初中数学数学论文几道应用题的解法探讨

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今年四月份，我市小学生参与了第一届中国小学生“九章杯”数学竞赛。本文试对初赛试题中的几道应用题的解法，谈谈算术和方程两种解法的运用。

例１．（初赛题第７小题）一次数学测验，六（１）班全班平均９１分，男生平均８９分，女生平均９２．５分。这个班女生有２４人，男生有（）人。

此题是一道与平均数有关的应用题，解题所用到的“总数＝平均数×总份数”学问学生已学过。题中的等量关系是：男生的总分＋女生的总分＝全班的总分。现给出它的方程解法和算术解法，以比较它们的异同点，从而沟通学生的解题思路。

解法１（方程法）：设该班有男生ｘ人。列表分析如右表格。从表中关系易得方程：

人数平均分总分__________________________________________________________________男生ｘ８９８９ｘ__________________________________________________________________女生２４９２．５９２．５×２４__________________________________________________________________全班２４＋ｘ９１９１（２４＋ｘ）__________________________________________________________________

８９ｘ＋９２．５×２４＝９１（２４＋ｘ）

解得：ｘ＝１８

答：男生有１８人。

解法２（算术法）：分析：全班平均９１分，是全班的男女生所得成果通过移多补少的法则而得到的，即把女生高于平均分的成果，补给低于平均分的男生后，才彼此相等的。由此列算式：

（１）女生高于全班平均分的总分是多少？也就是男生须要补给的总分。

（９２．５－９１）×２４＝３６（分）

（２）男生平均低于全班平均分的是多少？

９１－８９＝２（分）

（３）男生共有多少人？

３６÷２＝１８（人）。

列综合算式：（９２．５－９１）×２４÷（９１－８９）

答：（略）。

将以上两种解法进行比较，对所列方程运用同解方程的变形，可得如下算式：

∵８９ｘ＋９２．５×２４＝９１（２４＋ｘ）

８９ｘ＋９２．５×２４＝９１×２４＋９１ｘ

９１ｘ－８９ｘ＝９２．５×２４－９１×２４

ｘ（９１－８９）＝（９２．５－９１）×２４

∴ｘ＝（９２．５－９１）×２４÷（９１－８９）

从中可清晰看到：

（１）两种解法用到的数量关系和基础学问是相同的，都须要分析已知量和未知量，找出其中的相互关系，其主要区分在于解题思路不同。

（２）算术解法除用到数量关系“总分＝平均分×总人数”之外，还用到“总人数＝总分÷平均分”这一形式，列式时须要进行逆向思索。用算术解法，思维要深刻一些，即认识到某个团体中的平均成果是通过该团体中的个体移多补少而得到的，其思路较曲折困难。

（３）算术解法中的综合算式事实上与未知数在等式一边已基本解出的方程基本相像，只通过数的四则运算就可得到答案，相对于解方程的运算要简洁简洁一些。

（４）列方程解题，由于未知数ｘ作为一个已知量参与列式和运算，较易找出已知与未知间的相等关系列出方程，一般不须要逆向思索，解题思路较简捷清晰。

例２．（初赛题第１７小题）商店以每双６．５０元购进一批凉鞋，售价每双８．７０元，当卖剩１／４时，不仅收回了购进这批凉鞋所付出的款，而且已获利２０元，这批凉鞋有（）双。

这是一道商品买卖中有关价格的应用题，所用到的基础学问“单价×数量＝总价”学生是相当熟识的。本题中的等量关系是：商店售出这批鞋总量的（１－１／４）双所得款减去购进这批鞋的款等于２０元。

解法１（方程法）：设这批凉鞋有ｘ双。

分析：商店购进这批凉鞋的款是６．５０ｘ元，商店已售出的凉鞋是（１－１／４）ｘ双，得款８．７０×（１－１／４）ｘ。由题意得方程：

８．７０×（１－１／４）ｘ－６．５０ｘ＝２０

解得：ｘ＝８００

答：这批凉鞋有８００双。

解法２（算术法）：

分析：这批凉鞋售价每双８．７０元，只售出总量的（１－１／４）双，这就相当于这批鞋全部售出，实际每双售价８．７０×（１－１／４）。这是解答本题的关键之处，受到方程解法所列方程的启示，运用乘法交换率而得到，干脆理解颇为困难。要使学生通过这个思维的障碍，可以出一些铺垫性小题，加以引导启发。（１）有１００双鞋，每双售价１０元，当卖剩１／４时，共卖了多少元？（２）有１００双鞋，每双售价１０元，而实际售价每双少卖原售价的１／４，问这批鞋全部售完共卖了多少元？（３）比较以上两题答案，你可得出什么结论？因此，卖出的鞋买进卖出的差价是：８．７０×（１－１／４）－６．５０。这批鞋总获利２０元，即全部售出后的前后差价总数是２０元，所以可得综合算式：

２０÷［（１－１／４）×８．７０－６．５０］

计算出答案与方程解同。

比较本题两种解法，可以明显看到，算术解法的思维要比方程解法曲折困难得多。因而对于一些困难的应用题，为达到顺当解题的目的，要提倡学生首先用方程解题。

从以上两个例题，我们还可以看出：对于困难的应用题，采纳方程解法要优于算术解法。但也不能一概而论，对详细的题目要详细分析，有些应用题，采纳算术解法更快更干脆。

例３．（初赛题第１２小题）一条绳子第一次剪掉１米，其次次剪掉剩余部分的１／２，第三次剪掉１米，第四次剪掉剩余部分的２／３，第五次剪掉１米，第六次剪掉剩余部分的３／４，这条绳子还剩１米。这条绳子原长（）米。

这种类型的题学生是常见的，但很少会遇到剪得这么多次的情形。其等量关系是：一条绳长减去前后剪过六次的长等于１（米）。

解法１（方程法）：设这条绳子原长ｘ米。由题意得：

第一次剪掉后剩下：ｘ－１（米），

其次次剪掉后剩下：ｘ－１－１／２（ｘ－）米，

……

第六次剪掉后剩１米，列出方程为：

ｘ－１－１／２（ｘ－１）－１－２／３［ｘ－２－１／２（ｘ－１）］－３／４｛ｘ－２－１／２（ｘ－１）－２／３［ｘ－２－１／２（ｘ－１）］｝＝１

解得：ｘ＝３３

答：这条绳子原长３３米。

这是一个多么繁琐冗长的方程，解起来相当麻烦，看来单纯用方程解此题是不太便利的。

解法２（算术法）：

分析：这条绳子共剪过六次，从前往后考虑问题，障碍重重，越来越难。可是我们用“逆推法”倒过来想，从最终的结果动身，依次往前推，就能顺当地列出算式：

（１）第六次剪掉之前绳长是：１÷（１－３／４）＝４（米）

（２）第四次剪掉之前绳长是：（４＋１）÷（１－２／３）＝１５（米）

（３）其次次剪掉之前绳长是：（１５＋１）÷（１－１／２）＝３２（米）

（４）第一次剪掉之前绳长即原绳长是：３２＋１＝３３（米）

列综合算式为：｛［１÷（１－３／４）＋１］÷（１－２／３）＋１｝÷（１－１／２）＋１

答：（略）。

通过以上三例分析，不难看出，算术和方程两种解法对于困难的应用题，运用起来难易各有差别，但实质上是可沟通的。九年义务教化小学数学教学大纲指出：小学高年级学生要进一步提高用算术方法和用方程解应用题的实力。老师们在教学中两种解法都应当让学生驾驭