专题13 二次函数性质压轴（讲练）

专题13二次函数性质压轴考点要求命题预测二次函数性质压轴在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。知识导图

考点二次函数性质压轴真题演练题型01待定系数法求二次函数解析式提分笔记求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件一般式y=ax²+bx+c(a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.顶点式y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴)时，常用顶点式求其表达式.交点式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.1．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=axx-2-101y0466下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x=C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2,0）D．函数y=ax22．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x3．（2023·上海·中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线题型02二次函数的图象与性质1．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y=x−ax−b−2，且(a<b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m<nA．m<a<n<b B．a<m<b<n C．m<a<b<n D．a<m<n<b2．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为3．（2023·山东临沂·中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数y=x①当x<−1时，x越小，函数值越小；②当−1<x<0时，x越大，函数值越小；③当0<x<1时，x越小，函数值越大；④当x>1时，x越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．4．（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足x2=4y+t,y2=4x+t（1）若P(3,m)是“和谐点”，则m=．（2）若双曲线y=kx(−3<x<−1)存在“和谐点”，则k的取值范围为题型03二次函数图象与各项系数的关系提分笔记二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系符号图象特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．a<0开口向下bb=0坐标轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论自变量x的值函数值图象上对应点的位置结论-24a-2b+cx轴的上方4a-2b+c>0x轴上4a-2b+c=0x轴的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx轴的上方a-b+c>0x轴上a-b+c=0x轴的下方a-b+c<01a+b+cx轴的上方a+b+c>0x轴上a+b+c=0x轴的下方a+b+c<024a+2b+cx轴的上方4a+2b+c>0x轴上4a+2b+c=0x轴的下方4a+2b+c<01．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A−3,0和点B1,0，与y轴交于点C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−3<x<0时，axA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·四川达州·中考真题）如图，拋物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．下列五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；④关于x的一元二次方程ax⑤若点m,y1，−m+2,y2均在该二次函数图像上，则A．4 B．3 C．2 D．14．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为题型04根据二次函数的对称性求解解题大招抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=x1解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.1．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数y=ax−mx−m−k(a>0,m,k是实数)A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2aC．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为3，0，对称轴是直线x=1A．abc<0 B．C．4ac>b2 D．点3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，N(1)若对于x1=1，x2=2有(2)若对于0<x1<1，1<x2题型05利用二次函数的性质求最值自变量取值范围图象最大值最小值全体实数a>0当x=−b2aa<0当x=−b2ax1≤x≤x2a>0当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=−b2a当x=x1时，二次函数取得最大值y1当x=−b2a当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=x1时，二次函数取得最小值y1a<0自行推导.1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3A．−2 B．−1 C．0 D．22．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值3．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数y=−x(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．4．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为3,0，①则b的值是_________，点B的坐标是_________；②当0<y<5时，借助图像，求自变量x的取值范围；(2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；(3)当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，求n和b的值以及m的取值范围．题型06二次函数与坐标轴交点问题提分笔记二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根判别式Δ=b2-4ac2个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>01个交点有一个不相等的实数根b2-4ac=00个交点没有实数根b2-4ac<01．（2023·河北·中考真题）已知二次函数y=−x2+m2A．2 B．m2 C．4 D．2．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c（A．10 B．12 C．13 D．153．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=−(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求k44．（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（1）求b的值．（2）当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设m,0是该函数的图像与x轴的一个公共点，当−1<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若题型07二次函数与不等式高分秘籍二次函数与不等式的关系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2x≠−取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解【其它情况】1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．