北师大版七年级数学下册第4章《三角形》 期末复习卷（原卷 解析版）

北师大版七年级数学下册第4章《三角形》2021期末复习卷

一.选择题（共14小题）

1.下列说法正确的是（）

A.周长相等的两个三角形全等

B.如果三角形的三个内角满足NA：ZB：ZC=1：2：3.则这个三角形是直角三角形

C.从直找外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离

D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

2.如图，用直尺和圆规作图，以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB,OA于点、E、

D,再分别以点石、。为圆心，大于』石。的长为半径画弧，两弧交于点C,连接OC,则

2

C.AASD.HL

3.如图，中，NACB=9（）°,CO_L/W于点。，则下列结论不一定成立的是（）

4.如图，在△A4C中，4E平分N1MC,AQ_L3c于点D.NA3。的角平分线4尸所在直线

与射线人石相交于点G,若NA8C=3NC,且NG=20°,则NOF8的度数为（）

D'

B

A.50°B.55°C.60°D.65°

5.已知三条线段长分别为2c7〃、4cm.acm,若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形,

那么。的取值可以是（）

A.1anB.2cmC.4cmD.7cm

6.已知在△48C和△4'6C中，AB=A,B',AC=AfC',下列条件中，不一定能

得到△ABC且AVB'C'的是（）

A.BC=B'CB.NA=N/VC./C=NC'D.NB=NB'=

90°

7.如图，点尸，C在8E上，AC=DF,BF=EC,AB=DE,AC与。产相交于点G,则与2

NOFE相等的是（）

C.180,-ZFGCD.ZACE+ZB

8.如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比历的周长大3c7〃，BC=8cm,则AC

的长为（）

B.4cmC.5cmD.6cm

9.如图，点C,F,B,E在同一直线上，NC=NDFE=90°,添加下列条件，仍不能判

定AACB与△。尸E全等的是（)

AD

上

CFBE

A.NA=NO,AB=DEB.AC=DF,CF=BE

C.AB=DE,BC=EFD.NA=N。，ZABC=ZE

10.如图,48=12m,C4_LAB于点A,D3LA3于点3.且AC=4m,点P从8向A运动,

每分钟走l〃z,点。从6向。运动,每分钟走2相，P、Q两点同时出发，运动（）

分钟后，△CAP与△PQB全等.

A.2B.3C.4D.8

11.如图，在长方形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,点E是A8上的一点，旦AE=28E.点

P从点C出发，以2cmis的速度沿点C-。・A・E匀速运动，最终到达点E.设点P运

动时间为为若三角形尸CE的面积为18cm2,则，的值为（）

4___________________D

S

BC

7嗤B.9或2S或包

844

C.9或6D.9或6或包

444

12.打碎的一块三角形玻璃如图所示,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方

法是（)

D

16.在△ABC中，D,£分别是AC,8c的中点，点F在边A6上，4。与尸。相交于点G,

连接EG,若8尸=工8,则S^BFG=_______________.

32ABEG

17.如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合

部分（阴影部分）的面积为平方单位.

18.如图，在△ABC中，NE=30°，点E在AB上，点尸在上，且EF=12,CF=6,

。是AC的中点，若NEDF=90°,则AE=.

19.如图，。、E、F、G分别是△ABC的边4仄8c上的点，BD=AE,DG//EF//AC,若

S四边形。£FG=2（SaBOG+S四边形ACFE），PPJBDzDE=.

BGFC

20.如图，ZXABC的角平分线CD、8后相交于凡NA=90°,EG//BC,且CGJ_EG于G,

下列结论：①NCEG=2NOCB；②NOF8=45°；@ZADC=ZGCD；®CA平分/

BCG.其中正确的结论是（填序号）.

21.当〃?，〃是正实数，且满足根+〃=〃皿时，就称点P（相，卫）为“美好点”.已知点A

n

（1,8）与点B的坐标满足y=-x+〃，且点B是“美好点”，则△048的面积为.

