2024高考数学二轮复习重难点专题《函数零点问题七大题型》题型突破及解析

重难点专题06函数零点问题七大题型汇总

题型1分段函数的零点.................................................1

题型2唯一零点问题...................................................2

题型3指对嘉函数零点.................................................3

题型4含有绝对值函数的零点..........................................4

题型5复合函数零点...................................................5

题型6函数中的整数问题...............................................6

题型7三角函数的零点.................................................6

题型1分段函数的零点

【例题1】（2023•贵州贵阳•校联考三模）已知函数

JCOS（五X-兀3）,

"幻2a,其中若在区间9，8]内恰好有4

个零点，则a的取值范围是（）

A.修CB.C.修CD.IP5I

【变式1-1]1.（2023•海南海口・海南华侨中学校考一模）关于函数，

/T讣_P°8式片，0-2。Wx《3・5

A7"Ibrx》3.5其中⑦b£人给出下列四个结论：

甲：5是该函数的零点.

乙：4是该函数的零点.

丙：该函数的所有零点之积为0.

T：方程Hx）二7有两个不等的实根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【变式1-112.（2023•天津滨海新・天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）

设*x）是定义在R上的函数，若巴“二武力+/是奇函数.供“二双力-」是偶函

J£[。刀

数，函数爪）I备（x-7）,xea,・8）,则下列说法正确的个数有（）

（1）当不£[2司时，烈力二

⑵g（芋）e（FW）

a

（3）若烈M则实数m的最小值为=

（4）若A（x）=g（x）-Hx-Z有三个零点，则实数

A.1个B.2个C.3人D.4个

【变式1-1]3.（2023•天津武清・天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）

f（x）s｛+4a-+,x<a

设aG/,函数一1/■缶》妾•□与函数g⑨=ar在区间

【。・8）内恰有3个零点，则a的取值范围是.

[变式1T]4.（2023•福建厦门・统考模拟预测）函数

力幻x学必当a二】时，代力的零点个数为；若火力

恰有4个零点，贝口的取值范围是

题型2唯一零点问题

【例题2]（2023秋•重庆-高三统考阶段练习）在数列｛/｝中，七二】,且函数

5

Hx）-rfa^sinx-（2asi3）xi3的导函数有唯一零点，则土的值为

（）.

A.1021B.1022C.1023D.1024

【变式2-1]1.（2023-全国-高三专题练习）已知函数4力，力行）分别是定

义在R上的偶函数和奇函数，且g/+力⑨=『修，若函数

=V-/-24有唯一零点，则正实数▲的值为（）

A.3B.3C.1D.2

【变式2-1】2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数Hx）+

（3£/）,若函数立力有唯一零点，则a的取值范围为（）

A.（-8,SB.（-叼4UE*8）

C.（-8,。U[lt/8）D.（-8,7|UU,/8）

【变式27】3.（2023•全国•高三专题练习）己知函数

-”有唯一零点，则负实数贮________

_J_J

A.-ZB.C.一】D..减一】

【变式2-114.（2021春•洛阳期末）存在实数石使得函数

尤＞）=？有唯一零点，则实数加勺取值范围是（）.

A.（一叱4B.（-g,ac.M夕D.也2

题型3指对幕函数零点

【例题3]（2023秋・重庆万州・高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）

定义在R上的偶函数«力满足川2-外二当xE[0,0时，f[l）-诉尸,

若在区间x£也7。]内，函数式X）二“X）仇＞①有£个零点，则实数万的

取值范围是（）

A.后，9）B.（〃£）

C.修'*）D.*

【变式3-1】1.（2021秋•绍兴期末）已知名瓦二三4a+b+c=0,若

3尔+四"c=。缶W0的两个实根是毛，孙，则底的最小值是

(

V

A.TB."C.百D.乘

【变式3-1]2.（2023-陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知

a八,若关于x的方程三1-Hn'A.二G存在正零点，则实数▲的取值

范围为（）

A.L8MB.E+8)c.(-8,JD.I?+8]

【变式3-1]3.（2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函

数*力=1-alru有两个大于1的零点，则如勺取值范围可以是（）

A.（。力B.（，司

C.卜4TD.冽

【变式3-1]4.（多选）（2023•广东广州•华南师大附中校考三模）三知

«力二芋'三二.后有三个不相等的零点七，

孙，无，且虫＜x3＜心则

下列命题正确的是（)

A.存在实数尢使得刈二1

B.打入

c,女£（，9

D.\J,♦/\x,♦八jr«J为定色

题型4含有绝对值函数的零点

【例题4】（2023-全国•高三专题练习）若函数W]）二3八一为TM-ax

且仅有两个零点，则邮勺取值范围为.

