【西南交通大学机械原理课后习题答案】

机械原理习题解答

1.绘制题1图所示液压泵机构的机构运动简图。

解：该机构由机架1、原动件2和从动件3、4组成，共4个构件，属于平面四杆机构。

机构中构件1、2,构件2、3,构件4、1之间的相对运动为转动，即两构件间形成转动副，转

动副中心分别位于A、B、C点处；构件3、4之间的相对运动为移动，即两构件间形成移动副，移

动副导路方向与构件3的中心线平行。构件1的运动尺寸为A、C两点间距离，构件2的运动尺寸

为A、B两点之间的距禽，构件3从B点出发，沿移动副导路方向与构件4在C点形成移动副，构

件4同时又在C点与构件1形成转动副。

选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动管图的视图平面。

选择比例尺〃广分别量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并标明原动件

题2图简易冲床机构

〃/=0.001m/mm

及其转动方向，如题1图所示。

2.绘制题2图所示简易冲床的机构运动简图。

解：图示机构中已标明原动件，构件6为机架，其余构件为从动件。需要注意的是，在区分构

件时应正确判断图中各构件都包括哪些部分，例如：构件3就包括两部分，如图所示。

该机构中构件1与机架以转动副连接，转动副中心位于固定轴的几何中心A

点处；构件2除与构件1形成回转中心位于C点的转动副外，又与构件3形成

移动副，移动副导路沿BC方向：构件3也绕固定轴上一点B转动，即构件3与

机架形成的转动副位于B点，同时构件3与构件2形成移动副，又与构件4形

成中心位于D点的转动副；构件4与构件5形成中心位于E点的转动副；构件5

与机架6形成沿垂直方向的移动副。

该机构属于平面机构，因此选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平

面O

选择比例尺〃LO.OOlm/mnb量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并

标明原动件及其转动方向，如题2图所示。

3.题3图为外科手术用剪刀。其中弹簧的作用是保持剪刀口张开，并且便于医

生单手操作。忽略弹簧，并以构件1为机架，分析机构的工作原理，画出机

构的示意图，写出机构的关联矩阵和邻接矩阵，并说明机构的类型。

如珈助亚以

旦百Q闵in珈二哲

解：若以构件1为机架，则该手术用剪刀由机架1、原动件2、从动件3、

4组成，共4个构件。属于平面四杆机构。

当用手握住剪刀，即构件1（固定钳口）不动时，驱动构件2,使构件2绕构

件1转动的同时，通过构件3带动构件4（活动钳口）也沿构件1（固定钳口）上

下移动，从而使剪刀的刀口张开或闭合。其机构示意图和机构拓扑图如上图所

其关联矩阵为：邻接矩阵为：

%e2e3e4匕彩匕V4

V.1001V,0101

LM=v21100;AM=v21010;

v301100101

v40011v41010

4.计算题4图所示压榨机机构的自由度。

解：机构为平面机构。

机构中构件1为偏心轮，构件2绕构件1的几何中心发生相对转动,即形成中心位于偏心轮几

何中心的转动副，因此偏心轮相当于•个有两个转

动副的构件，一个转动副是在点A与机架11形成的,

另外一个是在偏心轮几何中心处与构件2形成的。

该机构中存在结构对称皆分，构件8、9、10和

构件4、5、6。如果去掉一个对称部分，机构仍能够

正常工作，所以可以将构件8、9、10以及其上的转

动副G、H、I和C处的一个转动副视为虚约束：构

件7与构件11在左右两边同时形成导路平行的移动

题4图压榨机机构

副，只有其中一个起作用，另一个是虚约束；构件4、

5、6在D点处形成复合较链。机构中没有局部自由度和高副。

去掉机构中的虚约束，则机构中活动构件数为〃=7,机构中低副数巴=10,

得

5.计算题5图所示自动驾驶仪操纵机构

的自由度。

解：自动驾驶仪操纵机构为空间机构,

题5图自动驾驶仪操纵机构

z)

旦nf仁囱

7.计算题7图所示齿轮一连杆机构的自由度。

解：

由于该机构具有2个自由度，所以该机构在有2个原动件的条件下就具有

确定的运动。

9.计算题9图所示机构的自由度。

解：（a）、F=3n-2^-/>,=3x6-2x6-4=2

（b）、F=3n-2Pl-Ph=3x7-2x9-l=2（注：滑块D的运动轨迹与C的

运动轨迹相重合，所以滑块D及其上的转动副和移动副均应视为虚约束。）

解：自由度分别为1、2和3的HI级机构分别如下图（a）、（b）和（c）

所示。

11.确定题11图所示机构当构件8为原动件时机构的级别。

解：当构件8为原动件时,图示机构去掉原动件和机架后可以拆分为3个

II

门行11厉1

12.在题12图所示的较链四杆机构中，已

知该机构的结构参数以及构件1的转速为

外，机构运动简图的比例尺为出。利用速

度瞬心法，求在图示位置时，构件2和构

件3的转速32和33的大小和方向。

解：首先找出相关的速度瞬心：速度

瞬心Pio、P12、P23、P03可根据相应的构件构

成转动副直接确定出来；而P°2和P13需应用三心定理来确定：速度瞬心P°2应在

三个构件0、1、2的两个已知速度瞬心11和1%的连线上，同时又应在三个构件

0、3、2的两个已知速度瞬心I%、P23的连线上，则这两条连线的交点即为P02。

速度瞬心人的确定方法类似，它应是Pl2P23连线和PK)P°3连线的交点。

由速度瞬心的概念，在速度瞬心点两构件凶绝对速度相同，便可求解未知

转速。在速度瞬心点%有

Vpi2=例,Ro%4/=明,P|2Po2〃/

式中脚和嗝可直接从所作的图中量取。由上式可解出

C_40耳2

由绝对速度52方向，得出32方向为顺时针方向。

同理，在速度瞬心点匕3有

%3二4.耳。耳34=g,朋34

由绝对速度的方向，可知其为逆时针方向。

13.题13图所示的凸轮机构，已知该机构的结构尺寸和凸轮1的角速度叫。利

用瞬心法，求机构在图示位置时从动件2的线速度七。机构运动简图的比例

尺为内。

解：构件1与机架0的速度瞬心Pen以及从动

件与机架的速度瞬心人可根据相应的构件分题13图别

构成转动副和移动副而直接确定出来。凸轮1和

从动件之间的瞬心Pl2的确定方法是：一方面，P.2

应在构件1、2高副接触点K的公法线n-n上，另

一方面，利用三心定理，它又应在瞬心Poi和Po2

的连线上，即又应在过点L而垂直于从动件2与

机架移动副导路的直线上。因而，n-n与该直线

的交点即为人。

再根据速度瞬心的概念，可得：

其中，可可可以直接从图中量出。从动件的速度V2方向如图中为2所示。

14.在题14图所示所示的平面组合机构中，已知机构作图的比例尺〃”及构件

1的角速度皿，求图示位置构件4的线速度

解：已知构件1的角速度，求构件4的线速度，因而需求出速度瞬心儿，

一方面，匕应在瞬心“和九的连线上，另一方面，它也应在瞬心。和凡的连

线上。其中：瞬心儿一方面应在构件1、2高副接触点的公法线〃-〃上，另一

方面，它也应在瞬心之和电的连线上。瞬心L一方面应在瞬心尸门和4的连线

上，另一方面，它也应在瞬心生和九的连线上。

根据速度瞬心的概念，可得外•聒；必=%=!，其中，航可以直接从

图中量出。构件4的速度方向如图中明所示。

15.确定题15图所示机构所有的速度瞬心。如果已知构件1的角速度以，设图

示比例为出，求图示位置时，题15图（a）齿轮4的角速度叫的大小、方

向和题15图（b）构件3的速度匕的大小和方向。

解：（a）、图示机构共有6个构件，所以速度瞬心的数目为

C=N（/；-1）二止。其中:%、人和已在转动副。।处；。、也和生在转动副

。2处；生在转动副。，处；&在转动副。处；％在齿轮2和齿轮3的基圆切点

处；％在齿轮2和齿轮4的基圆切点处；％在瞬心小和鸟3的连线与瞬心&和

七的连线的交点处；尸25在瞬心尸24和&的连线与瞬心尸23和&的连线的交点处；

乙在瞬心匕和匕的连线与瞬心之和舄6的连线的交点处；名在瞬心65如4的

连线与瞬心匕和&的连线的交点处；七在瞬心三和七的连线与瞬心匕和展

的连线的交点处。

根据速度瞬心的概念，可得他•取/〃/=03&=”从而可先求出构

件3的角速度?二他•黑，其中，瓦瓦和反屏可以直接从图中量出，构件3

的速度方向如图中①3所示；再根据速度瞬心的概念，可得

g•瓦质4=叱•可&M=%，从而可求出构件4的角速度g=?•冬冬，其中，

P34P46

月篇和R总可以直接从图中量出，构件4的速度方向如图中g所示。

(b)、图示机构共有4个构件，所以速度瞬心的数目为此="沪=6。其中:

