2016年辽宁省锦州市中考数学试卷（含解析版）

年辽宁省锦州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．|﹣6|的相反数是（）A．6 B．﹣6 C． D．2．下列运算中，正确的是（）A．a3（﹣3a）2=6a5B．C．（﹣2a﹣1）2=4a2+4a+1 D．2a2+3a3=5a53．一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“价”字相对的字是（）A．记 B．心 C．间 D．观4．某商场试销售某品牌男款运动鞋，一个月内销售情况如下表：型号（cm）38394041424344数量（件）571215232514商场经理要想了解哪种型号需求量最大，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数5．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（）A．B．C．D．7．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数的图象可能是（）A． B． C． D．8．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的x与y的部分对应值如下表：有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x=﹣3是关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣3≤x≤n时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：ax4﹣ay4=．10．上海中信大厦是中国第一、世界第二高的摩天大楼，它塔冠上的风力发电机每年可以产生1189000千瓦时的绿色电力，1189000这个数用科学记数法可表示为．11．如图，直线AB经过原点O，与双曲线交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是．12．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是．13．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为个．14．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．15．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．16．小明将量角器在桌面上进行连续翻转，如图为第1次、第2次翻转，若量角器的半径为1，则第2016次翻转后圆心O所走过的路径长为．三、解答题（本大题共10小题，共80分）17．（6分）先化简，再求值：，其中．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为．19．（7分）为了了解九年级学生参加体育活动的情况，某校对九年级部分学生进行问卷调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：A、1.5小时以上B、1﹣1.5小时C、0.5﹣1小时D、0.5小时以下（这里的1﹣1.5表示大于或等于1同时小于1.5，本题类似的记号均表示这一含义）根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查采用的调查方式是；共调查了学生名；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）若该校有1500名九年级学生，估计该校九年级有多少名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．20．（7分）九年一班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，小强拿出一个箱子说：“这个不透明的箱子里装有红、白球各1个和若干个黄球，它们除了颜色外其余都相同，谁能同时摸出两个黄球谁就获得一等奖”．已知任意摸出一个球是黄球的概率为．（1）请直接写出箱子里有黄球个；（2）请用列表或树状图求获得一等奖的概率．21．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．22．（8分）“五•一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为30°，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为60°，求山高CD．（结果精确到1米，）（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）23．（8分）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．24．（8分）某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．（1）图中点P所表示的实际意义是；销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式；自变量x的取值范围为；（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？25．（10分）阅读理解：问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD+PF是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？思路：我们可以将底边BC上的任意一点P移动到特殊的位置，如图②，将点P移动到底边的端点B处，这样，点P、D都与点B重合，此时，PD=0，PE=BE，这样PD+PE=BE．因此，在证明这一命题时，我们可以过点B作AC边上的高BF（如图③），证明PD+PE=BF即可．请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：如图④，在正方形ABCD中，一直角三角板的直角顶点E在对角线BD上运动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与射线DA相交于点F，过点F作FH⊥BD，垂足为H．（1）试猜想EH与CD的数量关系，并加以证明；（2）当点E在DB的延长线上运动时，EH与CD之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；（3）如图⑥所示，如果将正方形ABCD改为矩形ABCD，∠ADB=θ，其它条件不变，请直接写出EH与CD的数量关系．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2016年辽宁省锦州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．|﹣6|的相反数是（）A．6 B．﹣6 C． D．【考点】绝对值；相反数．【分析】根据相反数的概念即可解答．【解答】解：|﹣6|=6，6的相反数是﹣6，故选：B．【考点】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．2．下列运算中，正确的是（）A．a3（﹣3a）2=6a5B．C．（﹣2a﹣1）2=4a2+4a+1 D．2a2+3a3=5a5【考点】整式的混合运算；分式的乘除法．【分析】A、根据积的乘方和同底数幂的乘法解答；B、根据同底数幂的除法分式乘法解答；C、根据完全平方公式解答；D、根据合并同类项法则解答．【解答】解：A、原式=a39a2=9a5，故本选项错误；B、原式，故本选项错误；C、原式=（2a+1）2=4a2+4a+1，故本选项错误；D、2a2与3a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选：C．【考点】】本题考查了整式的混合运算、分式的乘除法，熟悉运算法则是解题的关键．3．一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“价”字相对的字是（）A．记 B．心 C．间 D．观【考点】正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可求得答案．