2024-2025学年北京市西城区第八中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第八中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x−1≤x≤1，B={x|xx−2≤0}A.x0≤x≤1 B.x−1≤x≤2 C.x−1≤x<22.命题“∀x∈0,+∞，ex>lnA.∃x∈0,+∞，ex>lnx B.∀x∈0,+∞，ex<lnx3.已知复数z满足z−i=1，则z的取值范围是(

)A.0,1 B.0,1 C.0,2 D.0,24.若双曲线x2a2−y2A.3x±y=0 B.x±3y=0 5.直线l1:3a+1x+2ay−1=0和直线l2:ax−3y+3=0，则“a=A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A.该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin2x+π6

B.函数y=f(x)的图象关于直线x=7π12对称

C.函数y=f(x)的图象关于点−5π127.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为A.216 B.22 C.8.函数fx=2xA. B.

C. D.9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(

)(参考数据：ln2≈0.7,lnA.5 B.6 C.7 D.810.已知函数f(x)=x2+x,x≤0,lnxx,x>0,,g(x)=f(x)−ax，若g(x)A.0,2e B.0,12e C.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知向量b=4,2，若向量a在b上的投影向量为12b，且a与b不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标12.已知(2x+y)n展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为

．13.已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，PF为直径的圆被x轴截得的弦长为

．14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章(如图1)，该形状称为“半正多面体”(由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体)，每个正方形面上均刻有不同的印章(图中为多面体的面上的部分印章).图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”(其各顶点均在一个正方体的面上)，若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为

．

15.已知数列an中各项均为正数，且an+1①对任意的n∈N∗，都有②数列an③若0<a1<2，则当n≥2④若a1>2，则数列其中正确结论是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在▵ABC中，b2(1)求∠A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，求▵ABC的面积．条件①：cosB=条件②：a+b=12；条件③：c=12．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．17.(本小题12分)已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1=2(1)证明：AB⊥AC；(2)若侧面ACC1A1是正方形，求平面AB18.(本小题12分)《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》(单位：m)(部分摘抄)：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.306.505.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：)：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望EX(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩(单位：m)如下表：

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a，用s12,s22分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当s19.(本小题12分)已知椭圆C:y2a2+x2(1)求C的方程；(2)过点−2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点．20.(本小题12分)已知函数fx(1)若a=0，求曲线y=fx在点P(2)若fx在x=1处取得极值，求f(3)若fx在1,e上的最小值为−2a，求a的取值范围．21.(本小题12分)已知有限数列A:a1,a2,⋯,am为单调递增数列．若存在等差数列B:b1,b2(1)判断下列数列是否为Ω数列(直接写出结果)：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．(2)若a<b<c(a,b,c∈R)，证明：数列a，b，c为Ω数列；(3)设M是集合{x∈N|0≤x≤63}的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．

参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.B

6.B

7.A

8.A

9.A

10.B

11.(1,3)(答案不唯一，设a=(x,y)，满足2x+y−5=0即可，但(2,1)不得分)12.80x13.4

14.5+215.②③④

16.解：(1)因为

b2+c2−a又因为

A∈(0,π)

，所以

A=π3(2)由(1)知

A=π3若选①②：

cosB=1114

，

由

cosB=1114

，可得

由正弦定理

asinA=bsinB

，可得

a32=又由余弦定理

a2=b2+c即

c2−5c−24=0

，解得

c=8

或

c=−3

(舍去所以

▵ABC

的面积为

S=12若选①③：

cosB=1114

且

由

cosB=1114

，可得

因为

A+B+C=π

，可得

sinC=sin由正弦定理

asinA=csinC

，可得

a所以

▵ABC

的面积为

S=12若选：②③：

a+b=12

且

c=12

，因为

b2+c2−a2=bc

，可得解得

b=0

，不符合题意，(舍去)．

17.解：(1)取AB的中点O，连接AB1、OD、因为∠B1BA=60∘因为O为AB的中点，则OB因为AB⊥B1D，OB1∩B1D=∵OD⊂平面OB1D∵O、D分别为AB、BC的中点，则OD//AC，因此，AB⊥AC；(2)∵AA1=BB1∵O、D分别为AB、BC的中点，则OD=1由(1)可得OB∵OD//AC，BB1//AA1，故OD与B又因为OD⊥AB，AB∩BB1=B，AB,BB1⊂平面∵OB1⊂平面AA1B1B，则以点O为坐标原点，OB、OD、OB1所在直线分别为x、y、则A−1,0,0、D0,1,0、C−1,2,0、BBB1=−1,0,3，设平面ADC1的法向量为n取x=1，则n=易知平面AA1B1B因此，平面ABB1A1与平面

18.(1)甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为410(2)设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件A,B,C，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有PA=25，X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X可能的取值为0，1，2，3，PX=0PX=1PX=2PX=3估计X的数学期望EX(3)甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为xi丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为yi当a=5.81时，满足yi=x当a=5.87时，满足yi=x所以a=5.81或a=5.87．

19.(1)由题意可得b=2a2所以椭圆方程为y2(2)由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=kx+2联立方程y=kx+2+3y29则Δ=64k22k+3可得x1因为A−2,0，则直线AP:y=令x=0，解得y=2y1同理可得N0,则2==32k所以线段MN的中点是定点0,3．

20.(1)若a=0，则fx=x故f2故曲线y=fx在点P2,f2处的切线方程为y−2=3(x−2)(2)fx=x则f′x由于fx在x=1处取得极值，故f′则f′x令f′x>0，则0<x<12或x>1，函数令f′x<0，则12<x<1，函数故当x=12时，fx当x=1时，fx取到极小值f(3)由于f′x当a≤1时，f′x≥0，仅在a=1,x=1时等号取得，fx则fx当1<a<e时，则1<x<a时，f′x<0，fxa<x<e时，f′x>0，fx故fx当a≥e时，f′x<0，fx故fx综上，可知a的取值范围为(−∞,1]．

21.解：(Ⅰ)根据题意可得，数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．

(Ⅱ)证明：①当b−a=c−b时，令b1=a，b2=b，b3=c，b4=2c−b，

所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1≤a<b2≤b<b3≤c<b4，

所以数列a，b，c为Ω数列．

②当b−a<c−b时，令b1=2b−c，b2=b，b3=c，b4=2c−b，

所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1≤a<b2≤b<b3≤c<b4．

所以数列a，b，c为Ω数列．

③当b−a>c−