2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.11.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系教师用书教案新人教A版选修1-1

PAGE8-1.1.学习目标核心素养1.了解命题的四种形式，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2．理解并驾驭四种命题之间的关系及其真假性之间的关系．(易混点)3．能够利用命题的等价性解决有关问题．(难点)借助命题的等价性解题培育数学抽象、逻辑推理素养.1．四种命题的概念及结构(1)四种命题的概念对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，假如恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，假如恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．(2)四种命题结构2．四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思索：(1)“a＝b＝c＝0”(2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中，真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．1．命题“若m＝10，则m2＝100”A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C．]2．给出以下命题：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形的对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤[互为逆命题有③和⑥，②和④；互为否命题有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题有①和③，④和⑤.]3．已知命题p：若x＝eq\f(π,3)，则cosx＝eq\f(1,2)，则命题p的逆命题为________；命题p的否命题为________；命题p的逆否命题为________．[答案]若cosx＝eq\f(1,2)，则x＝eq\f(π,3)若x≠eq\f(π,3)，则cosx≠eq\f(1,2)若cosx≠eq\f(1,2)，则x≠eq\f(π,3)写出原命题的其他三种命题【例1】写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若sinα＝eq\f(1,2)，则tanα＝eq\r(3)；(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；(4)当1<x<2时，x2－3x＋2<0；(5)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[解](1)逆命题：若tanα＝eq\r(3)，则sinα＝eq\f(1,2).否命题：若sinα≠eq\f(1,2)，则tanα≠eq\r(3).逆否命题：若tanα≠eq\r(3)，则sinα≠eq\f(1,2).(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．(4)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1<x<2.否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.(5)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.1．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再依据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能变更条件和结论．2．写否命题时应留意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个随意的随意两个全部的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能eq\o([跟进训练])1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并推断它们的真假．(1)正数a的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．[解](1)原命题：若a是正数，则a的立方根不等于0，是真命题．逆命题：若a的立方根不等于0，则a是正数，是假命题．否命题：若a不是正数，则a的立方根等于0，是假命题．逆否命题：若a的立方根等于0，则a不是正数，是真命题．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，真命题．四种命题的关系及真假推断【例2】(1)对于原命题：“已知a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”A．0个 B．1个C．2个 D．4个(2)推断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．[思路点拨](1)只需推断原命题和逆命题的真假即可．(2)思路一eq\x(写出原命题的逆否命题)→eq\x(推断其真假)思路二eq\x(\s\up(原命题与逆否命题同,真同假即等价关系))→eq\x(\s\up(推断原命,题的真假))→eq\x(\s\up(得到逆否命,题的真假))(1)C[当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C．](2)[解]法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－eq\f(1,4)<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．推断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题须要简洁的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只推断一个即可.eq\o([跟进训练])2．推断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”(2)令x＝1，y＝－2，满意x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满意x>3，但x2－x－6＝6>0，不满意x2－x－6≤(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的随意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用[探究问题]1．命题“若x≠1，则x2－2x－3≠0”提示：等价命题为“若x2－2x－3＝0，则x＝1”2．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了探讨便利，我们可以探讨哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可探讨其逆否命题．【例3】证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[思路点拨]证明其逆否命题成立⇒原命题成立．[证明]原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，干脆推断命题的真假较为困难，这时可以转化为推断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．eq\o([跟进训练])3．推断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2[解]原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集推断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，根的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝因为a≥2，所以4a即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)依据四种命题的结构写出所求命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．推断命题的真假可以依据互为逆否的命题真假性相同来推断，这也是反证法的理论基础．1．推断正误(1)命题“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”． ()(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题． ()(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若a>－3，则a>－6”A．1 B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.3．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断真假．(1)若a>b，则ac2>