22.【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足上a=K（人为定值）的P点形成的

PB

图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”

【问题解决】如图，在△ABC中，CB=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值

为•

23.如图，在△A8C中，NABC=NACB,AD.BD、CD分别平分△ABC的外角NE4C,

内角NA8C外角NACK以下结论：

@AD//BC,

②NAC8=NA。&

⑤ZADC十zTA8r>=9(T；

④NADB=45°—NCDB，其中正确的结论有♦

/E

0

B

C

三.解答题（共10小题）

24.如图，在△ABC中，ZABOZACB.

（1）尺规作图：在NA8C的内部作射线8Q,交AC于£,使得（不写

作法，保留作图痕迹）

（2）若（1）中AB=7,AC=13,求AE的长.

25.如图，在△A8C中，OEJ_A8与点E,O〃_LA。与点”，OE=OF.

（1）如图①，当。为3。中点时，试说明A8=AC

（2）如图②，当点O在△A4C内部，ROB=OC,试判断AB与AC的关

26.如图，点A、F、C、。在同一各直线上.AB//DE.AB=DE,AF=DC.求证：△A8C

4丛DEF.

27.如图，在△4BC中，AB=AC=3,/B=40°,点D在线段BC上运动（点。不与点8、

。重合），连接A。，作NAQE=40°,OE交线段AC于点E.

（1）当NBDA=110°时，ZEDC=,NAED=.

（2）线段。C的长度为何值时，△A8。g△QCE,请说明理由；

（3）在点。的运动过程中，△AOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求/4ZM的

度数；若不可以，请说明理由.

28.如图1,已知两条直线人8,CQ被直线线EF所截，分别交于点E,点尸，平分/

AEF交CD于息M,且NFEM=NFME.

(1)猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；

(2)若点G为直线CD上一动点(不与点M,尸重合)，EH平分/FEG交CD于月H,

过点"作"ALLEM于点N,设NEHN=a,ZEGF=p.

①如图2,当点G在射线FO上运动时，若0=56°,求a的度数；

②当点G在直线CO上运动时，请直接写出。和S的数曷关系.

AF//BE,交直线3。于点E

(1)如图1,若NA4C=74°,ZC=32°,则°；

(2)若(I)中的N8AC=a,NAC4=0(a>p),求NA尸8：(用a,B表示)；

(3)如图2,(2)中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出(用

a,P表示)

A

31.【问题背景】如图I,在三角形ABC中，直线石户经过点A且七尸〃8C,求证：ZBAC+

ZB+ZC=180°；

【尝试应用】如图2,直线/|与直线/2相交于点。，夹角为a,点4在点O右侧，点C

在/I上方，点A在0点左侧运动，点E在射线C。上运动（不与C、。重合）.

①当a=60°时，AG平分NE48,E/平分NAEC交直线AG于点G,求/AGE；

【拓展创新】②如图3,点E在线段CO上运动（不与C、。重合），ZAEF=nZAEC,

ZEAG=niZEA13,m+2n=1,EF交AG于点G,当n为何值时，AAGE不随的

变化而变化，并用含Q的代数式表示NAG石的值（写出解答过程）.当点E在线段CO

的延长线上时，直接写出NAGK=.

32.如图，等腰二角形A8C中，AB=AC,CD工AB于点D,NA=a.

(1)求出NOC8的大小(用含a的式子表示)；

(2)延长C。至点E,使CE=AC,连接AE并延长交CB的延长线于点F.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段£户与8c之间的数量关系，并证明.

g-----------

33.如图，线段A/3,点户在的下方，

(1)若丛=PB,在的上方作/VA_LAP,UA'A=AP,作BBLPB,且连

接Ab,取4E的中点O,连接△AOB,试判断aAOB的形状并证明.

(2)若以与P8不相等，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？给出证明.

AB

AB

北师大版七年级数学下册第4章《三角形》2021期末复习卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.下列说法正确的是（）

A.周长相等的两个三角形全等

B.如果三角形的三个内角满足NA：NB：ZC=1：2：3.则这个三角形是直角三角形

C.从直找外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离

D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【分析】直接利用全等三角形的性质，直角三角形的判定，点到直线的距离的定义以及

同位角的性质进行判定.