儿和七分别在构件1和构件4、构件2和构件4形成的转动副处；匕在垂直于

移动副导路的无穷远处；。在过高副接触点B的公法线〃和瞬心儿、&的连

线的交点处；多在过高副接触点C的公法线〃'-〃'和瞬心七、0的连线的交点

处；％在瞬心匕和尸23的连线与瞬心儿和L的连线的交点处。

根据速度瞬心的概念，可得用•病从=4=匕，其中，耳瓦可以直接从

图中量出。构件3的速度方向如图中匕所示。

16.在题16图的四杆闭运动链中，已知〃=150mm,b=500mm,c=300m/??,

d=400〃〃〃。欲设计一个被链四杆机构，机构的输入运动为单向连续转动,

确定在下列情况下，应取哪一个构

件为机架？①输出运动为往复摆

动;②输出运动也为单向连续转动。

解：①当输出运动为往复摆动

机构应为曲柄摇杆机构，此时应取四杆中最

短杆的相邻杆，即b或d作为机架。

②当输出运动也为单向连续转动时,机构应为双曲柄机构，此时应取四杆

中的最短杆，即a作为机架。

17.在题17图a、b中

（1）说明如何从一个曲柄摇杆机构演化为题17图a的曲柄滑块机构、再演

化为题17图b的摆动导杆机构；

（2）确定构件AB为曲柄的条件；

（3）当题17图a为偏置曲柄滑块机构，而题17图b为摆动导杆机构时，

画出构件3的极限位置，并标出极位夹角0。

解：（1）当的柄摇杆机构的摇杆为无穷长时，则原来摇杆与机架之间的转

动副就变为移动副，原机构就演化为了题17图a的曲柄滑块机构。如果取原来

的连杆作为机架，则曲柄滑块机构就演化为了题17图b的摆动导杆机构。

（2）对于图（a）,构件AB为曲柄的条件是a+eKO；对于图（b）,只要

导杆BC足够长，满足装配要求，则构件AB始终为曲柄。

（3）对于图（a）,构件3的极限位置在曲柄1和连杆2的两次共线处，其

极限位置与、3?和极位夹角。如图（a）所示；对于图（b）,构件3的极限位置

在曲檎1与滑块2形成的转动副B的轨迹圆与导杆3的切线处，其极限位置，、

32和极位夹角。如图（b）所示。

题18图

18.题18图为开槽机上用的急回机构。原动

件BC匀速转动，已知a=80mm,

=200mm,=100"〃〃，400""7?o

blADlDF

（1）确定滑块F的上、下极限位置；

（2）确定机构的极位夹角；

（3）欲使极位夹角增大，杆长BC应当如何调整？

解：（1）滑块F的上、下极限位置如图中F?、件的位置。

（2）由图中几何关系，得

极位夹角。=180°-加=47.16。。

（3）欲使极位夹角增大，应使。角减小，所以杆长BC就当减小。

19.已知题19图所示机构的结构尺寸、固定佼链点的位置和原动件的运动。试

分别以构件CD和构件AB为原动件，确定机构中所有从动构件的运动。

解：首先建立直角坐标系如图所示。

题19图

固定较链点D、E、A的坐标分别为

D（0,0）,E（M,%）,A（x〃％）。当以构件

CD为原动件时，机构为H级机构；而当

以构件AB为原动件时，机构为III级机构。

（一）、以构件CD为原动件时

构件CD为定轴转动，已知原动件的运动，就是已知构件CD绕点D转动的角

位置痔、角速度幼和角加速度生

较链点C是构件CD上点，同时也是构件3上的点，而构件3是一个从动构

件，因此，运动分析从较链点C开始。

较链点C是构件1上的点，运动约束为到点D之间的距离自不变，并且点C、

D连线与坐标轴/正向之间的夹角为例，所以可以写出其位置方程

其中々）=%=o,a和6由题意是已知的，只有与，打两个未知数，因此，

可以立即计算出钱链点C的位置。

将上式对时间C分别作一次、二次求导，可得点c的速度和加速度方程如下

其中VD.t=VD.y=0

其中4以=。，根据已知的必和名，就可以求出钱链点C的速度和加速

度。

确定出从动构件3上点C的运动之后，必须再确定构件3上另外一个点才能

确定出构件3的运动。构件3上的点B和点F都可以作为下一步要求解的点。

但是，在目前的条件下，无论是确定点B的位置、还是构件3上的点F的位置

都必须联立三个或三个以上的方程才能求解。