1．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,yA．x≤−3或x≥1 B．x≤−1或x≥3 C．−3≤x≤1 D．−1≤x≤32．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数y=ax2−4ax（a是常数，a<0）的图象上有Am,y1和B2m,y2两点．若点A，BA．1<m<32 B．43<m<2 C．3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．4．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12x (1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．5．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量xx⋯−101234⋯y⋯0−3−4−305⋯(1)求二次函数y=ax(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2题型08二次函数中的平移、翻折、旋转问题高分秘籍二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2）平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3）二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号1．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点3．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25题型09函数图象判断综合1．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线y=ax2−aa≠0与直线y=kx交于Ax1,y1A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限2．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=aA． B． C． D．3．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=−A． B． C． D．题型10二次函数与实际问题高分秘籍用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，理清题意；2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。【注意】自变量的取决范围。利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．2．（2021·贵州贵阳·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+ca≠0，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移mm>0个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y3．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？4．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？核心知识点二次函数的图象与性质图象特征二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c图象a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=−顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(−b2a，最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.必刷好题一、单选题1．（2023·河南商丘·二模）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．y=x2 B．y=x2 C．2．（2023·山东青岛·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+1a≠0与一次函数A． B． C． D．3．（2023·广东东莞·一模）二次函数y=ax2+bx+c与反比例函数y=①abc<0，②b>a>0，③4a−2b+c<0，④a−c>k．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·四川绵阳·一模）二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+cA．−3<x<0 B．x<−3或x>0 C．x<−3或x>1 D．0<x<35．（2023·江苏淮安·二模）若抛物线y=a(x−h)2+k(a>0)过点A(0,1)，B(8,2)，则hA．−3 B．0 C．2 D．46．（2023·四川泸州·一模）当2b−2≤x≤2b+1时，抛物线y=−x−b2+4b−1A．1或34 B．7或1 C．7或34 7．（2023·浙江绍兴·模拟预测）二次函数y=−12x2+4x−3A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位8．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点−1,m和点−2,n在抛物线y=ax2+bx上，若a<0，点．−3,y1，1,y2，4,y3在该抛物线上．若m<n，比较yA．y1<0<y2<y3 B．二、填空题9．（2023·吉林长春·二模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF=10．（2023·重庆铜梁·一模）如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y=x2−311．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y=x交于点M，则点M12．（2023·湖北十堰·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量xx…−2−101…y…m0ct…以下四个结论：①a−b+c=0；②若m=t，则b−2a=0；（3）若a<0，且25a+5b+c=0，则不等式ax2+bx+c>0的解集为−1<x<5；④若a>0，且0<c<1，则当x>−1时，y随13．（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线y1=mx2+2mx+1（1）若抛物线y1与直线y2存在一个交点，其横坐标为−2，则m的值为（2）若关于x的一元二次方程mx2+mx−1=0在1≤x≤3的范围内有实数根，则m的取值范围是14．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+32x+4(0≤x≤8)的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与三、解答题15．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x(1)若二次函数的图象经过点1,−5，求a的值；(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为516．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A−1,0，B3,0(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，将抛物线x轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图2实线部分和虚线部分，），记为图象L．若直线y=−x+n与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时n的取值范围．(3)在（2）件下的新图象L，连接OP，若点D在新图象L上且∠DBO+∠POB=90°，

专题13二次函数性质压轴（解析版）考点要求命题预测二次函数性质压轴在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。知识导图