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“价”与“记”是相对面，“值”与“间”是相对面，“观”与“心”是相对面，故选：A．【考点】】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．某商场试销售某品牌男款运动鞋，一个月内销售情况如下表：型号（cm）38394041424344数量（件）571215232514商场经理要想了解哪种型号需求量最大，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数【考点】统计量的选择．【分析】商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的运动鞋的销售数量，即众数．故选：D．【考点】】本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用．5．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：根据图示，∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，∴小球最终停留在黑色区域的概率是：=．故选：D．【考点】】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=黑色区域的面积与总面积之比．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠CBA=90°，由作图可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AE=EB，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠CBA=90°，由作图可得MN是AB的垂直平分线，∴AE=EB=6﹣CE，∴CE2+BC2=BE2，即CE2+32=（6﹣CE）2，∴CE=，故选：A．【考点】】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线的作法．7．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】分别根据a＞0和a＜0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D错误；故选：C．【考点】】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．8．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的x与y的部分对应值如下表：有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x=﹣3是关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣3≤x≤n时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线与x轴的交点；一元二次方程的解；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据表中x与y的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断①，由对称轴x=﹣1可得b=2a，代入4a﹣2b+1可判断②，根据直线y=x过点（﹣3，﹣3）、（n，n）可知直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即可判断③，根据直线y=x与抛物线在坐标系中位置可判断④．【解答】解：根据表中x与y的部分对应值，画图如下：由抛物线开口向上，得a＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为x==﹣1，即﹣=﹣1，∴b=2a，则4a﹣2b+1=4a﹣4a+1=1＞0，故②正确；∵直线y=x过点（﹣3，﹣3）、（n，n），∴直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即x=﹣3和x=n是方程ax2+bx+c=x，即ax2+（b﹣1）x+c=0的两个实数根，故③正确；由图象可知当﹣3≤x≤n时，直线y=x位于抛物线y=ax2+bx+c上方，∴x≥ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c≤0，故④错误；故选：B．【考点】】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：ax4﹣ay4=．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式=a（x4﹣y4）=a（x2+y2）（x2﹣y2）=a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．【考点】】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．上海中信大厦是中国第一、世界第二高的摩天大楼，它塔冠上的风力发电机每年可以产生1189000千瓦时的绿色电力，1189000这个数用科学记数法可表示为．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：1189000=1.189×106．故答案为：1.189×106．【考点】】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．11．如图，直线AB经过原点O，与双曲线交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由题意得：S△ABC=2S△AOC，又S△AOC=|k|，则k的值即可求出．【解答】解：设A（x，y），∵直线与双曲线y=交于A、B两点，∴B（﹣x，﹣y），∴S△BOC=|xy|，S△AOC=|xy|，∴S△BOC=S△AOC，∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=8，S△AOC=|k|=4，则k=±8．又由于反比例函数位于二四象限，k＜0，故k=﹣8．故答案为﹣8．【考点】】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．12．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是．【考点】AA：根的判别式．【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵方程3kx2+12x+2=0有实数根，∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．∴k的取值范围是k≤6．故答案为：k≤6．【考点】】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系，同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．13．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为个．【考点】利用频率估计概率．【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.7，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．【解答】解：因为共摸了100次球，发现有71次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.7，所以估计这个口袋中红球的数量为10×0.7=7（个）．故答案为7．【考点】】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．【考点】平行线分线段成比例．【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，即=，∵AB=15，∴AE=10，∵DF∥CE，∴=，即=，解得：AF=，则EF=AE﹣AF=10﹣=，故答案为：【考点】】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．