2025届高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第1讲随机抽样创新教学案含解析新人教版

PAGE第九章统计与统计案例第1讲随机抽样[考纲解读]1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本．2．了解分层抽样与系统抽样的意义，能利用分层抽样与系统抽样解决实际问题．(重点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲内容为高考中的冷考点．预料2024年高考对本讲将会以实际应用为背景命题考查分层抽样或系统抽样，同时也可能与统计相结合命题．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中、低档题目为主.1.简洁随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个eq\o(□,\s\up1(01))不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都eq\o(□,\s\up1(02))相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样．(2)最常用的简洁随机抽样的方法：eq\o(□,\s\up1(03))抽签法和eq\o(□,\s\up1(04))随机数表法．2．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后依据事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所须要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．①先将总体的N个个体编号；②确定eq\o(□,\s\up1(01))分段间隔k，对编号进行分段，当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n)；当eq\f(N,n)不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k＝eq\f(N－x,n)；③在第1段用eq\o(□,\s\up1(02))简洁随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④依据肯定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号eq\o(□,\s\up1(03))l＋k，再加k得到第3个个体编号eq\o(□,\s\up1(04))l＋2k，依次进行下去，直到获得整个样本．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成eq\o(□,\s\up1(01))互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)应用范围：当总体是由eq\o(□,\s\up1(02))差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．注：三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简洁随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取—总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采纳简洁随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采纳简洁随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成1．概念辨析(1)简洁随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)系统抽样在起始部分抽样时采纳简洁随机抽样．()(3)在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体抽取到的可能性越大．()(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，须要剔除2个学生，这样对被剔除者不公允．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本答案A解析从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．(2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案D解析因为实行简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等．故选D.(3)某中学将参与期中测试的1200名学生编号为1,2,3，…，1200，现从中抽取一个容量为50的样本进行学习状况调查，按系统抽样的方法分为50组，假如第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为()A．68 B．92C．82 D．170答案B解析第四组中抽取的学生编号为20＋(1200÷50)×3＝92.(4)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案18解析由题意，知应从丙型产品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝60×eq\f(3,10)＝18(件)．题型一简洁随机抽样1．下列抽样检验中，适合用抽签法的是()A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验答案B解析A，D中总体的个体数较多，不相宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂的产品质量有区分，也不相宜用抽签法．故选B.2．利用简洁随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若其次次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14) D.eq\f(10,27)答案C解析依据题意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).3．(2024·衡水二模)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，从中抽取60个样本，如下供应是随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列起先向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是________．答案578解析从第6行第6列的数起先，满足条件的6个编号依次为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.1．简洁随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少．(2)是逐个抽取．(3)是不放回抽取．(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简洁随机抽样．2．抽签法与随机数表法的适用状况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的状况，随机数表法适用于总体中个体数较多的状况．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀．1．下面的抽样方法是简洁随机抽样的为()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的看法D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验答案D解析A，B是系统抽样，C是分层抽样，D是简洁随机抽样．2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字起先由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070143699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07C．02 D．01答案D解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.题型二系统抽样(2024·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素养，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生 B．200号学生C．616号学生 D．815号学生答案C解析依据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为eq\f(1000,100)＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.结论探究本例条件不变，则被抽到的学生的最小编号为________，最大编号为________．答案6996解析依据题意，可知此系统抽样的抽样间隔为eq\f(1000,100)＝10，共分100组，46号在第5组，故被抽到的最小编号在第一组，是46－10×4＝6，最大编号在第100组，是46＋10×95＝996.系统抽样的留意点(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)若不变更抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．(3)抽样规则变更，应留意每组抽取一个个体这一特性不变．(4)假如总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简洁随机抽样的方法．1．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简洁随机抽样抽取的号码为()A．16 B．17C．18 D．19答案C解析∵从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，∴系统抽样的分段间隔为eq\f(1000,40)＝25.设第一组随机抽取一个号码为x，则第18组的抽取编号为x＋17×25＝443，∴x＝18.2．