【变式47】1.（2021春•宁夏校级月考）已知函数日»=|/+打1,x£人若

方程/0）-域＞-1|二船有4个互异的实数根，则实数日的取值范围为

【变式4-112.（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数

_口+（4a-3）x+3a,x＜0

X）"I1现行+力UX。（心。且3工分在十上单调递减，且关于/的

方程|式外|二2-M合有两个不相等的实数解，则石的取值范围是.

【变式4-113.（2021秋•瑶海区校级期末）已知函数武力，烈x）分别是定义在

占上的偶函数和奇函数，口满足胃丫）+8（丫）=？-Z则的值为：

若关于「的方程才7姐।一人五丫-现切）-242二苑唯一的实数解，则实数九的值

为.

【变式4-1]4.（2023•青海西宁・统考二模）函数H力=4sin+x-|x-7|的

所有零点之和为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式4-1】5.（2021•义乌市月考）己知/⑨=（/"+/-力.In/"〃满

足_fl＞）学。在定义域上恒成立，则细勺值为.

题型5复合函数零点

d*J2，工《0

【例题5]（2023秋•河南-高三校联考开学考试）已知函数爪＞-llln”X〉0

（。为自然对数的底数）.则函数真力二白保X）卜酒（X）7的零点个数为

()

A.1B.3C.5D.7

【变式5-1]1.（2023•江苏镇江•扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数

W

Hx）二⑴若式/严3-（2”ZHx），力有4个零点，贝"的取值范围

是（）

A.（，为B.[那

c.（。令“自ZD.a'9"修才

【变式5-1]2.（2023•陕西商洛-镇安中学校考模拟预测）已知函数

°、产xWO

2xf£>0,烈力二二-%,记函数网力=烈«1））-凡若函数尺力恰有三

个不同的零点不，，右右且兀则人・为"4打的最大值为（）

A.1"ln<B."In：c.JTn：D,3iInJ

【变式5-1]3.（2023•江苏南京・南京市第一中学校考模拟预测）已知函数

f+x+2,x<0

I,若函数式力二%依力・必力。合有6个零点，则实

数d的取值范围为.

【变式5-1]4.（2023•江苏镇江•扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知

jr（In%x云1

函数八刀则xeJ-Zu]时，犬力的最小值为,设

烈x）二田切；一式外为，若函数烈X）有6个冬点，则实数石的取值范围

是.