15．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【分析】解分式方程得x=m+2，根据方程的解为正数得出m+2＞0，且m+2≠2，解不等式即可得．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．【考点】】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式的能力，解分式方程得出关于m的不等式是关键．16．小明将量角器在桌面上进行连续翻转，如图为第1次、第2次翻转，若量角器的半径为1，则第2016次翻转后圆心O所走过的路径长为．【考点】轨迹．【分析】根据题意得出量角器在桌面上进行第1次、第2次翻转，圆心O运动路径的长度为：2π×1=2π，进而即可求得第2016次翻转后圆心O所走过的路径长．【解答】解：由图形可知，第1次翻转，圆心旋转圆的周长，再向前走的是一条线段，长度为半圆的周长，第2次翻转圆心旋转圆的周长，则第1次、第2次翻转圆心O运动路径的长度为：2π×1=2π，2016÷2=1008，所以2π×1008=2016π故答案为：2016π．【考点】】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作翻转所经过的路线并求出长度．三、解答题（本大题共10小题，共80分）17．（6分）先化简，再求值：，其中．【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值；零指数幂．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4﹣﹣1，=2﹣﹣1，=﹣1．把x=﹣1代入得到：==．即=．【考点】】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为．【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．【分析】（1）根据平移的规律，将点O、A、B向右平移1个单位，得到O1、A1、B1，连接O1、A1、B1即可；（2）连接OA1并延长到A2，使OA2=2OA1，连接OB1并延长到B2，使OB2=2OB1，连接OO1并延长到O2，使OO2=2OO1，然后顺次连接即可；（3）分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．【解答】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求作三角形；（2）如图，△O2A2B2即为所求作三角形；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b），故答案为：（2a+2，2b）．【考点】】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．19．（7分）为了了解九年级学生参加体育活动的情况，某校对九年级部分学生进行问卷调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：A、1.5小时以上B、1﹣1.5小时C、0.5﹣1小时D、0.5小时以下（这里的1﹣1.5表示大于或等于1同时小于1.5，本题类似的记号均表示这一含义）根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查采用的调查方式是；共调查了学生名；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）若该校有1500名九年级学生，估计该校九年级有多少名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据题意可得这次调查是抽样调查，进一步利用选A的人数÷选A的人数所占百分比即可算出总数；（2）用总数减去选A、B、D的人数即可得到选C的人数，用B、D的人数除以总数可求B、D所占的百分数，再补全图形即可；（3）根据样本估计总体的方法计算即可．【解答】解：（1）本次调查采用的调查方式是抽样调查；12÷30%=40（名）答：共调查了学生40名；（2）40﹣12﹣16﹣4=8（名）16÷40=40%4÷40=10%如图所示：（3）1500×（40%+30%）=1500×0.7=1050（名）答：该校九年级有1050名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．故答案为：抽样调查；40．【考点】】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（7分）九年一班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，小强拿出一个箱子说：“这个不透明的箱子里装有红、白球各1个和若干个黄球，它们除了颜色外其余都相同，谁能同时摸出两个黄球谁就获得一等奖”．已知任意摸出一个球是黄球的概率为．（1）请直接写出箱子里有黄球个；（2）请用列表或树状图求获得一等奖的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）设箱子里有黄球x个，根据概率公式得到=，然后解方程即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出同时摸出两个黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）设箱子里有黄球x个，根据题意得=，解得x=2，即箱子里有黄球2个；故答案为2；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中同时摸出两个黄球的结果数为2，所以获得一等奖的概率==．【考点】】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．21．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，证出∠BAE=∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN．【解答】解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME=FN，∴四边形MENF是平行四边形，∴FM=EN，FM∥EN．【考点】】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．22．（8分）“五•一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为30°，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为60°，求山高CD．（结果精确到1米，）（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，解直角三角形求出BF、AF，求出CE=BE，解直角三角形求出AD=CD，代入求出BE，即可求出答案．【解答】解：过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，则∠BEC=90°，∠AFB=90°，∠ADC=∠BFD=∠BED=90°，所以四边形BFDE是矩形，所以BE=DF，BF=DE，∵沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，∴DE=BF=500米，AF=1200米，∵∠CBE=60°，∴CE=BE，∵在Rt△ADC中，∠CAD=30°，∴AD=CD，∴1200米+BE=（500+BE）米，解得：BE=（600﹣250）米，∴CE=BE=（600﹣750）米，∴CD=DE+CE=（600﹣250）米≈789米．【考点】】此题考查了仰角的知识．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想应用．23．