中考数学复习专题5三角形、四边形与图形变换综合课件

专题五三角形、四边形与图形变换综合例：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点，AO⊥BC于点O，交CD于点E，DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M.[2023福建改编]基础问：(1)求证：△FDC是等腰直角三角形；证明：由图形旋转的特征可知：DF＝DC，∠FDC＝90°，∴△FDC是等腰直角三角形.(1)证明等腰直角三角形：方法一找“直角＋两腰相等”方法二找“直角、45°角”方法三找“两个45°角”方法四找“直角＋三线合一”方法五找“三线合一、斜边中线是斜边的一半”(2)求证：∠M＝∠ADE；证明：∵∠BAC＝90°，∴∠M＋∠ADM＝90°.∵∠CDF＝90°，∴∠CDM＝180°－90°＝90°，∴∠ADE＋∠ADM＝90°，∴∠M＝∠ADE.(2)证明不在同一个三角形中的两角相等：找到角所在的三角形，首选内外角的关系等量转化，再尝试证明全等或相似.(3)求证：△ADE∽△FMC；

(3)设问之间往往是循序渐进的，可结合前(1)(2)问得到两组角分别相等，从而证明△ADE∽△FMC.能力问：(4)如图②，设DF与BC交于点I，求证：△BIF∽△DIC；证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠DBI＝45°，∴∠DBI＝∠CFI＝45°.又∵∠BID＝∠FIC，

(4)观察相似三角形的位置关系，可发现常见的斜八字模型.此模型解题的关键是通过两角对应相等先证明其中两个三角形相似，得到的比例式用于证明另外两个三角形相似.斜八字型和手拉手模型，均可利用上述方法，将边重组得到两组相似三角形.(5)如图③，求∠ABF的度数；解：由(4)知△BIF∽△DIC，∴∠IBF＝∠IDC.又∵∠IDC＝90°，∴∠IBF＝90°.∵∠ABC＝45°，∠ABF＝∠ABC＋∠IBF，∴∠ABF＝135°.(5)求角度时，可先利用几何性质整体求值，行不通时，再拆成和差进行转化，结合前4问可得∠ABC和∠FBI的大小，求和即可.压轴问：(6)如图④，若N是AF的中点.求证：ND＝NO.证明：如图，延长ON交BF于点T，连接DT，DO，∵AO⊥BC，∴∠BOA＝90°，∴∠FBI＝∠BOA＝90°，∴BF∥AO，∴∠FTN＝∠AON.∵N是AF的中点，∴AN＝NF.又∵∠TNF＝∠ONA，∴△TNF≌△ONA，∴NT＝NO，FT＝AO.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，∴AO＝CO，∴FT＝CO.由(4)知，△BIF∽△DIC，∴∠DFT＝∠DCO.∵DF＝DC，∴△DFT≌△DCO，

(6)压轴问思维路径：已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.(1)如图①，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；证明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC.∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四边形ABDC为平行四边形.∵AB＝AC，∴平行四边形ABDC为菱形.(2)如图②，将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC)，BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；解：∠ACE＋∠EFC＝180°.证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC.由(1)可知∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠DEC.∵∠ACB＋∠ACF＝∠DEC＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF.∵∠CEF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACE＋∠EFC＝180°.(3)如图③，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC)，若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数.[2022福建12分]

∴BM＝DB，∠ABM＝∠CDB，∴∠BMD＝∠BDM.∵∠BMD＝∠BAM＋∠MBA，∴∠ADB＝∠BCD＋∠BDC.设∠BCD＝