【解答】解：A、周长相等的两个三角形，不一定全等，说法错误，不符合题意；

B.三角形三个内角的比是1：2：3,则这个三角形的最大内角的度数是一X1800

1+2+3

=90°,即这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；

C.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到该直线的距离，说法错误，不合

题意；

D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题.两直线不平行，没有这个性质.不

符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是直角三角形的判定和性质，掌握直角三角形的判定方法、三角形

内角和定理是解题的关键.

2.如图，用直尺和圆规作图，以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交04,OA于点、E、

D,再分别以点区。为圆心，大于』七。的长为半径画弧，两弧交于点C,连接OC,则

2

△ODC0OEC的理由是（)

B

E

A.SSSB.SASC.AASD.HL

【分析】连接EC,CD.根据全等三角形的判定方法解决问题即可.

在△O。。和△OEC中:

OE=OD

<OC=OC，

EC=DC

:.△0C8X0EC(SSS).

故选：A.

【点评】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

3.如图，RtAABC中，ZACB=90°,CD_LA8于点。，则下列结论不一定成立的是（）

C.Z1=Z4D.Zl=30°

【分析】根据垂直得出NADC=N8QC=90°,再根据直角三角形的性质逐个判断即可.

【解答】解:A.VZACB=90<,,

••・N1+N2=9O0,故本选项不符合题意：

B.'CCDLAB,

/.ZADC=90°,

/.Zl+Z3=90°,

VZ1+Z2=9O",

・・・N2=N3,故本选项不符合题意;

C.VCD14B,

AZBDC=90°，

，N2+N4=90°,

VZ1+Z2=9O°,

AZ1=Z4,故本选项不符合题意；

D.根据己知条件不能推出Nl=300,故本选项符合题意；

故诜：D.

【点评】本题考查了垂直定义和直角三角形的性质，注意：直角三角形的两锐角互余.

4.如图，在△ABC中，AE平分NB4C,4OJ_8C于点。.NABD的角平分线8尸所在直线

与射线AE相交于点G,若N48C=3NC,且NG=20°,则NQF8的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【分析】由题意4E平分NBA。，B广平分/AB。，推出NC4E=/84E,/ABF=/DBF,

设ZCAE=ZSAE=.r,设/。=y,ZABC=3yf想办法用含义和y的代数式表示N/Wb

和NOB/：即可解决问题.

【解答】解：如图:

•・・AE平分NBAC,8/平分NAB。，

：.^CAE=ZBAE,Nl=/2,

设NCAE=/BAE=x,ZC=v，NA8C=3y,

由外角的性质得：

Z\=ZBAE+ZG=x+20,Z2=AZABD=A(2x+y)=x+2y,

22'2

：.x+20=x+ly,解得y=40°,

2

AZ1=Z2=A(180°-ZABC)=Ax(180°-120°)=30°,

22

・"DFB=60°.

故选：C.

【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利

用参数解决问题，属于中考常考题型.

5.已知三条线段长分别为2“以45八次〃?，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形,

那么。的取值可以是()

A.\anB.2cmC.4cmD.7cm

【分析】根据三角形的三边关系确定。的取值范围即可求解.

【解答】解：依题意有4・2VaV4+2,

解得：2<〃<6.

只有选项。在范围内.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能

否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条

线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

6.已知在/XABC和AA'8'C中，AB=A,B1,AC=ArC,下列条件中，不一定能

得到B'C的是()

A.BC=B,CB.NA=N4'C.NC=NC'D.N8=/B'=

90°

【分析】根据全等三角形的判定定理进行推理.

【解答】解：A、由4,，AC=A'C',BC=B'C'可以判定△ABCg/XA'B'

C(SSS),不符合题意.

B、由4B=A'夕，AC=AfC1,NA=N4'可以判定△ABCgZXA'B'C(SAS),

不符合题意.

