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人教B版

数学

必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切第2课时两角和与差的正切课标定位素养阐释1.能推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形.3.能利用公式进行简单的求值、化简等.4.培养逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学两角和与差的正切1.tan(α+β),tan(α-β)能否用tanα,tanβ表示?提示:能.2.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.(

)√×√×合作探究释疑解惑探究一给角求值问题【例1】

求下列各式的值:分析:(1)将特殊值转化为特殊角的正切,逆用公式求解;(2)利用tan(α+β)的变形公式求解.在同一式子中,同时出现tan

α+tan

β(或tan

α-tan

β)和tan

αtan

β,可应用tan(α+β)(或tan(α-β))的变形公式求解.【变式训练1】

求下列各式的值:探究二给值求值问题在例2的条件下,求tanβ的值.处理好两种变换是解决给值求值问题的关键:(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式间的联系实现求值.(2)角的变换:从已知角间的关系入手,分析已知角和待求角间的关系,如用α=β-(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等关系,把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.探究三给值求角问题【例3】

已知tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两根,且,求α+β的值.分析:先由条件求得tan(α+β)的值,再根据角的取值范围求α+β的值.给值求角问题的求解步骤:(1)求出所求角的一种合适的三角函数值;(2)求出所求角的取值范围;(3)由(1)(2)得到角的具体值.【变式训练3】

(1)已知tanθ=,tanφ=,且θ,φ都是锐角,求θ+φ;(2)已知tanα=2,tanβ=3,且α,β都是锐角,求α+β.易错辨析忽视隐含条件致错答案:B以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?提示:由根与系数的关系知,tan

α+tan

β=-3<0,tan

αtan

β=4>0,则必有tan

α<0,tan

β<0.以上解法忽视了这一点导致α+β的取值范围扩大,产生增解.答案:D在求角时,若在某取值范围内与所求函数的函数值相对应的角不唯一,则需根据条件缩小角的取值范围或改求另外一种三角函数值.【变式训练】

已知0≤α<β<γ<2π,且sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求β-α的值.随堂练习答案:C2.已知tan(π+α)=4,tan(π-β)=-3,则tan(α+β)=(

)解析:∵tan(π+α)=4,∴tan

α=4.∵tan(π-β)=-3,∴tan

β=3,答案:B答案:AC4.若tan(α+β)=4,tanα+tanβ=2,则tanαtanβ=

.

解析:∵tan

α+t

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