题型6函数中的整数问题

【例题6]（2023•陕西西安-陕西师大附中校考模拟预测）已知函数

贝力二+J-4有两个零点4A且存在唯一的整数七乩则实数万的取

值范围为（）

A.（。2B.I昔,9C.用，，）D.（苧川

【变式6T】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）关于x的函数

W0有4个零点，则整数4的可能取值为（）

A.5B.6C.7D.9

【变式6-1]2.（多选）（2023•全国-高三专题练习）若（3^7）（必+用）0对

任意不€（。,0晅成立，其中a£是整数，则>2的可能取值为（）

A.-7B.-5C.fD.T7

【变式6-1]3.（2023•河南•校联考模拟预测）已知函数

胃力铲份aGR人若存在唯一的整数七，使得

式大）"4则实数的勺取值范围是,

【变式6-114.（2023•全国•高三专题练习）函数

Hi）-ejx:nx-asinXa<-7）.若^的£（使得*孙）（7）成立，则整

数a的最大值为.（参考数据：42二。,7,ln3二，\n5=Lt}

【变式6-115.（2021♦中卫二模）已知函数式X）="七七-统，若函数

式>）的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数%的

取值范围为（）

[333_1\

A.I.sRAff）B

（3_13_J]己一£-21

C.（二万N寸D

题型7三角函数的零点

【例题7】（多选）（2022秋・福建厦门-高三福建省厦门第二中学校考开学考试）

设函数«力二sin“"g）（Q>6,已知Hx）在曲刃口有且仅有5个零点，则

（）

A.H*）在（〃然）有且仅有3个极大值点

B.*了）在加）有且仅有2个极小值点

C.Hx）在（0元）单调递增

D.3的取值范围是IE7Z）

【变式7T】1.（多选）（2023秋•黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考开学考试）

函数/Y，二*x-/sin力在0,+8）上有两个零点0,B（a《B）,下列说法正确

的是（）

A,8d仔，与B,旧人。二咤也

C=三D.f㈤在。，刀”上有2个极值点心孙3U且

X广X：二K

【变式7-1]2.（2023•上海虹口-华东师范大学第一附属中学校考三模）若

存在实数£及正整数兀，使得*力二cosZr-asinj在区间他打冗1内恰有Z奶个零

点，则所有满足条件的正整数用勺值共有个.

【变式7-113.（2023•宁夏银川•校考模拟预测）已知函数

f;cos；3jr/Vjfeinc^icosa*，。（a>0,而£R）.

再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数力》的解析式的两个

作为已知.

条件①：函数的最小正周期为"；

条件②：函数"的图象经过点（09

条件③：函数的最大值为三

（1）求f'xJ的解析式及最小值；

⑵若函数F31在区间I。rl上有且仅有1个零点，求，的取值范围.

1.（2023•山西阳泉・阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数

fW=的零点为X,,函数=2-x-lru的零点为无，给出以下三个

.

结论：①1：♦户，及；②彳/2、③Mnx”,hijr,其中所有正确结论的序

号为.

2.（2023・吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）己知函数

凡力二Minx-%在区间IJ,印上存在零点，则/，”的最小值

为.

3.（2023•辽宁沈阳-东北育才学校校考模拟预测）已知函数Hx）二x■:・就m

有三个零点，则实数m的取值范围是—.

4.（2023•广东韶关-统考模拟预测）定义IWI（xGR）为与邱巨离最近的整数（当

“为两相邻整数算术平均数时，I国取较大整数），令函数=IH,如：19二4

词*,fG）M,阅*,则看（）

2/J291

A.17B.-C.19D.—

5.（2023•全国•统考高考真题）函数Hx）二/七"£存在3个零点，则妁勺取

值范围是（）

A.（-8,-才B.（-8,-3c.L4■2D.（-50]

6.（2021•天津•统考高考真题）设函数

।（cos（2双x-2wa）.x<a

斤分》,若"ri在区间似，引内恰有6个零点，

则a的取值范围是（）

A.必修当B.（如修W

C.（若喑MD.（"喑，同

7.（2022•全国-统考高考真题）（多选）己知函数"/二/一尸+乙则（）

A.力，幅两个极值点B.打上有三个零点

C.点像”是曲线V二f.J的对称中心D.直线V二为是曲线/二fGJ的切线

8.（2022•北京・统考高考真题）若函数fi'x"Nsinjr-Gos1的一个零点为5,

则[二；呜）二.

9.（2023•天津•统考高考真题）若函数五才二次、・劣一|/・"”|有且仅有

两个零点，贝伊的取值范围为.

10.（2023•全国•统考高考真题）已知函数Hx）二的53万-1（口）勿在区间

1。〃1有且仅有3个零点，则3的取值范围是.

11.（2022•天津•统考高考真题）设a£/,对任意实数x,记

犬力二min1|j|-2X-A+%-5L若胃工）至少有3个零点，则实数£的取值范围

为

12.（2021•北京•统考高考真题）已知函数给出下列四

个结论：

①若4=4fGJ恰有2个零点；

②存在负数4使得fGI恰有I个零点；

③存在负数氏使得fGl恰有3个零点；

④存在正数%,使得*"恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

参考答案与试题解析

重难点专题06函数零点问题七大题型汇总

题型1分段函数的零点.................................................1

题型2唯一零点问题...................................................2

题型3指对基函数零点.................................................3

题型4含有绝对值函数的零点..........................................4

题型5复合函数零点...................................................4

题型6函数中的整数问题...............................................5

题型7三角函数的零点.................................................6

题型1分段函数的零点

【例题1】（2023•贵州贵阳•校联考三模）已知函数

JCOS（五X-八3）,

J-4.xZa,其中3GE,若H》）在区间（。，8）内恰好有4

个零点，则a的取值范围是（）

A.修。B.L亨C.修3D.修4

【答案】C

【分析】根据参数珀勺范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函

数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.

