2023-2024学年七年级数学下册 专题09 期中-综合大题必刷（压轴16考点49题）（解析版）

专题09期中-综合大题必刷（压轴16考点49题）

一．幂的乘方与积的乘方（共4小题）1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝1，D（16）＝4．（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根据运算性质，计算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．【答案】（1）D（2）＝1，D（16）＝4，（2）①D（a3）＝3，②D（15）＝3a﹣b+c，，D（108）＝6a﹣3b+2，＝5a﹣3b﹣c﹣2，【解答】解：（1）∵21＝2，∴D（2）＝1，∵24＝16，∴D（16）＝4，故答案为：1；4．（2）①∵21＝a，∴a＝2．∴23＝23．∴D（a3）＝3．②D（15）＝D（3×5），＝D（3）+D（5）＝（2a﹣b）+（a+c）＝3a﹣b+c，＝（a+c）﹣（2a﹣b）＝﹣a+b+c．D（108）＝D（3×3×3×2×2），＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）＝3×D（3）+2×D（2）＝3×（2a﹣b）+2×1＝6a﹣3b+2．，＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2＝5a﹣3b﹣c﹣2，2．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x．∵36x＝312，∴6x＝12，∴x＝2．（2）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．3．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．（1）根据上述规定，填空：2※16＝4，±※36＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]（结果化成最简形式）．【答案】（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，∴2※16＝4，∵a※36＝﹣2，∴a﹣2＝36，∴a﹣2＝（±6）2＝，∴a＝±．（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，∴5x＝7，5y＝9，∴5x×5y＝7×9＝63，∴5x+y＝63，∴5※63＝x+y，即5※7+5※9＝5※63；②∵3n※4n＝3※4，∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．故答案为：（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．4．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（5，1）＝0，（2，）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2﹣2＝，∴（2，）＝﹣2；（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，∴3x+y＝3x•3y＝20，∴（3，20）＝x+y，∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．故答案为：3，0，﹣2．二．同底数幂的除法（共1小题）5．已知，3m＝2，3n＝5，求（1）33m+2n；（2）34m﹣3n．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200；（2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125＝．三．完全平方公式（共1小题）6．阅读下列材料若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案为：x﹣1；x﹣3；②（x﹣1）（x﹣3）＝48，阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，∴a+b＝±14，又∵a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．四．完全平方公式的几何背景（共2小题）7．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；图1表示：（a+b）2＝a2+b2+2ab；图2表示：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；②请直接写出下列问题答案：若2m+3n＝5，mn＝1，则6n﹣4m＝±2；若（7﹣m）（5﹣m）＝9，则（7﹣m）2+（5﹣m）2＝22．（3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）①3；②±2，22；（3）1856．【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）①∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]，∵x+y＝4，x2+y2＝10，∴xy＝（16﹣10）＝3；②由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，∵2m+3n＝5，mn＝1，∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，∴2m﹣3n＝±1，∴6n﹣4m＝±2，故答案为：＝±2；由图1可得[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m），∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m），∵（7﹣m）（5﹣m）＝9，∴原式＝4+2×9＝22，故答案为：22；（3）∵ED＝AD﹣AE，DG＝DC﹣CG，∴ED＝2x﹣44，DG＝x﹣30，∴MT＝MO＝（2x﹣44）+2（x﹣30），∵长方形EFGD的面积是200，∴（2x﹣44）（x﹣30）＝200，∴2（x﹣30）（2x﹣44）＝400，令a＝2x﹣44，b＝2（x﹣30），∴ab＝400，a﹣b＝16，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝256，∴a2+b2＝256+2ab＝1056，∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝1056+800＝1856．8．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．①若用不同的方法计算这个边长为a+b+c的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．②因式分解：a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b＝6，ab＝8，请求出阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c），a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；②a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca＝（a+2b）2+6c（a+2b）+9c2＝（a+2b+3c）2．（2）∵a+b＝6，ab＝8，∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×62﹣×8＝6．五．平方差公式的几何背景（共1小题）9．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2六．整式的混合运算（共1小题）10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2，得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014．将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1即S＝22014一1，即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1仿照此法计算：（1）1+3+32+33+…+3100（2）1++…+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，两边乘以3得：3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101，将下式减去上式，得3S﹣S＝3101﹣1即S＝，即1+3+32+33+34+…+3100＝（2）设S＝1++++…+，两边乘以得：S＝++…+，将下式减去上式得：﹣S＝﹣1，解得：S＝2﹣，即1++++…+＝2﹣．