(2024·安徽芜湖模拟)为了解中学生在寒假期间每天自主学习的时间，某校采纳系统抽样的方法，从高三年级900名学生中抽取50名进行相关调查．先将这900名中学生从1到900进行编号，求得间隔数k＝eq\f(900,50)＝18，即每18名中学生中抽取1名，若在编号为1～18的中学生中随机抽取1名，抽到的中学生的编号为6，则在编号为37～54的中学生中抽到的中学生的编号应当是________．答案42解析依据题意，采纳系统抽样，且分段间隔为18，首组所取的号码为6，故后面的组抽取的号码为18n＋6(1≤n≤49，n∈N)，令37≤18n＋6≤54，得n＝2，故所抽取的号码为2×18＋6＝42.题型三分层抽样角度1求总体容量或样本容量1．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012答案B解析甲社区每个个体被抽到的概率为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N＝eq\f(101,\f(1,8))＝808.2．(2024·安徽六校教化探讨会联考)某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品的数量之比为2∶3∶5，为探讨这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为()A．15 B．25C．50 D．60答案C解析解法一：某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A型产品被抽取的抽样比为eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5).因为A产品有10件，所以n＝eq\f(10,\f(1,5))＝50.故选C.解法二：由题意，得eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(10,n)，解得n＝50.故选C.角度2求每层中的样本数量3．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要依据各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是()A．甲应付51eq\f(41,109)钱B．乙应付32eq\f(24,109)钱C．丙应付16eq\f(56,109)钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案B解析依题意由分层抽样可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，则甲应付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(钱)；乙应付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(钱)；丙应付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(钱)．分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：依据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)分层抽样的计算应依据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量)”．提示：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必需满足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)．1．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12)，则总体中个体的个数为()A．150 B．200C．500 D．600答案D解析运用分层抽样的方法，在不同层中每个个体被抽到的概率相等，都等于eq\f(样本容量,总体容量).设总体中个体的个数为N，则eq\f(50,N)＝eq\f(1,12).解得N＝600.故选D.2．某校共有老师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从全部师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100，那么n＝()A．200 B．300C．400 D．500答案A解析每个个体被抽到的概率等于eq\f(100,800)＝eq\f(1,8)，应抽取的老师人数为200×eq\f(1,8)＝25，应抽取的女学生人数为600×eq\f(1,8)＝75，故样本容量n＝25＋75＋100＝200.3．(2024·河北一模)随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成肯定的损害，“低头族”由此而来．为了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采纳分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例如图所示，则这个群体里老年人人数为()A．490 B．390C．1110 D．410答案B解析由题图，知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例为26%,34%,40%，则这个群体里老年人人数为26%×1500＝390.组基础关1．(1)某学校为了了解2024年高考数学学科的考试成果，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从30名家长中抽取5名参与座谈会．Ⅰ.简洁随机抽样法'Ⅱ.系统抽样法'Ⅲ.分层抽样法问题与方法配对正确的是()A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ答案A解析(1)是分层抽样，(2)是简洁随机抽样．2．(2024·北京西城区模拟)某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库(简称“CIMS系统”)中随机选取参与测试的学生，现采纳分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测，那么应抽取女生的人数为()A．12 B．15C．18 D．20答案A解析某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采纳分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测，则应抽取女生的人数为30×eq\f(400,1000)＝12.3．(2024·唐山三模)为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验．先将500件产品编号为000,001,002，…，499，在随机数表中任选一个数起先，例如选出第6行第8列的数4起先向右读(为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是()162277943949544354821737932378844217533157245506887704744767630163785916955567199810507175A．548 B．443C．379 D．217答案D解析从第6行第8列的数4起先向右读，则选出的前4个号码是：439,495,443,217，∴选出的第4个号码是217.4．某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且从甲、丙两个车间总共抽取的产品数量为60件，则乙、丁两车间生产的产品总共有()A．1000件 B．1200件C．1400件 D．1600件答案D解析由已知条件得，抽样比为eq\f(140,2800)＝eq\f(1,20)，∵从甲、丙两个车间总共抽取的产品数量为60件，∴从乙、丁两个车间抽取的产品数量为140－60＝80件，∴乙、丁两车间生产的产品总共有eq\f(80,\f(1,20))＝1600件．5．(2024·保定二模)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为m∶3∶2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了45件，则m＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析设该工厂生产A型号的产品数量为mk，则生产B型号的产品数量为3k，生产C型号的产品数量为2k，则eq\f(45,mk)＝eq\f(120,mk＋3k＋2k)，解得m＝3.6．(2024·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应当为()A．480 B．481C．482 D．483答案C解析依据系统抽样的定义，知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤eq\f(518,25)，n的最大值为20，得最大的编号为7＋25×19＝482.7．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将学生随机地从1～160编号，按编号依次平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)．若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．答案6解析设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是eq\f(160,20)×15＋x＝126，∴x＝6.8．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种类40103020现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测，若采纳分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________．答案6解析因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以依据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类食品种数为eq\f(10,100)×20＝2，抽取的果蔬类食品种数为eq\f(20,100)×20＝4，所以