（cos（^x-a）,I<a

【详解】由函数“"*Zzr,其中3三及

当aW/时，对任意X〉。函数打#二份-/-4在⑥+8）内最多有1个零点,

不符题意，所以

当时，

由G-3?-4=。可得不二8+2或尸二8-2,

则在x2<h,f（x）-6r-a尸-4有一个零点，

所以fix）=cosmx-兀揖在（0,1内有3个零点，即cos/兀（x・a〃=G在（0,a）

内有3个零点，

因为。<x<d,所以-7Tj<7T（x-a）0,

所以・9小万己<一三，解得

综上所述，实数石的取值范围为（94

故选：C.

【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的

三种常用方法：

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式'：组）

确定参数的取值范围；

2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，

然后数形结合求解.

【变式1-1]1.（2023•海南海口・海南华侨中学校考一模）关于函数，

_0。8式x+WJT<£5

“同'Ib-x.x》3.5其中⑦bWN,给出下列四个结论：

甲：5是该函数的零点.

乙：4是该函数的零点.

内：该函数的所有零点之积为0.

J'：方程*方二7有两个不等的实根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】结合命题的矛盾性，先判断丙、丁均正确，然后分情况讨论甲乙，进行

判断解题；

【详解】当不£［工，+8)时，«了)二》一：为减函数，故5和4只有一个是函数

的冬点.

即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确.

由所有零点之积为0,结合分段函数的性质，知必有一个零点为0,

则=log幺-&二〃可得己二」.

①若甲正确，则区习二6-5=4则6=5,

开、_［1。8乂］♦3-Z。wx<3.5

可得“同一15-X,x^3.5

由Hx)=7,可得lo。"为-1=7,0Wx(3.5或5一刀=

解得》二2或》二4,方程立力二」有两个不等的实根，

故丁正确.，若甲正确，乙错误；

②若乙正确，则用0二4即匕一4二。则6二4,

-rXJlog式jr+为-z0^x<3.5

可得“'V4-x,x》3,5

由Hx)=7,可得Io。/力-/二，0WJT<3.5或4-x二，x23.5

解得x=2,方程Hx)二7只有一个实根，故丁错误，不满足题意.

综上，甲正确，乙错误，

故选：B

【变式1-1)2.(2023-天津滨海新-天津市滨将新区塘沽第一中学校考三模)

设汽力是定义在R上的函数，若网力二内力+/是奇函数.口力二内外-」是偶函

1HOx6［。刀

数，函数趴，JT£(1,f8),则下列说法正确的个数有()

(1)当司时，俱X)=习

⑵g(手)『(壮肥)

(3)若烈M"则实数印的最小值为(

(4)若*x)=gQ)-Hx-2有三个零点，则实数":一1

A.1个B.2个C.3人D.4个

【答案】A

【分析-】由题可得立方二不-X,后由题目条件可得烈x）大致图象.（1）由邈目

条件可得尸司时，式负二2式x-1）二4式"力=4f[X-力；（2）注意4二1的

特殊情况；（3）由题可得xE（39时，烈=£（9:4后

结合图象可得答案；（4）问题转化为用力图象与直线/=《（＞-为有3个交点，等

价于直线V二Mx一0与虱X）在x£（。刀时的图象相切.

【详解】因质%）=+厂是奇函数，贝！*力“M-X）”二0.因

口力二Hx）-1是偶函数，则-”式-力打n/（-x）二式力-2.

贝ij4力+2?*-a=0=/（力二刀一V.

又注意到xE（Z才时，…£（。力，则式x）二7（x-2）=2/U-“x£（2同

时，x-】E（ZZ,x・2£（03],则式x）二方（x-7）=4g（jr-0=4/（x-a以

此类推，可得式力大致图象如下.