七．因式分解的应用（共2小题）11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．12．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，则，解得：．则另一个因式是：x+4，k＝20．（2）设另一个因式是（3x+m），则（2x+a）（3x+m）＝6x2+（2m+3a）x+am＝6x2+4ax+2，则，解得或，另一个因式是3x﹣1，a的值是﹣2（不合题意舍去），故另一个因式是3x+1，a的值是2．八．二元一次方程的应用（共2小题）13．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉．共需要资金4400元．（1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台进行销售，请问有几种进货方案？请写出进货方案；（3）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台进行销售，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润甲为45%．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，则m的值应为多少？【答案】（1）甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价800元；（2）共有21种方案，如解答所示；（3）若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，m的值为100．【解答】解：（1）设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，依题意得，，解得，答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价800元；（2）由购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，得共有21种方案：方案一：购进甲型号0台，乙型号20台；方案二：购进甲型号1台，乙型号19台；方案三：购进甲型号2台，乙型号18台；方案四：购进甲型号3台，乙型号17台；方案五：购进甲型号4台，乙型号16台；方案六：购进甲型号5台，乙型号15台；方案七：购进甲型号6台，乙型号14台；方案八：购进甲型号7台，乙型号13台；方案九：购进甲型号8台，乙型号12台；方案十：购进甲型号9台，乙型号11台；方案十一：购进甲型号10台，乙型号10台；方案十二：购进甲型号11台，乙型号9台；方案十三：购进甲型号12台，乙型号8台；方案十四：购进甲型号13台，乙型号7台；方案十五：购进甲型号14台，乙型号6台；方案十六：购进甲型号15台，乙型号5台；方案十七：购进甲型号16台，乙型号4台；方案十八：购进甲型号17台，乙型号3台；方案十九：购进甲型号18台，乙型号2台；方案二十：购进甲型号19台，乙型号1台；方案二十一：购进甲型号20台，乙型号0台；（3）设总利润为w元，则w＝（1400×0.9﹣1000）a+（800×0.45﹣m）（20﹣a），整理得w＝（m﹣100）a+7200﹣20m，∵所获得利润与a无关，∴m﹣100＝0，解得m＝100，答：若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关，m的值为100．14．去年某生态枇杷园喜获丰收，生态园老板准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨，现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息．解答下列问题：（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？（2）请你帮生态园老板设计共有多少种租车方案？【答案】（1）1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车都装满枇杷一次可运货2吨；（2）3种方案．【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，由题意得，，∴，答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车都装满枇杷一次可运货2吨；（2）由题意得，3m+2n＝15，∴或或，∴共三种租车方案，答：生态园老板设计共有三种租车方案：甲车1辆，乙车6辆；甲车3辆，乙车3辆；只租5辆甲车．九．二元一次方程组的解（共2小题）15．已知方程组和有相同的解，求a、b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：先解方程组，解得：，将x＝2、y＝3代入另两个方程，得方程组：，解得：．16．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：，解得：，把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．一十．解二元一次方程组（共1小题）17．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值．【答案】（1）；（2）15．【解答】解：（1），由②得：3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，把①代入③得：15﹣2y＝9，解得：y＝3，把y＝3代入①得：2x﹣9＝5，解得：x＝7，所以原方程组的解为；由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47，化简得：，把③代入②得：，解得：xy＝2，把xy＝2代入③得x2+4y2＝17，∴x2+4y2﹣xy＝15．一十一．二元一次方程组的应用（共3小题）18．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货λ吨、μ吨，由题意得：，解得：λ＝3，μ＝4．故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．（2）由题意和（1）得：3a+4b＝26，∵a、b均为非负整数，∴或，∴共有2种租车方案：①租A型车6辆，B型车2辆，②租A型车2辆，B型车5辆．（3）方案①的租金为：6×100+2×120＝840（元），方案②的租金为：2×100+5×120＝800（元），∵840＞800，∴最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元．19．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得，解得答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，依题意，得：，解得：．∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张），∴可做铁盒76÷4＝19（个）．答：最多可以加工成19个铁盒．20．如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据题意得：，解得：．答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．一十二．平行线的性质（共12小题）21．【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，求∠EPF；【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，判断∠PEA，∠PFC，∠EPF之间满足怎样的数量关系，并说明理由；【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，求∠EGF．【答案】问题情境：105°；问题迁移：∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由见解答；联想拓展：18°．【解答】解：（1）∵AB∥PM，∴∠1＝∠AEP＝45°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝120°，∴∠2＝180°﹣120°＝60°，∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．