考点二次函数性质压轴真题演练题型01待定系数法求二次函数解析式提分笔记求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件一般式y=ax²+bx+c(a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.顶点式y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴)时，常用顶点式求其表达式.交点式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.1．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标xx-2-101y0466下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x=C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2,0）D．函数y=ax2【答案】C【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得4a−2b+c=0a−b+c=4解得a=−1b=1∴抛物线解析式为y=−x∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=12，该函数的最大值为令y=0，则−x解得x=3或x=−2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x【答案】712或【分析】根据题意求得点A3,0，B3,4，【详解】由y=(x−2)20≤x≤3，当x=0∴C0,4∵A3,0，四边形ABCO∴B3,4①当抛物线经过O，B时，将点0,0，B3,4∴c=0解得：b=②当抛物线经过点A,C时，将点A3,0,C0,4代入∴c=4解得：b=−综上所述，b=712或故答案为：712或−【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．3．（2023·上海·中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是【答案】y=−x【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定a<0，对称轴x=−【详解】解：∵二次函数y=ax∴抛物线开口向上，即a<0，∵二次函数y=ax2+bx+c∴−b2a=0，即b=0∴二次函数的解析式可以是y=−x故答案为：y=−x【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线【答案】(1)y=−(2)5【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式求出点C,D的坐标，再利用中点坐标公式可得点P的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】（1）解：将点A−1,0,B3,0代入y=−解得b=2c=3则该抛物线的解析式为y=−x（2）解：抛物线y=−x2+2x+3=−当x=0时，y=3，即C(0,3)，∵P为BD的中点，且B3,0∴P(1+32,∴CP=(2−0)故答案为：5．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．题型02二次函数的图象与性质1．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y=x−ax−b−2，且(a<b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m<nA．m<a<n<b B．a<m<b<n C．m<a<b<n D．a<m<n<b【答案】C【分析】依题意画出二次函数y=x−ax−b及【详解】解：二次函数y=x−ax−b与x轴交点的横坐标为a，

，观察图象可知：m<a<b<n，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依据题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．2．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．3．（2023·山东临沂·中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数y=x①当x<−1时，x越小，函数值越小；②当−1<x<0时，x越大，函数值越小；③当0<x<1时，x越小，函数值越大；④当x>1时，x越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．【答案】②③④【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．【详解】解：列表，x⋯−2.5−2−1−0.50.512⋯y⋯5.453−1−3.754.2535⋯描点、连线，图象如下，根据图象知：①当x<−1时，x越小，函数值越大，错误；②当−1<x<0时，x越大，函数值越小，正确；③当0<x<1时，x越小，函数值越大，正确；④当x>1时，x越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．4．（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足x2=4y+t,y2=4x+t且x≠y（1）若P(3,m)是“和谐点”，则m=．（2）若双曲线y=kx(−3<x<−1)存在“和谐点”，则k的取值范围为【答案】−73<k<4【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到32=4m+t,m2=4×3+t（2）设点a,b为双曲线y=kx(−3<x<−1)上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到a−ba+b+4=0，由a≠b得到a+b+4=0，则b=−a−4，由b=ka【详解】解：（1）若P(3,m)是“和谐点”，则32则32∴32即m2+4m−21=0，解得∴m=−7，故答案为：−7（2）设点a,b为双曲线y=k∴a2=4b+t,b即a2∴a+ba−b则a−ba+b+4∵a≠b，∴a+b+4=0，即b=−a−4，∵b=k∴k=ab=a−a−4=−a对抛物线k=−a+2∵−1<0，∴开口向下，当a=−1时，k=−−1+2当a=−3时，k=−−3+2∵对称轴为a=−2，−3<a<−1，∴当a=−2时，k取最大值为4，∴k的取值范围为3<k<4，故答案为：3<k<4【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．题型03二次函数图象与各项系数的关系提分笔记二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系符号图象特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．a<0开口向下bb=0坐标轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论自变量x的值函数值图象上对应点的位置结论-24a-2b+cx轴的上方4a-2b+c>0x轴上4a-2b+c=0x轴的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx轴的上方a-b+c>0x轴上a-b+c=0x轴的下方a-b+c<01a+b+cx轴的上方a+b+c>0x轴上a+b+c=0x轴的下方a+b+c<024a+2b+cx轴的上方4a+2b+c>0x轴上4a+2b+c=0x轴的下方4a+2b+c<01．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A−3,0和点B1,0，与y轴交于点C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−3<x<0时，ax2+bx+c>0；④当x>1时，yA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得a<0，c>0，根据A−3,0和点B1,0可得抛物线的对称轴为直线x=−1，即可判断②；推出b=2a<0，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当x=−1时，抛物线有最大值【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，∵抛物线与x轴交于点A−3,0和点B∴抛物线对称轴为直线x=−3+1∴−b∴b=2a<0，∴abc>0，故①错误；由函数图象可知，当−3<x<0时，抛物线的函数图象在x轴上方，∴当−3<x<0时，ax∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，∴当x=−1时，抛物线有最大值y=a−b+c，∴am∴am综上所述，正确的有②③⑤，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．2．