天津市滨海新区塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷一、单选题（共9个小题，每小题5分，共45分）1．已知集合，，，（）A． B． C． D．2．“”是“不等式成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若，，，则（）A． B． C． D．4．向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．5．经过点作圆的切线，则切线的方程为（）A． B． C． D．6．三棱锥中，平面，三角形为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．8．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象关于点对称C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D．若，则函数的最大值为9．如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形，，，平面，，，，则六面体的体积为（）A．376 B．600 C．448 D．288二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）10．已知是虚数单位，________．（用数字作答）11．已知，且，则________．12．展开式中项的系数为________．（用数字作答）13．已知直线与圆相交于，两点，且，则实数________．14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有2名男生参加劳动学习的概率为________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率________．15．在三角形中，是边的中点，是线段的中点．设，，试用，表示，________；若，的面积为，则的最小值为________．三、解答题（共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分14分）在三角形中，内角，，的对边分别为、、，已知，，．（1）求角的大小；（2）求边；（3）求的值．17．（本题满分15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．（1）求证平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．18．（本题满分15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，且，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．19．（本题满分15分）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（1）求和的通项公式；（2）若；①求数列的前项和．②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．20．（本题满分16分）已知函数．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）证明：对任意的，有；塘沽十三中2024-2025学年度第一学期高三年级第二次月考数学学科答案一、选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．C7．C8．D9．A二、填空题10．11．12．13．414．15．616．，因为，所以，所以又，所以；（2）在中，由余弦定理及，，，可得，解得．（3）由正弦定理，可得．因为，故．因此，．（3）17．（1）证明见解析（2）（3）【详解】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，由是的中点，故，且，则有、，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则有、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，分别取，则有、、，，即、，则，故平面与平面的夹角余弦值为；（3）由，平面的法向量为，则有，即点到平面的距离为．18．（1）；（2）或．【详解】试题分析：（1）根据所给的条件，用椭圆的基本量，，表示，解得方程；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示和，并且根据条件，表示坐标的关系，代入根与系数的关系后，消去或，得到关于斜率的方程，解得斜率，求得直线方程．试题解析：（1）依题意，，因为，故．因为，故，故，故椭圆的标准方程为．（2）若与轴垂直，则的方程为，，为椭圆短轴上两点，不符合题意．若与轴不垂直，设的方程，由，得，．设，，则，，由，得，，，，，解得，直线的方程为，即或．考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系．19．（1），（2）①；②【分析】（1）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，根据条件直接求出首项为，公差为及公比为，即可求出结果；（2）由（1）得到，①利用错位相减法即可求出结果；②由①得到，再利用数列的增减性，求出的最大值，即可求出结果．【详解】（1）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，因为，且，所以，解得或（舍去）所以，又，，得到，，联立解得，，所以．（2）由（1）知，①③，所以④，由③-④得到，整理得到；②因为，由①得到，又因为，所以，得到，令，则，易知，当时，，当时，，由，得到，所以当时，递增，时，递