即∠EPF＝105°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥AB，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE；（3）∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴，由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．22．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝63°，则∠MPE＝27°，∠PFQ＝135°；（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒6°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒12°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】（1）27；135；（2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；（3）t＝或或或．【解答】解：（1）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，∵AB∥CD，∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，∵PE⊥QE，∴∠QEH＝QEG＝90°，∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，∴∠EQH＝∠EQC＝45°+α，∵∠EQN＝63°，∴∠EGQ＝27°，∴∠BPE＝27°．在△EQH和△PFH中，∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即：90°+45°+α＝α+∠PFH，∴∠PFH＝135°，故答案为：27；135；（2）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，∵AB∥CD，∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，∴∠HQE＝∠EQC＝90°+α﹣∠PEQ，在△EQH和△PFH中，∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；（3）根据题意，需要分三种情况：如图3（1），当M′N∥PH′时，12t﹣180°﹣15°＝110°﹣6t，∴；如图3（2），当NM′∥F′H′时，90﹣（180﹣12t﹣30）＝110﹣6t，∴t＝，如图3（3），当NM′∥PF′时，110﹣6t＝12t﹣15，∴t＝，如图3（4），当M′N∥PH′时，360﹣30﹣12t+110﹣6t＝180，∴t＝，如图3（5），当NM′∥F′H′时，12t﹣180﹣15﹣45＝110﹣6t，∴t＝（舍），如图3（6），当NM′∥PF′时，30+12t﹣180＝110﹣6t，∴t＝，30﹣15+12t﹣180＝110﹣6t，t＝．综上所述：t＝或或或．23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若MG⊥NG，求∠BMG+∠DNG的度数；（2）如图2，点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG．若∠AME＝50°，则2∠MEN+∠MGN的度数为105°．【答案】（1）90°；（2）90°；（3）105°．【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠BMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠DNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝25°，∴∠AME＝50°，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝25°，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝50°，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣50）+25+y＝105°．故答案为：105°．24．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：∠BME＝∠MEN﹣∠END；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：∠BMF＝∠MFN+∠FND；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND；（2）∠FME＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．25．如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝45°；（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH，∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，∴∠2＝45°，故答案为：45°；（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴NQ∥AB∥CD∥PG，∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣2α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，又∵∠FNE+∠FGE＝54°，∴β﹣2α+（α+180°﹣2β）＝54°，∴α＝24°，∴∠AEN＝2α＝48°；（3）猜想：∠G＝2∠H．理由：∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，如图3所示，过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，∵AB∥CD，∴GQ∥AB∥CD∥PH，∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN＝α，∴∠EGF＝∠QGE﹣∠QGF＝2α﹣2β，∠EHF＝∠PHN﹣∠PHM＝α﹣β，∴∠EGF＝2∠EHF．26．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有两种情况：①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②当M在BP的上方时，如图6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．综上，的值是5或．27．如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE．∵MN∥OP，EF∥MN，∴EF∥OP．∴∠PBD＝∠BDE，∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠NAD+∠PBD＝90°．（2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD．∵∠OBD+∠PBD＝180°，∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°．（3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．∵OP∥MN，∴∠OBA＝∠NAB＝2α，∴∠OBD＝4α．由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．28．已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．【探究】：（1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝25°；（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝；（用α，β表示）（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；【挑战】：如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．