（1）xE|2＜31时，,则

式X）二2式X-1）二4式X-3二4f[X-2）二-qX-2）Q-故（i）错误；

（2）注意到当★二7时,6券）=8（9"（9弓H7,故（2）错误；

（3）当xE（?9时，由以上分析:虱X）=8f[x-3）＞次x-3（r2则g（9二Z

结合图象可知若当用”时，M北，贝力的最小值为匕故（3）正确；

（4）用力二g（x）-#X-Z有三个零点等价于聚力图象与直线V二曲X-2有3个

交点.由图可得，当直线P二与爪X）在X力时的图象相切时，满足题

意.注意到当¥£（〃力时，爪X）图象上有一点9,又P二AG-2恒过定点

*2。，心一则当V二％（x-0与虱x）在X£（。力时的图象相切时，

k〈ku&+,故⑷错误.综上，只有⑶正确.

故选：A

【点睛】关键点睛：本题涉及求函数解析式及对于类周期函数性质的考查.本题

由函数奇偶性确定犬其解析式后，结合题目条件得到了爪力大致图象，可以直观

且简明地判断（1）（2）（3）,对于（4）所涉零点问题常可转化为函数图象与直

线的交点问题.

【变式1-1]3.（2023•天津武清・天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）

-2^i-1\+4a-a

n*a，n加""一

设己上/,函数f■（a，2）x，，2.x2&与函数g"二ix在区间

I。+8）内恰有3个零点，则a的取值范围是.

【答案】⑵UC3）,

【分析】设方①⑨一夕⑨，结合题意可知函数万夕性区间〃，+8」内恰有3

个零点，分析3W（时不符合题意，3白。时，结合二次函数△二〃的正负及

"a）>ZJ+5的正负即可求解.

【详解】由题意，函数与函数gl”二打在区间〃，+8,内恰有3个零点，

设力幻"幻-g/:一为/》一〃-ax+4a-i<a

r7-⑵+2）x+*+5,xNa,

即函数力在区间〃，+8/内恰有3个零点，

当时，函数方自）在区间〃，+8J内最多有2个零点，不符合题意；

当时，函数V=/-⑵，2为+，州的对称轴为x=a+

△=（2a+2）2・4（『+5）=8a・M,

所以，函数力修）在4,力上单调递减，在B门，+8%单调递增，且A（旬

二-2a+5,

当△二即3”时，函数方⑨在区间/£,+8/上无零点,

所以函数方作)=一备/x-1/-dx，4a-J在〃，刈上有三个零点，不符合题意;

小二8a-16=Q,即时，函数方在区间f8,上只有一个零点，

则当x£〃，切时，h(x)二・41x・l]-2x+4,

令h(6=-4h-lj-2x+4=Q,解得x=。或符合题意；

(△:8a・16＞Q»

当L俱二-%m,即J';时，函数W在区间人，上有1个零点,

《

力幻二一2&/x『-ax+2”QWx1

则函数-3ax+6a-N.IWx《a在瓜刈上有

2个零点,

2d-*W0

&+2a・『＞0$

贝M・3f+6d・'“，即ZWMJ,所以5储＜J；

(△;8a-16〉0t

当卜自"-2m520,即"aWg时，函数力在区间上，8,上有2个零点,

ax+2”QWx《1

Y%h(x)--2a/xTl-ai+4a-3二

则NIL函数-3ax^6a-ar.1Wx<a在[6,a)]^只

有1个零点，

(2d-M=Q(2a-/《。2a-/《0

\&+2a・『＞0(a+2a-『＞0a+2a-*=0

贝ij(-3*+6a-/N。或(-3m+6d-『20或(-3//6a-/《0,即无解.

综上所述，日的取值范闱是勿0e3).

故答案为：⑵UG,3).

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函

数y=f(x)零点个数的常用方法:

(1)直接法：令H%)二。则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2)零点存在性定理法：判断函数在区间向臼上是连续不断的曲线，且

Aa)＜G再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)

可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问

题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单

调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用

函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合

函数的图象辅助解题.

【变式1-114.（2023•福建厦门・统考模拟预测）函数

〃、Jcos乳x,。《x《a

力幻当3二」时，真》）的零点个数为；若扒x）

恰有4个零点，贝心的取值范围是

【答案】1修制”（泊

【分析】第一空：当时。5及刀=1、*21时/（%）=0可得答案；第二空：

y-/一攵"8（12/至多有2个零点，故/二esn在（。团上至少有2个零点，

所以a"：分;<aW：:<jWg、♦讨论结合图象可得答案.