（2023·四川达州·中考真题）如图，拋物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．下列五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为x=1，得到−b2a=1，即可判断②；可知x=2时和x=0时的y值相等可判断③正确；由图知x=1时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为x=1可得b=−2a【详解】①∵抛物线的开口向上，∴a>0.∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，∴c<0.由−b2a>0∴abc>0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为x=1，∴−b∴b=−2a，∴2a+b=0，故②正确；③由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等．由图知x=0时，y<0，∴x=2时，y<0．即4a+2b+c<0．故③错误；④由图知x=1时二次函数有最小值，∴a+b+c≤am∴a+b≤ama+b≤m(ax+b）故④错误；⑤由抛物线的对称轴为x=1可得−b∴b=−2a，∴y=ax当x=−1由图知x=−∴3a+c>0.故⑤正确．综上所述：正确的是①②⑤，有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；④关于x的一元二次方程ax⑤若点m,y1，−m+2,y2均在该二次函数图像上，则A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点3,0代入抛物线解析式并结合b=−2a即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点m,y1，−m+2,y【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a>0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b2a=1∴abc>0，即①正确，∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0∴9a+3b+c=0∴9a+3−2a+c=0，即∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2∴−4ac>0，−4ak∴无法判断b2−4ac−4ak2的正负，即无法确定关于∵m+∴点m,y1，−m+2,y∵点m,y1，∴y1综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的y=ax4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax【答案】①③【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a>0，c<0，再结合对称轴x=−1，同时令ax【详解】解：由图象可得，a>0，c<0，又−b∴b>0．∴abc<0．∴①正确．由题意，令ax∴ax又二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3∴ax2+(b−k)x+c=0的两根之和为−3+2=−1∴−b−ka=−1∴6a+c=0．又b=2a，∴3b+c=0．∴3b+2c=c<0．∴②错误，③正确．∵−b−ka=−1∴k=a．∴④错误．故答案为：①③．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．题型04根据二次函数的对称性求解解题大招抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=x1解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.1．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数y=ax−mx−m−k(a>0,m,k是实数)A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2aC．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a【答案】A【分析】令y=0，则0=ax−mx−m−k，解得：x1=m，x2=m+k，从而求得抛物线对称轴为直线【详解】解：令y=0，则0=ax−m解得：x1=m，∴抛物线对称轴为直线x=当k=2时，抛物线对称轴为直线x=m+1，把x=m+1代入y=ax−mx−m−2，得∵a>0∴当x=m+1，k=2时，y有最小值，最小值为−a．故A正确，B错误；当k=4时，抛物线对称轴为直线x=m+2，把x=m+2代入y=ax−mx−m−4，得∵a>0∴当x=m+2，k=4时，y有最小值，最小值为−4a，故C、D错误，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为3，0A．abc<0 C．4ac>b2 D．点【答案】B【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x=1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为3，0【详解】解：A、由二次函数的图形可知：a>0，b<0，B、因为二次函数的对称轴是直线x=1，则−b2a=1C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2−4ac>0，即D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为3，0，且对称轴为直线x=1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当【答案】4【分析】与抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，可得抛物线的对称轴为直线x=1+32=2，由CD∥x轴，可得【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A∴抛物线的对称轴为直线x=1+3∵当x=0时，y=c，即C0,c∵CD∥x轴，∴C，D关于直线x=2对称，∴D4,c∴CD=4−0=4；故答案为：4【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，N(1)若对于x1=1，x2=2有(2)若对于0<x1<1，1<x2【答案】(1)t=(2)t≤【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得x1,y1离对称轴更近，x1<x2，则【详解】（1）解：∵对于x1=1，x2∴抛物线的对称轴为直线x=x∵抛物线的对称轴为x=t．∴t=3（2）解：∵当0<x1<1∴12<x∵y1<y∴x1,y1离对称轴更近，x1∴x1即t≤1【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．题型05利用二次函数的性质求最值自变量取值范围图象最大值最小值全体实数a>0当x=−b2aa<0当x=−b2ax1≤x≤x2a>0当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=−b2a当x=x1时，二次函数取得最大值y1当x=−b2a当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=x1时，二次函数取得最小值y1a<0自行推导.1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3A．−2 B．−1 C．0 D．2【答案】D【分析】把抛物线y=x2−2x−1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为−2，再分别求出x=0【详解】解：∵y=x∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为−2，当x=0时，y=x2−2x−1=−1，当x=3∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值【答案】D【分析】将(0，6)代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出【详解】解：将(0，6)代入二次函数解析式y=x2+mx+m2∵二次函数y=x2+mx+m2∴m>0，∴m=3，∴y=x∴当x=−23时，二次函数有最小值，最小值为故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．3．