【答案】（1）25°；（2）；（3）若AG∥BH，则α+β＝180°；90°﹣．【解答】解：（1）如图1．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣110°＝130°．又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝＝＝（180°﹣130°）＝25°；（2）如图2．由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．∴∠AFB＝＝．（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．证明：如图3．若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DBC＝α+β＝180°．挑战：如图4．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM＝，．∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．∵∠ABF与∠NBE是对顶角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝＝90°﹣．29．（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数；（2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）∠APC＝110°．（2）∠CPD＝∠α+∠β．（3）当P在A的左侧时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在B的右侧时，∠CPD＝∠α﹣∠β．【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB．∴∠BAP+∠APH＝180°．∴∠APH＝180°﹣∠BAP＝180°﹣130°＝50°∵AB∥CD，GH∥AB．∴CD∥GH．∴∠PCD+∠HPC＝180°．∴∠HPC＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°．∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°．（2）如图2，过点P作EF∥AD．∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF．∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC．∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β．∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β．∴∠CPD＝∠α+∠β．（3）当P在A的左侧，如图3．∵AD∥BC，∴∠DKC＝∠BCP＝∠β．又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP，∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α．当P在B的右侧，如图4．∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DQC＝∠α．又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP，∴∠α＝∠CPD+∠β．∴∠CPD＝∠α﹣∠β．30．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAV、∠APB、∠PBD三个角．（1）当动点P落在第①部分时，如图1，求证：∠APB＝∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直线写出这三个角之间的关系；（3）当动点P落在第③部分时，延长BA，点P在射线BA的左侧和右侧时，分别探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）延长AP交BD于M，如图1，∵AC∥BD，∴∠PAC＝∠AMB，∵∠APB＝∠AMB+∠PBD，∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．（2）∠APB＝∠PAC+∠PBD不成立，如图2，理由是：过P作EF∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥EF∥BD，∴∠PAC+∠APF＝180°，∠PBD+∠BPF＝180°，∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF＝360°，∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°，∴∠APB＝360°﹣∠PAC﹣∠PBD，∵∠APB≠180°，∴∠APB＝∠PAC+∠PBD不成立．（3）①当动点P在射线BA的右侧时，如图3，结论是∠PBD＝∠PAC+∠APB，理由是：∵AC∥BD，∴∠PMC＝∠PBD，∵∠PMC＝∠PAC+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．②当动点P在射线BA上时，如图4，结论是：∠PBD＝∠PAC+∠APB（或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°），理由是：∵AC∥BD，∴∠PAC＝∠PBD，∵∠APB＝0°，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB或∠PAC＝∠PBD+∠APB．③当动点P在射线BA的左侧时，如图5，结论是：∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由是：∵AC∥BD，∴∠PMC＝∠PBD，∵∠PAC＝∠APB+∠PMC，∴∠PAC＝∠APB+∠PBD．31．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：①的值不变；②∠GEN﹣∠BDF的值不变．其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图1，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）结论①的值不变是正确的，设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2（定值），即的值不变，值为2．32．如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时（不与点B重合），求的值．【答案】（1）证明见解答；（2）∠F＝40°；（3）2．【解答】（1）证明：如图1，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，即∠BCD+∠BDC+∠ADB＝180°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠EDB，∵∠BDC＝∠BCD，∴2（∠BDC+∠EDB）＝180°，∴∠BDC+∠EDB＝90°，即∠CDE＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°；（2）解：如图2，∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠DBF，设∠ABF＝∠DBF＝α，∵∠ABC＝100°，∴∠CBD＝100°﹣2α，∵∠BDC＝∠BCD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD）＝40°+α，∵∠BDC＝∠F+∠DBF，∴∠F＝∠BDC﹣∠DBF＝40°+α﹣α＝40°；（3）解：在△BMK中，∠BMK＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BKH，又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BKH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BKH﹣2∠ABD﹣∠ADB＝2[180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD]，∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，∴∠BKG＝∠BKH，∠BDE＝∠ADB，∴∠DNG＝∠KNE＝180°﹣∠BKG﹣∠AED＝180°﹣∠BKH﹣∠ABD﹣∠BDE＝180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD，∴＝＝2．