直线的一般式方程(附答案)

精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理直线的一般式方程[学习目标]1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－eq\f(A,B)，在y轴上的截距为－eq\f(C,B)；当B＝0时，在x轴上的截距为－eq\f(C,A)；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－eq\f(C,A)，－eq\f(C,B).3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为－eq\f(4,3)，且不经过第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0(2)直线eq\r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.eq\r(3)B.－5C.eq\f(9,5)D.－3eq\r(3)答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－eq\f(4,3)的有：B、C两项.又y＝－eq\f(4,3)x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.(2)令y＝0则x＝－3eq\r(3).跟踪训练1一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵点A(－2,2)在直线上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))第二个方程组无解.故所求直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.题型二直线方程的应用例2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq\f(3,4).(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq\f(3,4).又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq\f(4,3)，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.跟踪训练2a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.(1)平行；(2)垂直.解当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝eq\f(－1＋a,2)，b1＝2；直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝eq\f(1,a)，b2＝－eq\f(1,a).(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，得eq\f(1,a)＝eq\f(－1＋a,2)，a≠－eq\f(1,2)，解得a＝－1或a＝2.所以当a＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，即eq\f(1,a)·eq\f(?－1＋a?,2)＝－1，解得a＝eq\f(1,3).所以当a＝eq\f(1,3)时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)答案m≠－3解析若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线.(2)解①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－eq\f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－?m2－m?，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1.②因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝eq\f(4m－1,2m2＋m－3)，所以eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.))所以m＝－eq\f(1,2)或m＝2.跟踪训练3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明直线方程变形为y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，它表示经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，斜率为a的直线.∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限，∴直线l必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA的斜率k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a≥3.∴a的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，①,2m2＋m－1≠0.②))由①，得m＝－1或m＝eq\f(4,3).当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m＝eq\f(4,3)时，②式成立，符合题意.故m＝eq\f(4,3).1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠02.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝04.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A.－1B.1C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)5.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.一、选择题1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为()A.－2B.2C.－3D.33.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A.C＝0，B>0 B.A>0，B>0，C＝0C.AB<0，C＝0 D.AB>0，C＝04.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于()A.－3B.3C.eq\f(1,3)D.－eq\f(1,3)5.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是()A.a≠±1 B.a≠1，a≠2C.a≠－1 D.a≠±1，a≠27.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2.答案C解析由ax＋by＝c，得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(c,b)，∵ab<0，∴直线的斜率k＝－eq\f(a,b)>0，直线在y轴上的截距eq\f(c,b)<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案A解析由题意，得所求直线斜率为eq\f(1,2)，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.4.答案B解析由两直线垂直，得eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，解得m＝1.5.答案－3或1解析两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以eq\f(a,3)＝eq\f(1,a＋2)≠eq\f(－2,1)，解得a＝－3或a＝1.课时精练答案一、选择题1.答案B解析直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案D解析由已知得m2－4≠0，且eq\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，解得：m＝3.3.答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案D解析由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－eq\f(1,3).5.答案A解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3).所以直线必过点(3,2).6.答案A解析因为直线x＋ay＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±1.7.答案C解析将l1与l2的方程化为斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案eq\f(3,5)解析由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝eq\f(3,5).9.答案2解析线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.10.答案(－∞，－eq\f(1,2))∪(0，＋∞)解析当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－eq\f(a,a＋1)，只要－eq\f(a,a＋1)>1或者－eq\f(a,a＋1)<0即可，解得－1<a<－eq\f(1,2)或者a<－1或者a>0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－eq\f(1,2))∪(0，＋∞).11.答案2x＋3y＋4＝0解析由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＋4＝0，,2a2＋3b2＋4＝0，))易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.三、解答题12.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，当然相等，所以a＝2，方程即为3x＋y＝0.当a≠2时，截距存在且均不为0，所以eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－?a＋1?＞0，,a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs