4.2.4随机变量的数字特征（第2课时离散型随机变量的方差）课件高二下学期数学人教B版选择性

人教B版

数学

选择性必修第二册第四章概率与统计4.2.4随机变量的数字特征第2课时离散型随机变量的方差课标定位素养阐释1.通过实例,理解离散型随机变量的方差.2.理解两点分布、二项分布的方差及方差的性质,并能解决简单的实际问题.3.体会随机变量方差的数学抽象的过程,提升数据分析和数学运算素养.自主预习新知导学一、离散型随机变量的方差1.A,B两台机床同时加工同一种零件,每加工一批数量较大的零件,出现的次品数与对应的概率如下表.A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床

次品数X20123P0.80.060.040.1(1)E(X1)与E(X2)有什么关系?提示:E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,E(X1)=E(X2).(2)能说明两台机床加工零件的质量一样吗?提示:不能.(3)还需利用什么指标才可以比较两台机床的加工质量?提示:方差或标准差.2.方差及标准差的定义(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn因为X的均值为E(X),所以D(X)=

能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小),这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示.

(2)一般地,称为离散型随机变量X的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).3.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则x1,x2,x3对应的概率p1,p2,p3分别为

,

,

.

答案:0.4

0.1

0.5二、几类特殊分布的方差与方差的性质1.已知随机变量X服从参数为p的两点分布,其分布列为X10Pp1-p(1)两点分布的方差D(X)与参数p有什么关系?提示:D(X)=p(1-p).(2)若随机变量Y=2X+1,则D(Y)与D(X)有什么关系?提示:D(Y)=4D(X).2.(1)若X服从参数为p的两点分布,则D(X)=p(1-p).(2)若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).(3)方差的性质:若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)=a2D(X).3.同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面向上的次数为ξ,则D(ξ)=(

)答案:A【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.(×)(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离均值的平均程度.(√)合作探究释疑解惑探究一求离散型随机变量的方差【例1】

编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,设与座位编号相同的学生的个数为X,求D(X).解:由题意可知,X的所有可能的取值为0,1,3,求离散型随机变量的均值或方差的关键是求分布列,而求分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要能正确求出每一个结果出现的概率.反思感悟【变式训练1】

设投掷一枚质地均匀的骰子得到的点数为X,则X的方差为

.

探究二两点分布与二项分布的方差【例2】

为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设成活沙柳的株数为ξ,均值E(ξ)=3,标准差

.(1)求n和p的值,并写出ξ的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.若随机变量X服从两点分布或二项分布,则可直接利用方差公式求方差,避免了繁杂的计算.若已知随机变量X服从两点分布或二项分布,且已知E(X),D(X),则可利用公式构造方程或方程组求出参数p或n,p.反思感悟【变式训练2】

设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差的值最大?并求其最大值.探究三离散型随机变量方差的实际应用【例3】

最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱投资理财,提出了三种方案.[方案一]李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万元钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只[方案三]李师傅的妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万元钱全部存入银行一年,现在存款年利率为1.5%.针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.解:若按方案一执行,设收益为X1万元,则其分布列为

若按方案二执行,设收益为X2万元,则其分布列为

若按方案三执行,则收益y=10×1.5%=0.15(万元).又E(X1)=E(X2)>y,D(X1)>D(X2),说明虽然方案一、二平均收益相等,但方案二更稳妥.所以,建议李师傅家选择方案二投资较为合理.在解决此类实际问题时,应先比较均值,根据均值的大小及实际意义作出合理的选择.若均值相等,则再比较方差,方差越小越稳定.反思感悟【变式训练3】

已知甲、乙两名学生在解答同一份数学试卷时,各自的成绩为80分、90分、100分的分布列如下表所示.甲:分数X8090100概率P0.20.60.2乙:分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.解:∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴两名学生的成绩的平均水平相同,但甲学生的成绩更稳定.【易错辨析】

混淆方差的性质与均值的性质而致误【典例】

已知随机变量X的分布列如下表.X-2-1012P0.10.20.40.10.2且Y=3X+1,求E(Y),D(Y).错解:因为E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1,所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3.又因为D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2×0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+(2-0.1)2×0.2=1.49,所以D(Y)=D(3X+1)=3D(X)+1=5.47.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:利用方差的性质求解D(Y)时,错误地认为D(Y)=D(3X+1)=3D(X)+1,与均值的性质混淆.正解:因为E(X)=-2×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.1+2×0.2=0.1,所以E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=1.3.又因为D(X)=(-2-0.1)2×0.1+(-1-0.1)2×0.2+(0-0.1)2×0.4+(1-0.1)2×0.1+(2-0.1)2×0.2=1.49,所以D(Y)=D(3X+1)=9D(X)=13.41.求解此类问题,要牢记公式E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),并能熟练使用.防范措施随堂练习1.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为(

)A.2 B.3

C.4

D.5解析:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.答案:C2.已知ξ~B(n,p),E(ξ)=8,D(ξ)=1.6,则n与p的值分别为(

)A.100和0.08 B.20和0.4C.10和0.2 D.10和0.8解析:因为ξ~B(n,p),答案:D3.(多选题)下列说法正确的是(

)A.离散型随机变量的均值E(X)刻画了X取值的概率平均值B.离散型随机变量的方差D(X)刻画了X取值的平均取值C.离散型随机变量的均值E(X)刻画了X取值的平均取值D.离散型随机变量的方差D(X)刻画了X相对于均值的离散程度答案:CD4.有甲、乙两台自动包装机,包装质量分别为随机变量X,Y,已知E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),则自动包装机

的包装质量较好.

解析:在均值相等的情况下,方差越小,说明包装机的质量越稳定,故自动包装机乙的包装质量较好.答案:乙5.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a=

,

b=

.

解析:由题意,得

6.某人练习射