如果现在转而分析构件2上的点F情况就不司了。构件2上点F受到两个运

动约束：1）直线CF垂直于直线FE；2）点F到点E的距离保持不变，且为己知

的机构结构参数。因此，可以建立构件2上点F的位置方程，如下：

由于点C的位置已经求出，所以在上式中只有外两个未知数，方程为非

线性方程组，可以利用牛顿迭代法求解，初始点的选取可以由在草稿纸上画出

机构的大概位置来确定。当然方程也可以利用代数消元的方法求解。

在求得点F的位置之后，利用上式对时间的一阶和二阶导数，可以得到点F

的速度方程

式中%只有两个未知数K和上一为线性方程组，可以直接求解。

利用上式对时间的二阶导数，求出点F的加速度方程：

其中旬,=0,方程仍然为线性方程，可以直接求解。

在求出点F的运动之后，便可以求解点B的运动了。点B既是构件3上的点,

同时，也是构件4上的点，所以，它是继续进行机构运动分析的一个关键点，

它所受到的运动约束是：1）B、F、C共线；2）点B、C之间的距离保持不变。

据此可建立出点B的位置方程：

点B的速度方程为：

（力一打）%一“产一%）%.丫=（九一%）口&一（*一4）2

<+（%一）匕）％一（/一%）%⑶）

（4~%）%+（%-yc）VBv=（XB-%）%+（%->C）VCy（b）

点B的加速度方程为：

至此已经可以看山；运动分析的关键是位置方程的建立，速度和加速度方程

可以分别将位置方程对时间求一阶和二阶导数得到。

在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已

知的点，因此，各个从动构件的运动都可以确定出来了。例如，构件3的质心

点S3的位置方程

构件3的角位置、角速度和角加速度分别为

除了确定各个构件的运动，还可以确定构件与构件之间的相对运动。例如，

要确定构件4与构件5的相对运动，由题19图可知，构件4与构件5形成移动

副，因此，两者之间的相对运动为移动，可以选构件4上的点B和构件5上的

点A,以这两个点之间的距离变化表示构件4与构件5之间的相对运动，则相对

运动的位置方程为

相对运动的速度和加速度分别可由上式对时间的一阶和二阶导数求出。

（二）、以构件AB为原动件时

此时，点A、B之间距离“神、心。和。"为已知的。构件5为液压驱动的油

缸，构件4为活塞。机构可以拆出构件1、2、3、4组成的HI级杆组，机构为HI

级机构。

机构中较链点B、C和构件2上的点F都不能分别求解，只能利用AB、BC、

DC、EF之间的距离为已知的长度、点B、F、C共线和直线BF、EF垂直的运动约

束，建立出三个待求点B、E、F的位置方程组，联立求解，即

在上述方程中未知数的个数与方程数相等，在机构的可动范围内方程组有

确定的解，方程组是非线性的代数方程，可采用牛顿迭代法等方法进行求解。

机构的速度和加速度方程仍然是由位置方程的一阶和二阶导数求得，与II级

机构相同，机构的速度和加速度方程均为线性方程组。

20.在题20图所示机构中，已知机构中各构件的杆长和固定较链点A、D、F的

位置、原动件的运动。试在以下两种情况下写出确定机构中所有从动构件运

动的相应位置方程。

(1)以构件1为原动件；

(2)以构件5为原动件。

解：首先建立直角坐标系如图所示。固定较链点A、D、F的坐标分别

为A(O,O)、D(XD,yD)、F(xFtyF)o

(1)、当以构件i为原动件时，该机构为n级机构，可以逐点求解。先

求点B的运动。点B在构件1上，所以点B的位置方程为

y

点C到点B的距离保持不变，点C到点D的距离保持不变，根据这两个条

件，可建立C点的位置方程为

点E到点B的距离保持不变，点E到点C的距离保持不变，根据这两个

条件，可建立C点的位置方程为

在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运

动已知的点，因此，各个从动构件的位置都可以确定出来了。

（2）、当以构件5为原动件时，该机构为m级机构，不能逐点求解，而

只能联立求解。先确定点G的运动，其位置方程为

