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文档简介
内蒙古师大锦山实验中学2025届高考适应性考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.2.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.3.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.4.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”5.设,则A. B. C. D.6.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()A. B. C. D.7.设,随机变量的分布列是01则当在内增大时,()A.减小,减小 B.减小,增大C.增大,减小 D.增大,增大8.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.29.设是等差数列的前n项和,且,则()A. B. C.1 D.210.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()A. B.3 C. D.211.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.设,,,则,,三数的大小关系是A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为__________.14.已知函数,若对于任意正实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是_______.15.设实数,满足,则的最大值是______.16.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.18.(12分)设点分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为1.(1)求椭圆的方程;(2)如图,直线与轴交于点,过点且斜率的直线与椭圆交于两点,为线段的中点,直线交直线于点,证明:直线.19.(12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63520.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门,后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地,高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人,现从中随机抽取40人进行选科情况调查,用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科,得到如下的统计表:序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班,每位老师执教2个选修班(当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的1位老师只教1个班).已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人,用样本估计总体,则化学、生物两科的教师人数是否需要调整?如果需要调整,各需增加或减少多少人?(2)请创建列联表,运用独立性检验的知识进行分析,探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求,仅允许选修了历史科目,且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人,设具备高校专业报名资格的人数为,用样本的频率估计概率,求的分布列与期望.21.(12分)已知等差数列满足,公差,等比数列满足,,.求数列,的通项公式;若数列满足,求的前项和.22.(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)若函数存在零点,求的求值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题2、A【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.3、B【解析】
由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.4、B【解析】
解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.5、C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.6、C【解析】
设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值.【详解】设,则,记,,易知是增函数,且的值域是,∴的唯一解,且时,,时,,即,由题意,而,,∴,解得,.∴.故选:C.【点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对和的关系的处理是解题关键.7、C【解析】
,,判断其在内的单调性即可.【详解】解:根据题意在内递增,,是以为对称轴,开口向下的抛物线,所以在上单调递减,故选:C.【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差,属于中档题.8、B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.9、C【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件,求得的值.【详解】由于等差数列满足,所以,,.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,属于基础题.10、D【解析】
根据抛物线的定义求得,由此求得的长.【详解】过作,垂足为,设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于,所以,所以,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.11、C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.12、C【解析】
利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,,,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】分析:由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解:由题意可知了,比赛可能的方法有种,其中田忌可获胜的比赛方法有三种:田忌的中等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的中等马,结合古典概型公式可得,田忌的马获胜的概率为.点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.14、【解析】
根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.【详解】因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,故对任意的恒成立,,令,则,当,即时,该函数在上单调递减,则;当,即时,,当,即时,该函数在上单调递增,则,所以,当时,因为,,所以,解得;当时,,满足条件;当时,,且,所以,解得,综上,,故答案为:【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.15、1【解析】
根据目标函数的解析式形式,分析目标函数的几何意义,然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标,即可求解.【详解】作出实数,满足表示的平面区域,如图所示:由可得,则表示直线在轴上的截距,截距越小,越大.由可得,此时最大为1,故答案为:1.【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用,考查学生的计算能力,考查数形结合的数学思想.16、【解析】
解法一:曲线上任取一点,利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值;解法二:曲线函数解析式为,由求出切点坐标,再计算出切点到直线的距离即可所求答案.【详解】解法一(基本不等式):在曲线上任取一点,该点到直线的距离为,当且仅当时,即当时,等号成立,因此,曲线上任意一点到直线距离的最小值为;解法二(导数法):曲线的函数解析式为,则,设过曲线上任意一点的切线与直线平行,则,解得,当时,到直线的距离;当时,到直线的距离.所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算,可转化为利用切线与直线平行来找出切点,转化为切点到直线的距离,也可以设曲线上的动点坐标,利用基本不等式法或函数的最值进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)因为,所以,所以,即,又因为,所以数列为等差数列,且公差为1,首项为1,则,即.设的公差为,则,所以(),则(),所以,因此,综上,.(2)设数列的前n项和为,则两式相减得,所以,设则,所以.18、(1)(2)见解析【解析】
(1)设,求出后由二次函数知识得最小值,从而得,即得椭圆方程;(2)设直线的方程为,代入椭圆方程整理,设,由韦达定理得,设,利用三点共线,求得,然后验证即可.【详解】解:(1)设,则,所以,因为.所以当时,值最小,所以,解得,(舍负)所以,所以椭圆的方程为,(2)设直线的方程为,联立,得.设,则,设,因为三点共线,又所以,解得.而所以直线轴,即.【点睛】本题考查求椭圆方程,考查直线与椭圆相交问题.直线与椭圆相交问题,采取设而不求思想,设,设直线方程,应用韦达定理,得出,再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形.19、(1)无关;(2),.【解析】
(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而可得列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得.因为3.030<3.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X~B(3,),从而X的分布列为X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=20、(1)不需调整(2)列联表见解析;有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关(3)详见解析【解析】
(1)可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2,推理得对应开设选修班的数目分别为15,1.推理知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据列联表计算观测值,根据临界值表可得结论.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望.【详解】(1)经统计可知,样本40人中,选修化学、生物的人数分别为24,11,则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2.根据每个选修班最多编排50人,且尽量满额编班,得对应开设选修班的数目分别为15,1.现有化学、生物科目教师每科各8人,根据每位教师执教2个选修班,当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的一位教师执教一个班的条件,知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据表格中的数据进行统计后,制作列联表如下:选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则,有的把握判断学生”选择
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