【详解】第一空：当户7时，当。时，代外二COSNX=0,解得X，；

当时，f［公二f-4x+8=（x-2f+4>C,无零点，

故此时Hx）的零点个数是1；

第二空：显然，V二.一%"8（128）至多有2个零点，故V=（。切上

4

至少有2个零点，所以a七

若y二cos^x（0<x<e）恰有2个零点,则;<aW：,此时y=f-4ai+81x2&）恰

（2a>a

'△=16^-32）。斯

有两个零点，所以（/^）>箍+82。，解得0"忘下，

此时：“W亭；

②

若y=C0Sn〈乙)恰有3个零点，贝/＜二=\此时找⑥)〃，

所以y=/-攵/8(x2a)恰有1个零点，符合要求；

③当a”时，«旬二8一盼“，所以y=/-布"8(x2引恰有1个零点，

而y=cos*(a)至少有4个零点，

此时Hx)至少有5个零点，不符合要求，舍去.

综上，W手或"3W：

故答案为：1；(三学I"83

【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定

理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较笥单

函数零点问题.

题型2唯一零点问题

【例题2](2023秋•重庆-高三统考阶段练习)在数列匕力中，5二】,且函数

*力=N+^-.sinx-(2%+3)x+3的导函数有唯一零点，则加的值为

().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【答案】A

【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断为偶函数，根据有唯一零点

知f。二。构造法有义・,*3=2缶/以应用等比数列定义写出通项公式并求

对应项.

【详解】由=5，*a-cos1-(备/耀R上有唯一零点，

而

4

/x)/a^/zos(-x)-(2，+3)=♦a.1cosx-(2alt+S)=f(x)t

所以，如为偶函数，则/7“二--2柒-3=0,故j+3=2(6+3),且

a]+3=4,

所以任市力是首项为4,公比为2的等比数列，则生“二八交】二萍”,

则的二蠹-3二"药.

故选：A

【点睛】关键点点睛：判断导函数为偶函数，进而得到F3)二。为关键.

【变式2-1]1.(2023-全国-高三专题练习)已知函数g'J,分别是定

义在R上的偶函数和奇函数，且力⑨二铲"，若函数

f/二。1+4sG-〃-2卜有唯一零点，则正实数人的值为()

A.7B.1C.1D.2

【答案】C

【分析】首先利用方程组法求函数gW的解析式，由解析式判断打川的对称性，

利用导数分析打山的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值打“二4

即可求正实数人值.

/g(x)+h(x)=e”+x

【详解】由题设，s(-i)^h(-x)=ex-T=s(x)-h(x),可得：

由fW=。尸＞，ZR,易知：关于x=7对称.

当时,，则

所以fGJ单调递增，故刀＜1时fGJ单调递减，且当』趋向于正负无穷大时都

趋向于正无穷大，

所以f6rJ仅有一个极小值点1,则要使函数只有一个零点，即二。，解得

4二工

故选：C

【点睛】关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根

据零点的个数及对称性、单调性求参数值.

【变式2-1】2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数1

2£h）,若函数代才有唯一零点，则a的取值范围为（）

A.（-8,①B.（-8,6U\lti8）

C.（-8,。U[lf/叼D.（-8,7]U[lt/叼

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性变换得到&二（一3），设A二竽，利用其几何意义根

据图象得到范围.

【详解】*x）=：a/，cosx.,，易知函数为偶函数，且胃。二0,故考虑的

情况即可，

当JT）0时，玉）=即“^^二（芍），

Xin・j

设才二一二，表示函数P二Zsin•上的点到原点的斜率，根据图象知：

艮入叱，当"C时，"3乜故故内（93,

【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数y=2sin：

上的点到原点的斜率是解题的关键.

