'，证明△EB进而求得BC=8，CE=3可求解；（3）证明△AEF∽△ADC得到CD=53EF，则BD+53EF=BD+CD=BC；设EF=3k，CD=5k，过点D作DH⊥AC于H，证明△CHD≌△FHDASA得到DF=CD=5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k=1，进而可求得AC=55，在图③中，过B作BG⊥AC于G，证明∠CBG=∠CDH=∠DAC，则sin∠CBG=sin【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠B=∠C=90°，由翻折性质得A'D=AD=10，在Rt△A'∴A'设AE=A'E=x在Rt△A'∴6−x2+2∴AE=103，∴AEEB（2）如图②，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，AD=BC，∠A=∠B=∠BCD=90°，由翻折性质得，A'B'=AB=6，∴∠EB∴∠EB∴△EB∴CEA'B'=∴B'∴B'在Rt△A'∴BC=AD=A'D=8∴BE=BC−CE=8−3=5；（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥∴△AEF∽△ADC，∵AD=10,AE=6，∴EFCD∴CD=53EF设EF=3k，CD=5k，过点D作DH⊥AC于H，如图③，则∠CHD=∠ADC=90°，∴∠CDH=∠DAC=90°−∠C；

∵EF∥∴∠CDF=∠DFE=2∠DAC=2∠CDH，∴∠CDH=∠FDH，又∵DH=DH，∠CHD=∠FHD=90°，∴△CHD≌△FHDASA∴DF=CD=5k，在Rt△EFD中，由勾股定理得E∴3k2+4∴EF=3，DF=CD=5，在Rt△ADC中，AC=在图③中，过B作BG⊥AC于G，则∠BGA=∠BGC=∠CHD=90°，∴BG∥∴∠CBG=∠CDH=∠DAC，∴sin∠CBG=sin∠DAC=∵∠BAC=45°，∠AGB=90°，∴∠ABG=90°−∠BAC=45°=∠BAC，则AG=BG，在Rt△BCG中，BG=BC⋅cos∠CBG=∵AG+CG=BG+CG=AC，∴255BC+∴BD+5

【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．题型04与四边形有关的旋转问题1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD=AF，连接BF．

(1)如图1，当0°<α<90°时，①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．②求证：EF=2(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB=2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<α<360°）△ADG面积的最大值．【答案】(1)①∠BAF=90°−α；②见解析；(2)△ADG面积的最大值为1+2【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到∠FAD=180°−α，据此求解即可；②连接BE，计算得到∠BCE=90°−α=∠BAF，利用SAS证明△BCE≌△BAF，推出△EBF是等腰直角三角形，据此即可证明EF=2（2）过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC、BD相交于点O，连接OG，利用直角三角形的性质推出点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，得到当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，据此求解即可．【详解】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ADC=∠BCD=∠DAB=90°，由题意得CD=CE，∠DCE=α，∴∠CDE=∠CED=1∴∠ADF=90°−∠CDE=90°−90°−∵AD=AF，∴∠ADF=∠AFD=1∴∠FAD=180°−∠ADF−∠AFD=180°−α，∴∠BAF=∠FAD−∠BAD=180°−α−90°=90°−α；②连接BE，

∵∠DCE=α，∴∠BCE=90°−α=∠BAF，∵CD=CE=AD=AF=BC，∴△BCE≌△BAFSAS∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF=2（2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC、BD相交于点O，连接OG，

由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，∴BG⊥EF，即∠BGD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD，∴OB=OD=OG，∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，∴GH=1∴△ADG面积的最大值为12【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]EF【分析】[探究一]证明△CNM≌△CNH，即可得证；[探究二]根据正方形的性质证明∠CEF=∠FNB，根据三角形内角和得出∠CEF=∠FNB，加上公共角∠ECF=∠NCM，进而即可证明[探究三]先证明△ECD∽△NCA，得出∠CED=∠CNA，ECNC=CDAC=12，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上．得出△NCG≌△NCM，根据全等三角形的性质得出∠MNC=∠GNC，进而可得∠CNM=∠CEF，证明△ECF∽△NCM【详解】[探究一]∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，∴CM=CH,∠MCH=90°，∴∠NCH=∠MCH−∠MCN=90°−45°=45°，∴∠MCN=∠HCN，在△CNM与△CNH中CM=CH∴△CNM≌△CNH∴∠CNM=∠CNH[探究二]证明：如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=45°，又∠MCN=45°，∴∠FBN=∠FCE=45°，∵∠EFC=∠BFN，∴∠CEF=∠FNB，又∵∠CNM=∠CNH，∴∠CEF=∠CNM，又∵公共角∠ECF=∠NCM，∴△CEF∽△CNM；[探究三]证明：∵AC,BD是正方形的对角线，∴∠CDE=∠CDA+∠EDM=135°，∠CAN=180°−∠BAC=135°，∴∠CDE=∠CAN，∵∠MCN=∠DCA=45°，∴∠MCN−∠DCN=∠DCA−∠DCN，即∠ECD=∠NCA，∴△ECD∽△NCA，∴∠CED=∠CNA，ECNC如图所示，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上．

∴MC=GC，∠MCG=90°，∴∠NCG=∠NCM=45°，又CN=CN，∴△NCG≌△NCM，∴∠MNC=∠GNC，∵∠CNA=∠CEF，∴∠CNM=∠CEF，又∠ECF=∠NCM，∴△ECF∽△NCM，∴EFNM=EC即EFNM【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形ABCD中（顶点A,B,C,D按逆时针方向排列），AB=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB=

(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP②当△AC'D【答案】(1)8(2)①BP=347；②BP=6【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明△PQC'≌△CHP②分三种情况讨论完成，第一种：C'为直角顶点；第二种：A为直角顶点；第三种，D【详解】（1）在▱ABCD中，BC=AD=10，在Rt△BCH中，CH=BCsin（2）①如图1，作CH⊥BA于点H，由（1）得，BH=BC2作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q，则

∴∠C∵∠∴∠PC由旋转知PC∴△PQC设BP=x，则PQ=CH=8,C∵C'∴C'∴△AQC∴C'QCH∴x=34∴BP=34②由旋转得△PCD≌△PC'D又因为AB∥CD，所以C'情况一：当以C'

∵C'∴C'落在线段BA∵PC⊥PC∴PC⊥AB，由（1）知，PC=8，∴BP=6．情况二：当以A为直角顶点时，如图3．

设C'D'与射线BA作CH⊥AB于点H．∵PC⊥PC∴∠CPH+∠TPC∵C'∴∠PC∴∠CPH=∠PC又∵∠CHP=∠PTC∴△CPH≌△PC∴C'设C'T=PH=t，则∴AT=PT−PA=2+t∵∠C∴△ATD∴ATT∴AT∴(2+t)2化简得t2解得t=2±2∴BP=BH+HP=8±2情况三：当以D'点P落在BA的延长线上，不符合题意．综上所述，BP=6或8±2【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．4．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【答案】(1)见解析(2)①见解析②2【分析】1根据SAS证明三角形全等即可；2①②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=9