一十三．平行线的判定与性质（共11小题）33．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；（2）①β＝60°；②当点G在F的右侧时，；当点G在F的左侧时，．【解答】解：（1）结论：AB∥CD．理由：如图1中，∵EM平分∠AEF交CD于点M，∴∠AEM＝∠MEF，∵∠FEM＝∠FME．∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD．（2）①如图2中，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∵α＝30°，∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．∴∠HEN＝60°，∵EH平分∠FEG，∴∠HEF＝∠HEG，∵∠AEM＝∠EMF，∴，∴∠AEG＝120°，则∠GEB＝60°，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°；②猜想：或，理由：1）当点G在F的右侧时，如图2，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGH＝β，∴∠AEG＝180°﹣β，∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，∴，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴．（2）当点G在F的左侧时，∵AB∥CD，∴∠BEG＝180°﹣∠EGH＝180°﹣β，∠AEG＝∠EGH＝β，∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF﹣∠HEF＝，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝90°﹣．综上所述，或．34．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠GEF＝∠EFG，EF平分∠AEG．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，①若∠EHG＝90°，∠QGE＝20°，求∠Q的值．②设∠Q＝α，∠EHG＝β．点H在运动过程中，写出α和β的数量关系并说明理由．【答案】（1）AB∥CD，见解答过程；（2）①45°；②α＝β．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵EF平分∠AEG，∴∠AEF＝∠GEF，又∵∠EFG＝∠FEG，∴∠AEF＝∠GFE，∴AB∥CD；（2）①∵∠QGE＝20°，GQ平分∠EGH，∴∠EGH＝2∠QGE＝40°，∵∠EHG＝90°，∴∠HEG＝50°，∴∠AEG＝180°﹣∠HEG＝130°，∵EF平分∠AEG，∴∠FEG＝65°，∴∠Q＝∠FEG﹣∠QGE＝65°﹣20°＝45°；②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，∴∠FEG＝∠AEG，∠EGQ＝∠EGH，∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝（∠AEG﹣∠EGH）＝∠EHG，即α＝β．35．如图1，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．灯A射线AC从AM开始．以每秒2度的速度顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BD从BP开始，以每秒1度的速度顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．主道路是平行的即PQ∥MN，∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAM＝120°；（2）若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒．两灯的光束互相平行（如图2，3）？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，则在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒时，∠ACB＝120°．【答案】（1）120°；（2）A灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行；（3）在灯B射线到达BQ之前，两灯转动140秒或100秒．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，∠BAM＝×180°＝120°故答案为：120°；（2）设灯A转动t秒（0≤t≤170），①如图2，若AC∥BD，则∠CAB＝∠DBA，又∵QP∥MN，∴∠PBA＝∠MAB，∴∠PBA﹣∠DBA＝∠MAB﹣∠CAB，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝t+10，∴t＝10；②如图3，若AC∥BD，则∠CAB＝∠DBA，又∵QP∥MN，∴∠PBA＝∠MAB，∴∠PBA+∠DBA＝∠MAB+∠CAB，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝t+10或360﹣2t＝t+10，∴t＝10或t＝；综上，A灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此时A射灯找到点B，不符合题意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如图4，当∠ACB＝120°时，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，综上所述，在灯B射线到达BQ之前，两灯转动140秒或100秒．36．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝100°，∠3＝90°．（2）请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．（3）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【答案】（1）100；90；（2）90°；（3）2α+β＝180°．【解答】解：（1）如图：∵∠1＝∠4＝50°，∴∠5＝180°﹣2×50°＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠5＝180°，∴∠2＝100°，∴∠6＝（180°﹣∠2）＝40°，∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠6＝90°；故答案为：100，90；（2）当∠3＝90°时，m∥n，理由如下：∵∠3＝90°，∴∠4+∠6＝90°，∴2∠4+2∠6＝180°，∴∠2+∠5＝180°，∴m∥n；（3）解：如图3，由（1）可得，∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∵∠2+∠3＝180°﹣∠α，∴∠β＝180°﹣∠5﹣∠6＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣∠α）﹣180°＝180°﹣2∠α，∴α与β的数量关系为：2α+β＝180°，故答案为：2α+β＝180°．37．已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于60°．（在横线上填上答案即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵∠A＝∠B，∴∠A+∠O＝180°，（等量代换）∴OB∥AC．（同旁内角互补，两直线平行）（2）（ⅰ）∵∠A＝∠B＝100°，由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°；∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°．（ⅱ）∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2．