C、由AB=A'B',AC=A'C',ZC=ZC,不可以判定△ABC之△?!'BrC(SSA),

符合题意.

D、由A3=A'B'，AC=ArC,NB=NB'=90°可以判定RtZ\ABCgRtZ\A'B'

C(HL),不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、S45、

ASA、AAS.

注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边•角对应相等时，角必须是两边的夹角.

7.如图，点凡C在BE上,AC=DF,BF=EC,AB=DE,4C与相交于点G,贝U与2

NQFE相等的是()

【分析】根据等式的性质得出4C=ER进而利用SSS证明△48C与△。£尸全等，利用

全等三角形的性质得出NAC8=NObE,最后利用三角形内角和解答.

【解答］解：:"=EC,

:・BF+FC=EC+FC,

：.BC=EF,

在△A8C与△£)&/中,

(AC=DF

\AB=DE>

IBC=EF

:.△ABC94DEF(SSS),

:./ACB=/DFE,

A2ZDF£=180°-ZFGC,

故选：C.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：55S；SAS；

4SA；AAS；以及”L(直角三角形的判定方法).

8.如图，CM是△48C的中线，△BCM的周长比△人(7例的周长大3。〃，BC=Scm,则AC

的长为()

A.3anB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可.

【解答】解：・・・CM为△相€?的边上的中线，

:△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,

J(BC+BM+CM)-CAC+AM+CM)=3。〃,

BC-AC=3cm,

*：BC=^cm,

.\AC=5cm,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫

做三角形的中线是此题的关键.

9.如图，点C,F,B,E在同一直线上，ZC=ZDF£=90°,添加下列条件，仍不能判

定△AC8与△QFE全等的是()

D

A.ZA=ZD,AB=DEB.AC=DF,CF=BE

C.AB=DE,BC=EFD.NA=N。，/ABC=/E

【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可.

【解答】解：A、VZA=ZD,AB=DE,NC=NOFE=90°,根据A4S判定△AC8与

△。在全等，不符合题意；

B、•:CF=BE,可得，BC=EF,AC=DF,BC=EF,NC=NDFE=90°,根据SIS判

定△ACB与△OFE全等，不符合题意；

C、•；AB=DE,BC=EF,NC=NOFE=90°,根据aL判断RtZ\AC8与全

等，不符合题意：

。、VZA=ZD,ZABC=ZE,NC=NOFE=90。，由AA4不能判定△ACB与△。广E

全等，符合题意；

故选：。.

【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS.SAS、ASA.AAS.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

10.如图，AB=]2m,C4_L43于点A,于点8且4C=4加，点。从8向A运动，

每分钟走1〃】，点。从8向。运动，每分钟走2〃?，P、Q两点同时出发，运动（）

分钟后，△CAP与△PQB全等.

A.2B.3C.4D.8

【分析】设运动x分钟后△CA尸与△PQB全等；则EP=«〃，BQ=2xm,(12-

x)，n,分两种情况：①若BP=AC,则x=4,此时AP=8Q,△CA尸丝△PBQ；②若BP

=AP,则12・x=x,得出x=6,8Q=12WAC,即可得出结果.

【解答】解：•・・C4_LA8于A,DB±AB于B,

：.ZA=ZI3=9()°,

设运动x分钟后△C4P与4PQB全等；

贝lj8P=.xm,BQ=2xnv贝lj4P=(12-x)m,

分两种情况：

①若B尸=4C,则4=4,

，AP=12・4=8,8Q=8,AP=BQ,

：,/\CAP@4PBQ；

②若则12-x=x,

解得：x=6,BQ=I2WAC,

此时△CAP与△PQ8不全等；

综上所述：运动4分钟后△C4P与△PQB全等；

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要

进行分类讨论.