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数y=−x(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】(1)①2,7；②当−1≤x≤3时，−2≤y≤7(2)y=−【分析】（1）①将b=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点2,7，根据二次函数的增减性，得出当x=2时，y有最大值7，当x=（2）根据题意x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，得出抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，即b>0，由抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，可知c=2，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出【详解】（1）解：①当b=4,c=3时，y=−x∴顶点坐标为2,7．②∵顶点坐标为2,7．抛物线开口向下，当−1≤x≤2时，y随x增大而增大，当2≤x≤3时，y随x增大而减小，∴当x=2时，y有最大值7．又2−∴当x=−1∴当−1≤x≤3时，−2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x=b2在∴b>0，∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c=2，又∵4×−1∴b=±2，∵b>0，∴b=2，∴二次函数的表达式为y=−x【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为3,0，①则b的值是_________，点B的坐标是_________；②当0<y<5时，借助图像，求自变量x的取值范围；(2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；(3)当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，求n和b的值以及m的取值范围．【答案】(1)①−2,−1,0②−2<(2)t<−3−(3)b=−3,n=−5,m<−【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令y=0，求出点B的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出x的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，得到x=1和x=2关于对称轴对称，进而求出b的值，得到n为x=1的函数值，求出n，推出直线y=m过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与x轴交于A、B两点，点A坐标为3,0，∴0=3∴b=−2，∴y=∴当y=0时，x2∴x1∴点B的坐标是−1,0；故答案为：−2，−1,0②y=列表如下：x⋯−2−1134⋯y⋯50−405⋯画出函数图像如下：

由图可知：当0<y<5时，−2<x<（2）∵y=x∴当x=−b2时，y有最小值为∵对于一切实数x，若函数值y>t总成立，∴t<−3−b（3）∵y=x∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−b又当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，∴直线y=n与抛物线的两个交点为1,n,2,n，直线∴1,n,∴−b∴b=−3，∴y=x−∴n=1−当x=32时，y有最小值∴m<−21

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．题型06二次函数与坐标轴交点问题提分笔记二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根判别式Δ=b2-4ac2个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>01个交点有一个不相等的实数根b2-4ac=00个交点没有实数根b2-4ac<01．（2023·河北·中考真题）已知二次函数y=−x2+m2x和y=xA．2 B．m2 C．4 D．【答案】A【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．【详解】解：令y=0，则−x2+解得x=0或x=m2或x=−m或不妨设m>0，∵m，0和∴m2，0∴2m=m∴m=2或m=0（舍去），∵抛物线y=x2−m2的对称轴为x=0∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c（A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b−1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得出Δ=b2−4ac≥0，进而得出b=2，则【详解】解：∵抛物线y=−12∵抛物线经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点∴2−3b+4b+c−12即c=b−1，∴y=−1∵抛物线与x轴有交点，∴Δ=即b2即b2−4b+4≤0，即∴b=2，c=b−1=2−1=1，∴2−3b=2−6=−4,4b+c−1=8+1−1=8，∴AB=4b+c−1−2−3b故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=−x2−3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−3x+c(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求k4【答案】(1)2(2)−(3)1【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出k2+4【详解】（1）解：∵将点（0，2）带入y=−xc=2．（2）由（1）可知，抛物线的解析式为y=−x∵当S=m时恰好有三个点M满足，∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．当x=−−32×(−1)即此时M（−32，114∴T=11（3）由题可知，−k2∴k则k=1【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键．4．（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（1）求b的值．（2）当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设m,0是该函数的图像与x轴的一个公共点，当−1<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．【答案】（1）b=−1；（2）1；（3）a<0或a>4【分析】（1）将点−2,1,（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分a<0和a>0两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点−2,1,2,−3代入y=ax两式相减得：−4b=4，解得b=−1；（2）由题意得：a≠0，由（1）得：y=ax则此函数的顶点的纵坐标为c−1将点2,−3代入y=ax2−x+c解得−4a=c+1，则c−1下面证明对于任意的两个正数x0,y∵(∴x0+当c>−1时，c+1>0，则c+1c+1=c+1+1c+1即c−1故当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由4a−2+c=−3得：c=−4a−1，则二次函数的解析式为y=ax由题意，分以下两种情况：①如图，当a<0时，则当x=−1时，y>0；当x=3时，y<0，即a+1−4a−1>09a−3−4a−1<0解得a<0；②如图，当a>0时，∵当x=−1时，y=a+1−4a−1=−3a<0，∴当x=3时，y=9a−3−4a−1>0，解得a>4综上，a的取值范围为a<0或a>4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若【答案】(1)（0，2）；2(2)t的取值范围为32<t<2，x【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,m),(3,n)关于对称轴为x=t对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,m)，点(3,n)，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．