利用AB、BC、CD、BE、CE之间的距离保持不变，为已知的长度，及直线

FG和EG垂直的运动约束，建立三个待求点B、C、E的位置方程，需联立求解，

即

ab

题21图平面二杆机械手及其逆运动学分析

21.对题21图所示的平面二杆机械手进行逆运动学分析。

解：首先，考虑二杆机械手的工作空间，在此机构中运动输出为点P,所

以，其工作空间就是点P可以到达的区域。

假设转动副A、B都是周转副，如果人则点P可以到达的区域为以点

A为圆心、半径为”的圆；如果《工公则点P的可到达区域为以点A为圆心、

外径为乙+/2、内径为乂-4的圆环。如果转动副A、B不全是周转副，则点P的

可到达区域显然要减小。

由题21图b可知，对于点P的位置（元），）逆解有两个，分别用实线和虚线

表不。

为了得到封闭解，将点A与点（羽），）连接起来，

根据余弦定理可得

则％=4±a,4=。±

式中，取对应题21图b中的实线所示的解，取“+”对应虚线所示

的解。

22.设计一个较链四杆机构ABCD,实现连杆的三个精确位置PQ,,P2Q2,P3Q30

解：在皎链四杆机构中,

题22图实现连杆三个位置的较链四杆机构

动钱链点B、C既是连杆上

设计

的点，同时，又是连架杆

上的点，其轨迹为分别以

固定钦点A和D为圆心,相

应连架杆杆长为半径的圆

弧，故称点B和C为圆点,

而点A和D为圆心点。据

此，可以得出机构的设计

作图方法如下：

将给出的表示连杆精

确位置的直线PQ扩大成一

个平面封闭区域。在区域

中任意取两个点作为圆点B、C,并由给定的连杆精确位置确定出Bi、B2>B3和

G、C2>C3,如题22图所不。

作限连线的中垂线由2,再作画连线的中垂a23,则配和纵的交点即为

圆心点A的位置。

同样，作连线的中垂线九和3弓连线的中垂线d23,九和d23的交点即

为圆心点D的位置。

连接ABCD,就得到了所要设计的机构。机构的两个连架杆分别是AB、CD,

连杆是BC,各个构件的杆长为直接从图中量出的长度乘以作图比例。

值得注意的是，在确定钱链点B、A的位置时没有考虑钱链点C、D,同样,

在确定较链点c、D的位置时没有考虑被链点B、A的位置。这样的设计通常被

称为“分边综合”。

此时的设计结果有无穷多个，因为点B、C在刚体的位置是任意选取的。如

果直接将点P、Q作为圆点，则设计出来的机构与较链四杆机构ABCD不同。

在机构运动设计中，除了对机构精确位置的要求之外，还可能有其他的设计

要求。如果还要求机构为曲柄摇杆机构，则应检验设计出的机构是否满足曲柄

摇杆机构的条件，如果不满足，则应重新选择圆点B、C,按照上述过程重新作

图。

23.设计-一个铁链四杆机构，如题23图所示。已知摇杆CD的长度牲=75〃〃九，

机架AD的长度4〃=100〃〃72，摇杆的一个极限位置与机架之间的夹角＜p=45°,

构件AB单向匀速转动。试按下列情况确

定构件AB和BC的杆长/田儿，以及摇

杆的摆角甲。

（1）程速比系数K二1;

（2）行程速比系数K=L5;

解：（1）、当行程速比系数K二1时，机构的极位夹角为

即机构没有急回特性，固定较链点A应在活动较链点C的两个极限位置C1、

⑷

G的连线上，从而可确定活动较链点C的另一个极限位置。选定比例尺，作图，

如下图(a)所示。

直接由图中量取元=70.84,愆=61.76,所以构件AB的长为

构件BC的长为

摇杆的摆角〃=7。

(2)、当行程速比系数K=1.5时，机构的极位夹角为

即机构具有急回特性，过固定钱链点A作一条与已知直线项成36。的直线

再与活动较链点C的轨迹圆相交，交点就是活动钱链点C的另一个极限位置。

选定比例尺，作图，如下图(b)所示。

由图(b)可知，有两个交点，即有两组解。直接由图中量取苑*=70.84,

AC?=25.75,AQ=169.88o故有解一：

构件AB的长为岫="G=70.84125.75=22.55〃制

构件BC的长为&==70.84;25.75二人力〃〃

摇杆的摆角41。

解二:

.例1/班.AC、169.88—70.84..