11.如图，在长方形48C/)中，AB=6cm,8C=8c、m,点E是A8上的一点，且4七=28£点

P从点C出发，以2a〃/s的速度沿点C-O-A-石匀速运动，最终到达点£设点P运

动时间为以若三角形PCE的面枳为18切尸，则/的值为()

B.9或-19或&

844

C.9或6D.a或6或巫

444

【分析】分下列三种情况讨论，如图1,当点P在C。上，即0V/W3时，根据三角形的

面积公式建立方程求出其解即可；如图2,当点P在,4力上，即3<fW7时，由S.w=S

四边形八反?。-5/^。。-5乙幺后建立方程求出其解即可；如图3,当点尸在4E上，即7VW9

时.，由S"CE=1PE・BC=18建立方程求出其解即可.

2

【解答】解：如图1,当点P在CO上，即0V/W3时，

•・•四边形A8CQ是矩形，

.\A8=CD=6cm,AD=BC=Scm.

*：CP=2t(cm),

:.SAPC£=—X2/X8=18,

2

•，一9

4

如图2,当点。在A£>上，即3VrW7时，

*：AE=2BE,

：.AE=^AB=4.

3

VDP=2z-6,AP=8-(2/-6)=14-2/.

ASAPCE=—X(4+6)X8-A(2/-6)X6-A(14-2z)X4=18,

222

解得：/=6；

当点尸在AE上,即7UW9时，

PE=18-2t.

：.SMPE=­(18-2/)X8=18,

2

解得：f=2L<7(舍去).

4

综上所述，当/=9或6时AAPE的面积会等于18.

4

故选：C.

【点评】本题考查了矩形性质的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用,

动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解.

12.打碎的一块三角形玻璃如图所小，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方

带②®去C.带③④去D.带②④去

【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案.

【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意;

8、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合

题意:

C、带③©去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合

题意;

。、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合

题意;

故选:A.

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方

法熟练掌握.

13.如图，在和RtZXA尸。中，ZE=ZF=90<>,BE=CF,BE与AC相交于点M,

与C尸相交于点。，与C尸相交于点N,ZEAC=^FAB.有下列结论：①NB=NC；

②CD=DN,,③CM=8N；④△ACNg^ABM.其中正确结论的个数是（）

疗

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】只要证明AABE四△AC/，△ACNg^ABM即可判断.

【解答】解：:/£4。=/用8,

：,ZEAB=ZCAF,

在△ABE和△ACR

rZE=ZF

<NEAB=NFAC，

BE=CF

:、MABaXACFCAAS）,

AZB=ZC.AE=AF.

由△AEBgZ\AFC知：N8=NC,AC=AB；

在△ACN和△A8M,

fZBAC=ZCAB

（CA=BA，

lZB=ZC

・二△ACN@△ABM（ASA）（故④正确）；

:・CM=BN，

由于条件不足，无法证得②CQ=OM

综上所述，正确的结论是①③④，共有3个.

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用两次全等解决问题，属于中考

常考题型.

14.将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）

如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（）

①OE平分NA。。：

②NA"=N8OO；

③NAOC-NCE4=15°；

@ZCOB+ZAOD=\SQ°.

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据同角的余角相等可得NAOC=NBOD；根据角的和差关系可得NCOB+N

400=180；根据三角形的内角和即可得出NAOC-NCE4=15°.

【解答】解：・・・NOOC=NAO8=90°,

/.ZDOC-ZBOC=ZAOB-4COB,

即故②正确：

VZAOB=ZCOD=W,

•••NCO8+NAOO=NAOB+NCOO=180°,故④正确；

如图，A8与OC交于点P,

•；NCPE=NAPO,ZC=45°,N4=30°,ZCEA+ZCPE+ZC=Z4OC+ZAPO+ZA

=180°,

：.ZAOC-ZCEA=\5°.故③正确；

没有条件能证明OE平分NAOO,故①错误.

故选：D.

【点评】本题考查的是余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及

三角形内角和是180°是解答此题的关键.

二.填空题（共9小题）

15.如图，在四边形A8CO中，ZABC=\20°,AB=夷,BC=4,点、E,尸分别是A3,

CD的三等分点，连接BE,8人所，若四边形48CD的面积9,则炉的面积是曲.