【变式2-113.（2023•全国•高三专题练习）已知函数

*/=21内-脑0"尹"，有唯一零点，则负实数五

JJ

A.一工B.C.7D..减-1

【答案】A

【详解】函数救二％内《心〜尹"，有唯一零点，

设X-2二乙

则函数TN"・才有唯一零点，

则％历•%/"'）一

设g⑴=2J，-+7%:'gD=2JY-：«7’+力=&⑴，.・・g⑴

为偶函数，

・・•函数f〃J有唯一零点，

・・.V=g与夕二4有唯一的交点，

，此交点的横坐标为0,・：2-a=/，解得3二-2或3二】（舍去），

故选A.

【变式2-114.（2021春•洛阳期末）存在实数石使得函数

有唯一零点，则实数力的取值范围是（）.

A.（~吗4B.（-巴01C.M4D.{04

【答案】A

【分析】根据函数y=？+?]的性质确定唯一零点，然后由二次方程判别式得结

论.

【详解】令下二？是增函数，y二'七，曰对勾函数性质y=%包力

上递减，在u+3）上递增，

所以，二7时，此时*=Q因此有唯一零点，则零点为不二。，

f⑹二-席+a-1二0,必二0时，3二1有解.，小工（时，贝ij/二1-4m》C,

且初HI.

综上MW：

故选：A.

题型3指对塞函数零点

【例题3]（2023秋•重庆万州・高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）

定义在R上的偶函数Hi）满足W2-x）=f（"0,当也才时，“力二小月

若在区间内，函数式力二Ax）-加-/面＞”有上个零点，则实数万的

取值范围是（）

A.I誓，2B.®0）

C.母营D.磬

【答案】D

【分析】等价于y=/（1）与y二加工・】名）”的图象在x有5个交点，利

用已知可得汽力是周期为4的函数，且图象关于x=2对称，画出Hx）的图象结合

图象可得答案.

【详解】ifZ-（"0]=Hr）=fK"0，0二五"的，

又«幻是偶函数，所以A-x）=Rx）,则/U，4）二代幻，

所以Hx）的周期为4,由«2-外二得真丫）的图象关于尸二2对称，

当不£[。2时，贝力二（㈤・可得式x）的大致图象如下，

若在区间¥£①内，函数烈x）二/（力-加-I说＞0?有£个零点，

等价于y=f（力与y二并"】"的图象在xW也7。有5个交点，

结合图象，当不二74时/二〃力与y=mr+1（m＞”的图象恰好有5个交点，

当加二。时y=/lx）与y二mr♦】”的图象有3个交点，不符合题意，

可得力（",e）,此时如+1,可得"天，

则实数n的取值范围是I

【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是等价于/二人了）与V二面"/面〉力的

图象在刀£【。有5个交点，利用已知条件画出它们的图象，考查了学生的思

维能力、运算能力.

【变式3-111.（2021秋•绍兴期末）已知2瓦，a+b+c=。,若

3尔+四"c=。缶的两个实根是无，孙，则反W晟刁的最小值是

（）

A.TB.C.V3D.小石

【答案】D

【解析】根据小,证匕2=.勺2公37以及韦达定理可解得结果.

【详解】因为3/+2酎+，二°缶的两个实根是毛，公，

所以小"二W孙孙若,

所以|21,-力'|2"广力“]/|（2r：7）（k/）l26rdy

*隔

因为d+8+c=。，

所以NJ伞--」一仄后即|2x,T|%2xE及W"当且仅当Ia-力二|2孙-力时，

等号成立.

所以|2x,T|‘3广川的最小值是不后

故选：D

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要

求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不

能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【变式3-1]2.（2023-陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知

A>G,若关于x的方程二一HnC=G存在正零点，则实数1的取值

范围为()

A.(-8,]]B.E+8)c.(・8,5]D.[3+8)

【答案】B

[分析]化简三-"In("二ef(""-LIn('切二。，令XJT-ln(z7

转化为f=0有解，设Mr)：/"-】，利用导数求得函数M7)的单调性，结

合以力二0,得到发力存在唯一零点1二1,转化为ITrU二x-lru在(。+8：有

解，令p(x)"-lnj,利用导数求得函数的单调性，得到】♦IrUMpCOR,

即可求解.

