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文档简介
小专题之二次函数的最值问题二次函数最值问题可以简单分为三类：(1)定轴定区间
(2)动轴定区间
(3)定轴动区间讨论二次函数最值问题的核心在于讨论对称轴与区间的位置关系，其本质是讨论二次函数在区间上的单调性，函数的最值通过分析函数的单调性确定.接下来我们主要讨论动轴定区间和定轴动区间的最值问题.定轴定区间例1.求函数
在下列区间上的最值.(1)；(2).解：因为
的对称轴为
，(1)当
时，
，.(2)当
时，
，.1.求函数
在下列区间上的最值.(1)；(2).解：因为
的对称轴为
，(1)当
时，
，.(2)当
时，
，.分析：先来求最小值，因为对称轴x=a是不确定的，有可能位于0的左侧，有可能位于0和2之间，也有可能位于2的右侧，对称轴的位置不同，最小值也会不同，所以需要分类讨论.动轴定区间例2.求函数
在区间
上的最值.解：抛物线开口向上，对称轴是
，①当
时，
在
上递增，所以
；②当
时，
在
上递减，在
上递增.所以
；③当
时，
在
上递减，所以
.综上：.分析：接下来我们求最大值，因为抛物线开口向上，所以最大值不可能出现在对称轴处，只有可能在区间端点处取得，我们只需要判断端点与对称轴的距离即可.解：抛物线开口向上，对称轴是
，区间中点是
，①当
时，端点2距离对称轴更远，所以.②当
时，端点0距离对称轴更远，所以.综上：.分析：对称轴
x=
-a是个动直线，有可能位于-1的左侧，有可能位于-1和2之间，也有可能位于2的右侧.当对称轴处于不同的位置，最大值也不相同，因此需要分类讨论.2.求函数
的最大值.解：对称轴
，图象开口向下①当
，即
时，
在
上单调递减，此时，
；②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，此时，
；③当
，即
时，
在
上单调递增，此时，
；综上：通过以上两题的求解过程，我们可以得出这样的结论：☞开口向上求最小值(开口向下求最大值)，分对称轴在区间的左、内、右三种情况讨论☞开口向上求最大值(开口向下求最小值)，分区间中点与左右端点的远近(区间中点与对称轴的大小)两种情况讨论.尽管情况较多，但不难发现：“二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取得”.这个结论是解决这类问题的根本.例3.求函数
的最大值.分析：对称轴x=1是个定直线，函数开口向上，最大值只有可能在端点处取到，因此需要对区间中点与对称轴大小进行分类讨论.解：对称轴
，图象开口向上①当
，即
时，定轴动区间②当
，即
时，综上：3.求函数
在区间
上的最大值.分析：对称轴x=2是个定直线，函数开口向下，最大值有可能在端点处取到，也有可能在对称轴取得，因此需要对区间端点与对称轴大小进行分类讨论.解：对称轴
，图象开口向下①当
，即
时，
在
上单调递增，此时，
；②当
，即
时，
在
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