—3—

D

【分析】过点A作AG_L/?C交AC延长线于点G,连接4。、AC,求得S“5C、的

值，再证明△DEF〜△。AF,利用面积比的关系得到△。日7的面积，再利用同高的两个

三角形面积比为底之比得到△A8E和△B/7C面积之和，最后利用S^BEF=S四边形A8CQ-5

△DEF-(SAABE+S^BFC)关系求得结果.

【解答】解：过点A作AG_L8C交8C延长线于点G连接8。、AC,如图.

VZABC=\20°,

/.ZABG=60°.

，4G=sin60°XA8=3.

2

=3

/.SA^c=yAG-BC-

S^ACD=S四边形A8co_S小BC=9■3=6.

上，ZADC=ZADC,

ADDC3

:ADEF〜ADAF.

.・.&2型=心)2=2

SADAC39

ASAD£F=—.

3

•AE1

人TJ••———,

AD3

•.^AABE^^△ABD，同理可得：SaFC总SABDC'

S^ABE+S^BFC=^-(S^ABD+S^BDC)=工，5四边形48c'0=工X9=3，

333

:.S^BEF=S四边形ABCD-SdDEF-(S^ABE+S^BFC')

=9一2・3

3

-_-10

3

故答案为：

3

D

【点评】本题考查了三角形面积的计算，面积的关系，相似三角形的判定与性质，面积

比等于相似比的平方，三角函数，常见辅助线的作法，本题正确作出辅助线是解题的关

键.

16.在△48C中，D,E分别是AC,8C的中点，点尸在边AB上，BD与/C相交于点G,

连接EG,若则S^BFG=_2_.

3S^BEG3

【分析】取A尸的中点H,连接。H,可得G为8Z）的中点.通过相似和等底等高的三角

形的面积相等的关系，分别得出和S/\8£G与S"8c的关系，结论可求.

【解答】解：取A尸的中点〃，连接。”，如图：

:.BF=FH=AH.

•・・。为AC的中点，，为人尸的中点,

：.DH//FC.

,:BF=FH,

••・G为8。的中点.

•IE为BC的中点，

：.EG//AC.

:.ABGES^BDC.

.SABEGZBE2_1

，-（）X

,SABCDBC-1

bABEG_4D/kBCD，

•••。为AC的中点，

•cAc

**^ABCD^^AABC,

**bABEG^^AABC,

设S^BFG=a,则S“w）=6a.

•・•。为AC的中点.

•Q1

,,bAABD_2'△ABU

SMBC=12A.

,Q工

**bABFG_125△ABU

.”BFG工“ABC二2

^ABEG-Lq3

gbAABC

故答案为2.

3

【点评】本题主要考查了三角形的面积，涉及相似三角形面积比等于相似比的平方，等

底等高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比等知识.两个三角形的

面积比值问题，可以借助一个参照三角形.

17.如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合

部分（阴影部分）的面积为❷平方单位.

一4一

【分析】如图用字母表示各顶点，根据图形和题意可以推出△OB/gZSOC”,所以重合

部分的面积为△08C的面积

【解答】解：四边形A8CD是正方形，四边形EO/G是矩形，。是正方形的中心.

•・•四边形ABCO是正方形，四边形EOFG是矩形.

分别连接0C,

；・NOBJ=NOCH=45°,OB=OC,/BOJ=/C0H=9G°-ABOH,

:.△OBJSXOCH(ASA).

又•・•正方形的边长都为3,

・•・

2

••・四边形OJHD的面积=SaQ/3+SaOOH,

；・四边形OGHD的面积=54。6力+5408〃=5408。，

・•・四边形Q/BH的面积=2

4

故答案为：9.

4

【点评】本题主要考查了正方形的性质定理、三角形的面积、仝等三角形的判定和性质.解

题关键在于找到全等三角形由不规则图形变成能直接计算的.