构件ABD的长为IAB=一=-----L=-----------=49.n52〃o〃〃

22

构件BC的长为臃=-G=169.88;70.84=12036/n/n

摇杆的摆角”=107。

24.设计一个偏心曲柄滑块机构。已知滑块两极限位置之间的距离时=50mm,

导路的偏距e=20mm,机构的行程速比系数K=l.5。试确定曲柄和连杆的长度

解；行程速比系数K=L5,则机构的极位夹角为

选定作图比例，先画出滑块的两个极限位置G和C2,再分别过点C.C2作

与直线成90。-9=54。的射线，两射线将于点0。以点0为圆心，0C2为半径作圆，

最后再作一条与直线GC2相距为c=20团5的直线，该直线与先前所作的圆的交

点就是固定较链点A。作图过程如题24图所示。

直接由图中量取藕=25mm,记=68mm,所以

曲柄AB的长度为lAfi=A。?2A。1=.2"=215所

ACAC

连杆BC的长度为展=I^2=68+25=

25.设Gg

计.1---------题25图转杆滑块机构实现精确连杆位置

Hili0/1

杆滑块机构,实现连杆精确位置（Pi,Oi）i=2,…，n。

解：题25图所示转杆滑块机构，可取机构的设计变量为

X人，＞1，XB\»XC\,»yc\°

这六个设计变量确定之后，机构的所有运动几何尺寸，包括各个构件的杆

长、滑块导路的方位等，就确定出来了。

机构运动过程中，动较链点B、C的运动约束是：（1）从连杆BC上看，点

B、C之间的距离保持不变；（2）从连架杆AB上看，点B至U点A的距离保持不变;

（3）从连架杆滑块C上看，点C始终在一条直线上运动。

由于设计要求给出了连杆精确位置（Pi,。1i=2,…，n。由（Pi,0i）i=2,•••,

n,可以很容易地写出连杆的位移矩阵。如果利用连杆的位移矩阵方程建立连杆

上点B、C在连杆第1位置时的坐标与其在连杆第i位置时的坐标之间的关系，

则运动约束（1）就不再是独立的了。利用了连杆的位移矩阵方程，就不能再利

用运动约束（1）了。

根据以上分析，可以确定出机构设计方程建立的主要途径：利用连杆的位移

矩阵方程和利用连架杆的运动约束。

运动约束（2）和（3）的数学表达为：

222

（丹+（%i-yA）=（xBi-xA）+（yBi-yA）i=2,3,…（1）

y7ci1

xC2yC21=0i=3,4,2（）

XCi为1

由设计要求给出的连杆精确位置（P“Oi）i=2,…，n,可以写出连杆从第一

位置到第，位置的位移矩阵:

cos01j-sin0kxPi-xPicos0n+sin0u

[D,,]=sin9lf.cos9lfyPi-xPisin0lf.-yPicos0lf.（3）

001

钱链点B、C满足位移矩阵方程

XBi"J

=[Q』⑷

I_1

Xi-

=[R』W（5）

1

在式（1）中有中间变量工叱力,，将位移矩阵方程（4）代入，就可以消去中

间变量，得到只含设计变量4，力，小|,）3的设计方程；同样，将式（5）代入

式（2）可得到只含设计变量丁。的设计方程。

为了便于求解，应当将联立求解方程的数目减少到最少，因此，设计方程的

求解与图解法相同，也采用“分边综合”：求解只含设计变量4，以，打，坊的

设计方程确定出点A、B”求解只含设计变量）5的设计方程确定出点

从代数学中可知：当方程个数小于方程中的未知数数目时,可以任意假设一

些未知数，方程有无穷多解：当方程个数大于方程中的未知数数目时，方程一

般无解；只有当方程个数与方程中的未知数数目相等时，方程才有确定的解。

含设计变量乙，力，小”的设计方程中有四个未知数，当给定连杆n个位置时,

可以得到n-1个设计方程。由此可知，当给定连杆五个位置时，含设计变量

4,打，火/，Hn的设计方程才有确定的解。由此可以得出结论：由较链点A、B

组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为5。由钱链点A、B组成杆组

的导引方式称为转杆导引。

下面通过具体数值的例子进行说明。

设需要实现的连杆精确位置为三组位置

1.01.030°

2.00.530°

3.01.575°

刚体从第1位置到第2位置的位移矩阵

由式（4）得

刚体从第1位置到第3位置的位移矩阵

由式（4）得

方程（a）（b）中共有四个未知数4，力，工以，力1，所以可以任意假设其中的

两个。如果取4=0,%=（）,联立方程（a）（b）解出

=0.994078,），例=3.238155。如果取不同的乙,力，可以得到不同的解。这

就说明了在精确连杆位置数目为三的情况下，设计方程有无穷多解。

现在对含设计变量%「%」的设计方程（由式（2）得到）进行分析。含设计

变量%卜的设计方程中有两个未知数，当给定连杆n个位置时，可以得到n-2

个设计方程。所以，在给定精确连杆四个位置的时候，设计方程就有确定的解

了。由此得出结论：由滑块和转动副组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最

大数目为4。滑块和转动副组成杆组的导引方式称为滑块导引。

对于上面的三个连杆精确位置，由式（2）得到滑块导引的设计方程

xc\先।1

17:

.^cosO-yclsinO+2-cos0+sinOxclsinO+yC[cosO+O.5-sinO-cosOI一。方

：：

xclcos45-yclsin450+3-cos450+sin45：xclsin45°+y0cos45°+L5-sin450-cos451

程中有两个未知数和，加，可以任意设其中一个。设飞=10,解出力=-1。106o

题25图所示的转杆滑块机构，如果确定了所有设计变量

乙，”，均，）如，必,丁口，则机构的运动几何尺寸就可以按下面的计算方法确定出

来。对于上面的三个连杆精确位置及设计方程的解可以得出

其中%2,九2仍由位移矩阵方程（5）计算得出。滑块导路的位置由dxcl,便

可以确定了。

26,设计一个带有一个移动副的四杆机构（题26图），实现输入杆AB转角6与

输出滑块CC'的移动S,之间的对应关系。已知起始时（p0和S。、固定钱链点A

题26图

的坐标。

（1）分别写出从起始位置到第J组对应位置，构件AB和滑块的位移矩阵；

（2）如何得到机构的设计方程？

（3）分析该机构最多能够实现多少组精确对应位置关系。

（4）如何求出机构的％，乙3,乙4。等机构运动参数？

解：已知xA,yA,XCY=xA+SQ9yCy=yA；则设计变量为了创,,xcl,

yC\。

（1）、从起始位置到第/组对应位置，构件AB和滑块CU的位移矩阵分别

为

(2)、钱链点B和C还满足B、C之间的距离保持不变的运动约束，为此

建立约束方程为

式中较链点B和C还满足位移矩阵方程

X

XHjBI

,=[0叮1八8)'m(a)

11

(b)

将(a)和(b)代入运动约束方程就得到仅含设计变量的方程，从而可求解。

(3)、由于有4个设计变量，所以该机构最多能够实现5组精确对应位置

关系。

(4)、机构的以廓乙。等机构运动参数分别为

27.设计一个曲柄摇杆机构ABCD,利用连杆上点P的轨迹拨动摄像胶片，如题27

图所示。已知A(-12.14,3.06),D(-7.10,-0.52),Pi(0,0),P2(-4.07,-0.5),

麻971X1

P3(-2.10,3.05),九二131。，落=2775。确定机构中各个构件的杆长,并

检验机构是否存在曲柄。

Aci0

解：已知心,yA,xD,%;则设计变量为人.，）'川，和，

杆AB的位移矩阵为

cos%—sin%4（1-cos血）+%sin。"

Jb=sin。"cos。"（1-cos^1,.）-xAsin.Z=2,3①

001

连杆上点B和P满足B、P之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约

束方程为

（X/H一巧>1r+（）71—yP\）2=（XBi~XPiy+（yBi~ypi^2i=2,3②

式中校链点B还满足位移矩阵方程

1\[1

将③式代入运动约束方程②就得到仅含设计变量刈和）曾和两个方程，从

而可解出刈和）4o

在确定出1现、―1、%碓、%2、巾3、％3后，就可建立连杆的位移矩阵为

cos%-sinxPi-xPicos^h+yPising

[Ojc=sindjcos*yPi-xpisin0xi-yplcos%i=2,3④

001

式中：6>.=arclanVp,"y,{ii=1,2,3

xPi-xBi

摇杆上较链点C和D满足C、D之间的距离保持不变的运动约束，为此建

立约束方程为

（"ci一工。）+（"i-%）=（工。一*o）+（丁@一）b）i=2,3⑤

式中校链点C还满足位移矩阵方程

©

将⑥式代入运动约束方程⑤就得到仅含设计变量均和），。和两个方程，从

而可解出必和力。从而可确定出机构中各个构件的杆长分别为

在上述四杆中，如果最短杆与最长杆的杆长之和不大于其余两杆的杆长之

和，并且最短杆是加,或/⑺，则该机构一定存在曲柄。

28.题28图为一个对心直动滚子从动件盘形凸轮机构，凸轮为原动件，图示位

置时凸轮在与滚子接触点B的曲率中心在点。试对机构进行高副低代，并

确定机构的级别，验证替代前后机构的自由度、凸轮1与从动件2之间的速

度瞬心都没有发生变化。

解：增加一个新的构件与原构件1和从动件2分别在高副接触点的曲率

中心0,和原滚子中心以转动副相联接，如图（b）所示，就完成了原高副机构的

高副低代。

该机构去掉原动件和机架后为一个II级杆组，所以原机构为II级机构。

替代前机构的自由度为b=3〃-25-弓=3、2-2、2-1=1；

替代后机构的自由度为尸=3〃-2q-6=3x3-2x4=1:

替

代前凸

轮1与

从动件

2之间

的速度

⑷3)