（ⅲ）∵OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，∵∠OEB＝∠OCA，∴2α+β＝α+2β，∴α＝β，∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°，∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．故答案为：60°．38．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．【答案】（1）AB∥CD，（2）∠BOD＝7α，（3）∠COE＝2∠EPC+∠B．【解答】证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，∴∠BCM＝3α，∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，∴AB∥CD．解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，∵AB∥OF，∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，∴∠FOD＝∠D，∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，∵AB∥PQ∥CD，∴∠QPC＝∠PCD＝α，∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，又∵EP平分∠OEB，∴∠COE＝2∠EPC+∠B．39．如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．（1）求证：GH∥MN；（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接写出∠GAC的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠ACD＝3∠GAC；（3）或（）°．【解答】解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，∵∠ACD＝∠D，∴AP∥BD，∴∠NBD＝∠NPA，∵∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC＝∠NPA，∴GH∥MN；（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，∵∠E+∠EAQ+∠AQE＝180°，∠EQA+∠AQD＝180°，∴∠AQD＝∠E+∠EAQ，∵AC∥BD，∴∠AQD＝∠BDQ，∴∠BDQ＝∠E+∠EAQ，∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，∴∠GAC＝2∠EAQ，∠CDB＝2∠BDQ，∴∠CDB＝2∠E+∠GAC，∵∠AED＝∠GAC，∠ACD＝∠CDB，∴∠ACD＝2∠GAC+∠GAC＝3∠GAC；（3）当K在直线GH下方时，设射线BF交GH于I，∵GH∥MN，∴∠AIB＝∠FBM，∵BF平分∠MBD，∴∠DBF＝∠FBM＝，∴∠AIB＝∠DBF，∵∠AIB+∠KAG＝∠AKB，∠AKB＝∠ACD，∴∠ACD＝∠DBF+∠KAG，∵∠KAG＝∠GAC，∠GAC＝∠NBD，∴∠GAC+＝∠ACD＝3∠GAC，即∠GAC+∠GAC＝3∠GAC，解得∠GAC＝．当K在直线GH上方时，同法可得∠GAC＝（）°．故答案为或（）°．40．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第9或27秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第0或18或36秒时，边MN恰好与射线OC垂直．（直接写出结果）；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；（2）∵∠OMN＝30°，∴∠N＝90°﹣30°＝60°，∵∠AOC＝60°，∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，此时旋转角为90°或270°，∵每秒顺时针旋转10°，∴时间为9或27，∵当ON⊥AB时，MN⊥OC，此时旋转角为0°或180°或360°，∵每秒顺时针旋转10°，∴时间为0或18或36；故答案为：9或27；0或18或36．（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．41．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD．各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB，……．（1）填空：过点P作PQ∥AB．∴∠APQ＝∠A，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CPQ＝∠C，∴∠APO+∠CPQ＝∠A+∠C，即∠APC＝∠A+∠C．（2）在图2中，猜测∠APC与∠A，∠C之间的数量关系，并完成证明．（3）善思小组提出：①如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的数量关系为α+β﹣γ＝180°.（直接填空）②如图4，AB∥CD，AF，CF分别平分∠BAP，∠DCP．则∠AFC与∠APC之间的数量关系为∠AFC＝∠APC．（直接填空）【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；（2）∠APC+∠A+∠C＝360°，证明过程见解答；（3）①α+β﹣γ＝180°，理由见答案；②∠AFC＝∠APC，证明过程见解答．【解答】解：（1）填空：过点P作PQ∥AB．∴∠APQ＝∠A，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CPQ＝∠C，∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，即∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；（2）∠APC+∠A+∠C＝360°；证明：过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图2所示：∴∠APQ＝∠PAM，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠APQ＝∠PCN，∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD＝180°+180°＝360°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°；（3）①α+β﹣γ＝180°；理由如下：过点M作MQ∥AB，如图3所示：∴α+∠QMA＝180°，∵MQ∥AB，AB∥CD，∴MQ∥CD，∴∠QMD＝γ，∵∠QMA+∠QMD＝β，∴α+β﹣γ＝180°，故答案为：α+β﹣γ＝180°；②∠AFC＝∠APC；证明：过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图4所示：∴∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF，∵AF平分∠BAP，∴∠BAF＝∠PAF，∴∠AFM＝∠BAP，∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，FM∥CD，∴∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，∵CF平分∠DCP，∴∠DCF＝∠PCF，∴∠CFM＝∠DCP，∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP），∴∠AFC＝∠APC．故答案为：∠AFC＝∠APC．42．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如图2，过点N作NK∥CD，∴KN∥CD∥AB，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，设∠4＝x，∠7＝y，∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x＝，∴x﹣y＝﹣y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分线，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴，故答案为．43．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE；（2）115°；（3）