【详解】（1）解：当c=2时，y=ax∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵m=n，∴点(1,m),(3,n)关于对称轴x=t对称，∴t=1+3（2）解：当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），∵a>0，∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，当点(1,m)，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，t<1，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点(x0,m)此时点(3,n)到对称轴x=t的距离大于点(1,m)到对称轴x=t的距离，∴t−1<3−t，解得：t<2，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3∴32∵(x0,m)，(1,m)∴t=x∴32<x∴t的取值范围为32<t<2，x0【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．题型07二次函数与不等式高分秘籍二次函数与不等式的关系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2x≠−取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解【其它情况】1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．1．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，A．x≤−3或x≥1 B．x≤−1或x≥3 C．−3≤x≤1 D．−1≤x≤3【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】∵y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称抛物线y=ax2+c因此抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m的交点和与直线y=−kx+m设y=−kx+m与y=ax2+c交点为A'、B'，则∵a即在点A'∴ax2故选D．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称是解题的关键．2．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数y=ax2−4ax（a是常数，a<0）的图象上有Am,y1和B2m,y2两点．若点A，BA．1<m<32 B．43<m<2 C．【答案】C【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x轴的交点和二次函数的性质，即可解答．【详解】解：∵a<0，∴y=−3a>0，∵点A，B都在直线y=−3a的上方，且y1可列不等式：4am∵a<0，可得4m设抛物线y1=4m∴4m2−8m+3<0可看作抛物线y当y1=0时，可得解得m1∵4>0，∴y∴4m2−8m+3<0根据题意还可列不等式：am∵a<0，∴可得m2整理得−3m设抛物线y2=−3m∴−3m2+4m<0可看作抛物线y当y2=0时，可得解得m1∵−3<0，∴抛物线y2∴−3m2+4m<0的解为m<0综上所述，可得43故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【答案】(1)y=x2+2x−5(2)−3≤x≤1【分析】（1）把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x（2）把y=−2代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得y≤−2时x的取值范围．【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)∴c=−51+b+c=−2，解得：b=2∴抛物线为y=x∴顶点坐标为：−1,−6；（2）当y=−2时，x+12∴x+1解得：x1=1，

如图，当y≤−2时，∴−3≤x≤1．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．4．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12x2+bx−4的图像与x (1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．【答案】(1)−1；(2)k≤−3；(3)3,−52或【分析】（1）把A(−2,0)代入y=1（2）过点D作DM⊥OA于点M，设Dm,12m2平移后得抛物线为y=1（3）先设出平移后顶点为Pp,12p2−p−4，根据原抛物线y=1【详解】（1）解：把A(−2,0)代入y=10=1解得b=−1，故答案为−1；（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵b=−1，∴二次函数的解析式为y=设Dm,∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=∴tan∠AOD=解得m=−1或m=8（舍去），当m=−1时，12∴D−1,−∵y=1∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y=1把D−1,−52代入y=解得a=3或a=−1（舍去），∴平移后得抛物线为y=∵过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y=12x+32−92的对称轴x=−3的左侧，y∴k≤−3；（3）解：由y=12x−12−∵顶点为Pp,q在y=∴q=1∴平移后的抛物线为y=12x−p∵原抛物线y=1∴原抛物线的顶点C1,−92∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，∴Q1,∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，∵△PCQ是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴QC∴p2−2p−7∴p=1（舍去），或p=3或p=−1，当p=3时，12当p=−1时，12∴点P坐标为3,−52或【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．5．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量xx⋯−101234⋯y⋯0−3−4−305⋯(1)求二次函数y=ax(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2【答案】(1)y(2)2(3)−1<t≤53且t≠0【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数y=ax（2）连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，分别表示出RM、PM的长，根据正切的定义即可得到tan∠RPQ（3）分t>0和t<0两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0，0,−3，1,−4a−b+c=0c=−3解得a=1b=−2∴二次函数y=ax2+bx+c（2）如图，连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，

∵点Q的横坐标为m，∴Qm,∵y=x∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵点P与点Q关于直线x=1对称，设点Pn,则m−1=1−n，解得n=2−m，∴点P的坐标为2−m,m当x=m+2时，y=即Rm+则Mm+∴RM=mPM=m+2∴tan∠RPQ=即tan∠RPQ的值为2（3）由表格可知点A−1,0、B将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A'0,3、由题意可得，二次函数y=1t(当t>0时，抛物线y=1t(x2当x=4时，1t即−3t解得t≤5∴t≤5当x=0时，1t(x解得t>−1，∴0<t≤5此时满足题意，当t<0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1解得t=−4此时满足题意，将点A'0,3代入y=1t(将点B'4,3代入y=1t(∴−1<t<0，此时满足题意，

综上可知，−1<t≤53且t≠0或【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、锐角三角函数、不等式的应用等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．题型08二次函数中的平移、翻折、旋转问题高分秘籍二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2）平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会