瞬心儿在过高副接触点B的公法线和瞬心匕、多的连线的交点处，如图（a）

所示；替代后凸轮1与从动件2之间的速度瞬心外在瞬心力和电的连线与瞬心

。和七的连线的交点处，如图（/）所示。即替代前后机构的自由度、凸轮1

与从动件2之间的速度瞬心都没有发生变化。

29.设凸轮机构中从动件的行程为h,凸轮推程运动角为3。。试推导当推程从动

件的运动规律为余弦加速度运动规律时，从动件位移s与凸轮转角B之间的

关系应为：s=4[1一cos心3）]0

2说

解：设余弦加速度方程为。=《8$（图）

对上式积分得

再对上式积分得

再由边界条件5=0时，v=0».?=0；»时，u=0,s=〃；确定出待定

常数和积分常数为

「Crhh2

C]=0；C=­；a=-(—);

92c2品

将上式代入位移表达式得

30.补全题30图不完整的从动件位移、速度和加速度线图，并判断哪些位置有

刚性冲击，哪些位置有柔性冲击。

解：补全后的从动件位移、速度和加速度线图如上右图所示。在运动的开

始时点0,以及7/3、4万/3、5万/3处加速度有限突变，所以在这些位置有柔性

冲击；在2乃/3和几处速度有限突变，加速度无限突变，在理论上将会产生无穷

大的惯性力，所以在这些位置有刚性冲击。

31.在题31图中所示的摆动滚子从动件盘形凸轮机构中，已知摆杆AB在起始位

置时垂直于OB,lOb=40〃〃〃，lAB=80/曲，滚子半径9.=10/所,凸轮

以等角速度⑴逆时针转动。从动件的运动规律是：凸轮转过18(T,从动件以

正弦加速度运动规律向上摆动30。；凸轮再转过150。时，从动件以等加速等减

y

期iQ1囱

速运动运动规律返回原来位置；凸轮转过其余30。时，从动件停歇不动。试

写出凸轮理论廓线和实际廓线的方程式。

解：摆杆的最大摆角为30。，推程为18",回程为15",远休止角为0。，

近休止角为30。，确定从动件的运动规律为

建立直角坐标系，将坐标原点选在点0,才轴沿0A方向，如上右图所示。

凸轮的基圆半径4=lOH=40〃〃〃；

22

lOA="J+1°；=V80+40=89.44m〃z；

I40

=arclan-=arclan——=26.57°：

由上图中的几何关系可以写出

cosbsinJ

式中［凡/=

-sine)cost)

所以凸轮理论轮廓线的方程式为

由于滚子半径乙=10〃〃〃，所以凸轮实际轮廓线的方程式为

32.推证渐开线齿轮法向齿距p“、基圆齿距外和分度圆齿距〃之间的关系为式为

p”=ph=pcosa=勿"cosa。

证明：根据渐开线的性质有〃〃=%，设齿轮的齿数为Z,模数为〃7,基圆

半径为小分度圆半径为〜压力角为a

因为zpb=27rrb,zp=2m。

又因为rh=rcosa

所以Pb=pcosa

因为p=加7?

所以Pn=Pb==mneosa

证毕。

33.用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，刀具为标准齿条型刀具，其基本参数为:

tn=2mm,a=20,正常齿制。

（1）齿坯的角速度co=时，欲切制齿数z=90的标准齿轮，确定

齿坯中心与刀具分度线之间的距离。和刀具移动的线速度I，；

（2）在保持上面的。和口不变的情况下，将齿坯的角速度改为①=

这样所切制出来的齿轮的齿数z和变位系数X各是多少？齿轮是正变位齿

轮还是负变位齿轮？

（3）同样，保持々和「不变的情况下，将齿坯的角速度改为s=Jt,

22.1/§

所切制出来的齿轮的齿数z和变位系数工各是多少？最后加工的结果如

何？

解：（1）、齿坯中心与刀具分度线之间的距离为

刀具移动的线速度为

（2）、齿轮的齿数z为

变位系数工为

因为变位系数为负，所以齿轮是负变位齿轮。

（3）、齿轮的齿数z为

殳位系数x为

因为变位系数为正，所以齿轮是正变位齿轮。但由于齿数不是整数，最

后加工的结果将产生乱齿现象，得不到一个完整的齿轮。

34.一个渐开线标准正常直齿圆柱齿轮，齿轮的齿数Z=17,压力角a=20。，模

数m=3mmo试求在齿轮分度圆和齿顶圆上齿廓的曲率半径和压力角。

解：如题34图所示，由已知条件得

tnz3x17

7•=——=------=

22

所以在齿轮分度圆上齿廓的压

力角和曲率半径分别为

在齿轮齿顶圆上齿廓的压力角

和曲率半径分别为

35.推证渐开线齿轮不根切的最小变

位系数