2023-2024学年七年级数学下册 专题05 多项式乘多项式压轴四大类型（原卷版）

专题05多项式乘多项式压轴四大类型题型一：多项式乘积不含某项求字母的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题题型三：多项式乘多项式与图形面积问题题型四：多项式乘多项式与规律探究问题题型一：多项式乘积不含某项求字母的值【典例1】（2023春•江都区期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．（1）求m与n的值．（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式1-1】（2023秋•黑龙江期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（）A．0 B．2 C． D．﹣2【变式1-2】（2023秋•德惠市校级月考）如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．【变式1-3】（2022秋•洮北区期末）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题【典例2】（2023秋•镇赉县校级期末）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝．【变式3-1】（2022秋•城关区校级期末）先化简，再求值．（a2b﹣2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中，a＝0.5，b＝﹣1．【变式3-2】（2022秋•万州区校级期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．【变式3-3】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．题型三：多项式乘多项式与图形面积问题【典例3】（2022春•江北区期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是，S1﹣S2的值为；（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？【变式3-1】（2022春•乾县期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．（1）通道的面积是多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？【变式3-2】（2022春•中原区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：（1）正方形A，B的面积之和为．（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形个．（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．【变式3-3】（2023春）我们知道多项式的乘法，可以利用图形的面积进行解释，如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示．（1）请你写出图3所表示的一个等式：；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．题型四：多项式乘多项式与规律探究问题【典例4】（2023春•渠县校级期末）探究应用：（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C、（4﹣x）（16+4x+x2）D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝．【变式4-1】（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【变式4-2】（2023秋•宁津县期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（）A．128 B．256 C．512 D．10241．已知一个长方形，若它的长增加6cm，宽减少2cm，则面积保持不变；若它的长减少3cm，宽增加2cm，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（）A．12 B．24 C．36 D．722．暑假，小颖所在的生物小组参观了太原植物园，植物园共收集植物3000多种，来自五大洲的20多个国家．在“热带温室”馆中一块长方形土地被分成6块，种植着不同的花卉，六块地的长和宽如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的表示该长方形土地面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（）A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，74．计算：（3a+2b）（a﹣2b）＝．5．（2023春•滁州期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）若满足|S2﹣S1|＜n≤2023的整数n有且只有2个，则m的值是．6．（2023秋•博兴县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项（a+b）5的系数，此三角形称为“杨辉三角”．若根据“杨辉三角”的特征写出（a+b）10的展开式，则其第三项的系数为．7．如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．8．（2022秋•秦安县期中）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n的值．9．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）E．（1）图1中长方形的面积S1＝；图2中长方形的面积S2＝；比较S1S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数．10．（2022春•二七区校级期中）探究应用：（1）计算（a+3）（a2﹣3a+9）＝；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝．（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：（请用含a，b的字母表示）．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A．（a+3）（a2+3a+9）B．（m+2n）（4m2﹣2mn+n2）C．（5+x）（25﹣5x+x2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x+5y）（9x2﹣15xy+25y2）＝．11．（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．12．【阅读理解】在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7．【知识应用】关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题：（1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值；（2）若A﹣mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解；（3）某同学在计算A﹣2B时，把A﹣2B看成了2A﹣B，得到的结果是2x2﹣4x﹣3，求出A﹣2B的正确值．