18.如图，在△48c中，NB=30°,点E在AB上,点F在BC上,且石尸=12,C尸=6,

。是AC的中点，若NEDF=90°,则AE=」万二2加

【分析】延长FO至点〃，使得FO=O〃，连接人从过，作〃G_LA/3,交8人的延长线

于点G,证明△。/1”丝△OC产(SAS),求得由垂直平分线的性质求得月从再通过

解直角三角形求得AG,由勾股定理求得EG,最后由线段和差求得结果.

【解答】解：延长FO至点H,使得FO=。"，连接AH,过“作“G_LAB,交84的延

长线于也G,

•・・。是4。的中点，

：.DA=DC,

在△£>?1〃和△QC”中，

DH=DF

<NADH=NCDF，

DA=DC

:•丛DAH9丛DCF(5/15),

：.AH=CF=6,/DAH=/C,

J.AH//BC,

・・・NHAG=N8=3(T.

.・.HG=2A"=3,AG=A”・COS30°=3“，

2

•:DE1DF,DH=DF,

：.EH=EF=\2,

'EG=JEH2-HG?=J122-3?=36，

：,AE=EG-人G=3，I^W^.

故答案为：36-3代.

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形，线段垂直平分线的

性质，勾股定理，关键是倍长中线构造全等三角形和构造直角三角形.

19.如图，。、E、F、G分别是△ABC的边A3、8c上的点，BD=AE,DG//EF//AC,若

S四边形OE”G=2(S“DG+S四边形AC/花)，则BD：DE=1：4.

【分析】设BD=a,DE=b,S/、BDG=m,利用平行得到aBOG〜△BE/SBAC,再由相

似三角形面积的比等于相似比的平方，用，〃表示出S四边形。以p,Sm^ACFE,再利用已知

的关系式，得出关于。，匕的方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：设8。=〃，DE=b,SABDG=HI.

-：DG//EF.

:.△BDGsgEF.

工也些;（坨）2=（4）2.

,△BEFBEa+b

*,*SABEF=（a^）2lc，

s四边形DEFG;S△电F-SABDG=（呼）'-k

,:DG〃AC,

:.丛BDGs丛BAC.

...也BDG.=（殁）2=（=_）2.

SABAC附）％+b）

•c_/2a+b_s2

・・S2kBAC-（^―）皿.

:.S四边形ACFE=SaBAC-S^BEF=（2a+b）（Atk）:

aa

5四边形DEFG=2（S^BDG+S四边形ACFE），

2

-（^）m-n=2[（2）211rH）2小小

aaa

/.cT+lab+b1-a2=2（^a2+4ah+b2-a2-lab-Z）2+«2）.

/.Sa2+2ab-b2=0.

22

解得：tf=-2b±7（2b）-4X8X（-b）=z2±6

2X816

.•・。=工匕或。=・4（不合题意，舍去）.

4C2

4

即BD=1-DE.

4

：,BD：DE=\：4.

故答案为1：4.

【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形的面积.由相似三角形的面积比等于相

似比的平方求出三角形的面枳，再用两个三角形的面积差表示四边形的面积是解题的关

键.

20.如图，ZXABC的角平分线CD、8后相交于凡NA=90°,EG//BC,且CGJ_EG于G,

下列结论：①NCEG=2NOCB；②NOF8=45°；@ZADC=ZGCD；®CA平分/

BCG.其中正确的结论是一①②③（填序号）.

【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解.

【解答】解：YEG//BC,且CG_LEG于G,

••・N8CG+NG=180°,

VZG=90°,

AZBCG=180°-ZG=90°,

•・・NGEC+NGCE=90°,ZBC4+ZGCF=90o,

:・/GEC=/BCA,

TC。平分N3C4,

，ZGEC=NBCA=2NDCB,

•••①正确.

VCD,BE平分NBCA,NABC,

；・NBFD=NBCF+NCBF=Z(NBCA+NABC)=45°,

2

・••②正确.

VZGCE+ZACB=90°,NABC+NACB=90°,

：.ZGCE=ZABC,

*/ZGCD=ZGCE+ZACD=ZABC+ZACD,

ZADC=ZABC+ZBCD,

:.ZADC=ZGCD,

，③正确.