（8分）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接DO并延长交AC于M，证出，由垂径定理得出DM⊥AC，证出DM∥BC，由已知得出DF⊥DO，即可得出DF为⊙O的切线；（2）由（1）得出DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，由垂径定理得出CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理求出半径，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出EF=4.5﹣4=0.5，再由勾股定理求出DE即可．【解答】（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：∵∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴，∴DM⊥AC，∴DM∥BC，∵DF⊥BC，∴DF⊥DO，∴DF为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：AC∥DF，∵点D为AB的中点，∴DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示：则CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理得：1.52+（4.5﹣r）2=r2，解得：r=2.5，∴CN=EN=OM=4.5﹣2.5=2，∴CE=4，∴EF=4.5﹣4=0.5，∴DE===．【考点】】本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，垂径定理等知识；熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键．24．（8分）某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．（1）图中点P所表示的实际意义是；销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式；自变量x的取值范围为；（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据坐标系中点的坐标的意义，即可写出点P的实际意义，再根据“销售单价每提升一元的销售减少量=销售减少数量÷增加价钱”即可列式算出结论；（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，根据图象上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式，令y=0求出x值，即可得出自变量x的取值范围；（3）设第二个月的利润为w元，根据“利润=单个利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）=30（元），销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400﹣300）÷（35﹣30）=20（件）．故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，将点（30，400）、（35，300）代入y=kx+b中，得：，，∴y与x之间的函数表达式为y=﹣20x+1000．当y=0时，x=50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．故答案为：y=﹣20x+1000；30≤x≤50．（3）设第二个月的利润为w元，由已知得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣20x+1000）=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20（x﹣35）2+4500，∵﹣20＜0，∴当x=35时，w取最大值，最大值为4500．故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．【考点】】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）熟悉坐标系中点的坐标的意义；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象上点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．25．（10分）阅读理解：问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD+PF是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？思路：我们可以将底边BC上的任意一点P移动到特殊的位置，如图②，将点P移动到底边的端点B处，这样，点P、D都与点B重合，此时，PD=0，PE=BE，这样PD+PE=BE．因此，在证明这一命题时，我们可以过点B作AC边上的高BF（如图③），证明PD+PE=BF即可．请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：如图④，在正方形ABCD中，一直角三角板的直角顶点E在对角线BD上运动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与射线DA相交于点F，过点F作FH⊥BD，垂足为H．（1）试猜想EH与CD的数量关系，并加以证明；（2）当点E在DB的延长线上运动时，EH与CD之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；（3）如图⑥所示，如果将正方形ABCD改为矩形ABCD，∠ADB=θ，其它条件不变，请直接写出EH与CD的数量关系．【考点】四边形综合题．【分析】（1）先证△ECP≌△EQF，得EC=EF，再证△EFH≌△CEG，得EH=CG，可知EH=CG=CD；（2）根据题意画出图形，证明过程与（1）同理；（3）作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，先证△EPC∽△EQF得=，过点C作CG⊥BD于G，再证△ECG∽△FEH可得==，即EH=CGtanθ，在Rt△CDG中，由∠DCG=∠ADB=θ可得CG=CDcosθ，从而可知EH=CDsinθ．【解答】解：（1）EH=CD，如图1，过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥AD于Q，∴∠EQF=∠EPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=45°，∴四边形EPDQ是正方形，∴EP=EQ，∠QEF+∠FEP=∠QEP=90°，又∵∠FEP+∠PEC=∠FEC=90°，∴∠QEF=∠PEC，在△EQF和△EPC中，∵，∴△EQF≌△EPC（ASA），∴EC=EF，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠CHE=∠EHF，∵∠FEH+∠CEH=∠FEH+∠EFH=90°，∴∠CEH=∠EFH，在△EFH和△CEG中，∵，∴△EFH≌△CEG（AAS），∴EH=CG，在RT△CDG中，∵∠CDG=45°，∴EH=CG=CDsin∠CDG=CD，即EH=CD；（2）如图2，EH=CD，与（1）同理可得EF=EC，过点C作CG⊥BD于G，∴∠CGE=∠EHF=90°，∴∠FEH+∠EFH=90°，又∵∠FEH+∠CEG=90°，∴∠EFH=∠CEG，在△EFH和△CEG中，∵，∴△EFH≌△CEG（AAS），∴EH=CG，在RT△CDG中，∵∠CDG=45°，∴EH=CG=CDsin∠CDG=CD，即EH=CD；（3）EH=CDsinθ，如图3，作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，则四边形EPDQ是矩形，∴EP=QD，∠QEP=90°，即∠QEF+∠FEP=90°，∵∠FEP+∠PEC=90°，∴∠QEF=∠CEP，∴△EPC∽△EQF，∴=，过点C作CG⊥BD于G，∴∠CGE=∠EHF=90°，即∠CEG+∠ECG=90°，又∵∠CEG+∠FEH=90°，∴△ECG∽△FEH，∴==，∴EH=CGtanθ，∵在Rt△CDG中，∠DCG=∠ADB=θ，∴cosθ=，即CG=CDcosθ，∴EH=CDsinθ．【考点】】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相