【详解】由题意得，

——jr.ln(j*ln(4乃二erinUar-[x_ln(^x)J=0

令f=x-ln(4H问题转化为r7-f二嫡解，

设A(f)=/Tf则方'(f)二4’7,

当fe(-8,7)时，方'⑴〃,A(i)单调递减;当，£(2/8)时，力‘(aM从t)

单调递增，

又由用力二Q所以灰：)存在唯一零点1二1,即7r-In4,在(0/8)有解，

即】，In▲二jr-1m,令p(x)=x-In,，则/㈤二・二二三

当xE(。力时，「'(力〃；当xE(7,*8)时，p'(x))0,

所以函数P(x)在(。力上单调递减，在(4，8]上单调递增，

所以】iUn4二，解得42」，

故实数』的取值范围为",8).

故选:R.

【点睛】方法技巧：末于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数

的取值范围；

2、利用可分离变量，陶造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中

很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变

分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问

题的区别.

【变式3-113.（2023-吉林通化-梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函

数*力二廿-alru有两个大于1的零点，则日的取值范围可以是（）

A.（0.1\B.UH

C.（Ee|D.De》）

【答案】D

【分析】由函数胃X）有两个大于1的零点，得贝了）在+8）不单调，然后利用

导数研究函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数犬力二L-前2有两个大于1的零点，所以7⑴在（7J8）不

单调.

由*力二d-alru得■八幻二1一争7>0）,

当aW4时，fCr”。恒成立，所以在。/⑵上单调递增，不符合题意；

当a乂时，显然，⑶二在+8）上单调递增，而，⑴二e一,

当We时，当xe（Z+8）时，/（X）?/⑴“所以fG在（Z*8）上单

调递增，不符合题意，此时可排除ABC；

当时，因为ff㈤=1TM,

所以存在犯£（，团，使得’（肛HW即k空弋

当不£（/儿）时，/（x）”,f㈤单调递减，

当刀£（必）8）时，，⑶乂，fG单调递增，

所以在尸二七处取得极小值，也是最小值.

而二当，趋向正无穷时，，fGJ趋向正无穷，

所以当函数Wx）有两个大于1的零点时，只要«小）〃即可，

0均-ex--alnjrj二e车一抬勺1皿二e灯（1-“nx”，

设y=力，则所以V二工铲〃单调递增；

^g（x）-l-xlnj,则屋GJ二-Inx-I,当“0加，二-lnx-』<0,单

调递减;

对于D,当3£/■）时，由2二小人知口击，

当hMe时，】-々JrujW】-e4，所以Hz?）二九InxJ”,满足题意；

故选：D.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论

与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.

【变式3-1]4.（多选）（2023•广东广州•华南师大附中校考三模）三知

H力二芋'三二.切有三个不相等的零点七，七,无，且/＜孙＜心则

下列命题正确的是（）

A.存在实数人使得刈二1

B.打入

C.

n竺可”的修可为申梏

D.\x.«/\JT,e八J«）为定值

【答案】BCD

【分析【化简方程，令『='，得至+=4构造函数g"二中,

则屋G）二二9，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于如勺方程三

个不相等的实数解毛，毛，X二，且不《孙＜立，结合图象可得关于Z的方程

”+二6一定有两个实根h,结合韦达定理，

推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案.

虱=*tlax

【详解】由方程芋'f二°,可得丁-k=0

令•二'，贝有‘+即八一小，】二c.

令函数g=则屋（x）~c■号，

令g'（x）＞4解得0＜x〈e,令g'Cr）＜。，解得

所以在自）上单调递增，在e+8J上单调递减.

所以式外3二g（e）二芋二乙

作出图象如图所示，要使关于上的方程于有三个不相等的实数解

X1,X：,X.]9

且r，<x,<x：,结合图象可得关于£的方程”二《一定有两个实根

3,匕，且1,W0,0<hB或九二L0<h<7,

令式t）=t；+（1-kh・k+1,

烈。WO

">0

若hW0,0《匕〈】,则（△二/+四-外。，故八八工

（4⑺=0

鼠0））。

若乙二I,0<0（7,则（△=/）四-3,0,尢解，

综上*故C正确；

由图结合单调性可知故B正确；

若艮1）=174,贝山二】，又故A不正确；

（导+T管用管+9=（4

91:53,，$（打♦?：）+引=5（-4+】）弓（才一力+口吟

，故D正确.

【点睛】本题主要考查导数的应用，解答本题的关键是：令g"二三