•••NGCE+/4C8=90°,

，NGCE与NACB互余，

・•.④错误.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查平行线的性质与三角形内角和及外角定理，解题关键是熟练掌握以上

性质及定理.

21.当小，〃是正实数，且满足机+〃=〃?〃时，就称点P（〃z,皿）为“美好点”.己知点A

n

（1,8）与点6的坐标满足），=-1+4且点5是“美好点”，则△0A。的面积为」

【分析】首先根据条件求出点8的坐标，利用割补法求出图形面积.

【解答】解：将点A（1,8）代入y=-x+A

得b=9,

则直线解析式为：尸-x+9,

设点5坐标为（x,5），

二点B满足直线y=-1+9,

:.B（.x,・/+9）,

♦・•点8是“美好点”，

r

m=x

•***m_①，

—=-x+9

n

〃，加，〃是正实数，

.•.工1+1=加②，

n

将②代入①得：，血"，

m-l=-x+9

解得x=5,

・••点8坐标为（5,4）：

.••△OA8的面积=5X8・Ax1X8-2X4X4--1x5X4=18.

222

答：△048的面积为18.

【点评】本题考查了完美点的新定义及应用和平面直角坐标系中图形面积求解，题目设

计新颖，既考查学生理解能力，又考查学生利用所学知识解决平面直角坐标系图形面积

求解问题.

22.【新知探究】新定义：平面内两定点人，B,所有满足铝=4a为定值）的P点形成的

PB

图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”

【问题解决】如图，在△ABC中，。=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为西

—3—

【分析】以A为顶点，AC为边，在AABC外部作NC4P=NABC,AP与8c的延长线

交于点P,证明△APCSZ\8%,由相似三角形的性质可得BP=2AP,CP=1AP,从而

2

求出BP和CP,即可求出点A的运动轨迹，再找出距离8C最远的A点的位置即可

求解.

【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△A3C外部作NCAP=NA3C,AP与3c的延

长线交于点P,

*：ZCAP=ZABC,ZBPA=ZAPC,AB=2AC,

：.MAPSXBPh

APy.i

BP'AP"AB"2)

：.BP=2AP,CP=^AP,

2

•:RP-CP=BC=4,

：,2AP-X\P=4,解得：

23

•,.8P=」g,CP=3，即点P为定点，

33

・••点A的轨迹为以点P为圆心，3为半径的圆上，如图，过点P作的垂线，交圆P

3

与点4,此时点4到8C的距离最大，即△A3C的面积最大，

S„ABC=—BC*A1P=Ax4XB=JA.

2233

故答案为：凶.

3

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，确定点的运动轨迹，熟练

掌握三角形的判定和性质以及三角形的面积公式是解题的关键.

23.如图，在△A8C中，/ABC=NACB,AD.BD、CD分别平分△A8C的外角NE4C,

内角N48C,外角乙ACR以下结论:

@AD//BC,

®ZACB=ZADB：

®ZADC+ZAI3D=W：

④NADB=45—ZCDB,其中正确的结论有_

2

【分析】根据角平分线定义得出NA8C=2/ABQ=2NO8C,ZEAC=2ZEAD,ZACF

=2ZDCF,根据三角形的内角和定理得出NBAC+/ABC+NAC8=180°,根据三角形

外角性质得出NACr=NA4C+N84C,ZEAC=ZABC+ZACB,根据己知结论逐步推理，

即可判断各项.

【解答】解：①・・・人。平分NE4C,

：.ZEAC=2ZEAD,

ZABC=ZACB,

：.ZEAD=ZABC,

：.AD//BC,

故①正确；

@'：AD//BC,

，NADB=NDBC,

丁瓦)平分NA8C,ZABC=ZACB,

/.ZABC=ZACB=2ZDBC,

/.ZACB=2ZADB,

故②错误；

③在△AOC中，ZADC+ZCAD+ZACD=\SO0,

VCD平分AABC的外角ZACF,

JZACD=ZDCF,

*：AD//BC,

/.ZADC=ZDCF,