2024-2025学年广东省湛江市雷州市高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省湛江市雷州市高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|12<2x<32}，A.(−2,1) B.(−1,2) C.⌀ D.(−2,5)2.命题“∃x∈(−∞,1)，x3+2x−1<0”的否定是(

)A.∃x∈[1,+∞)，x3+2x−1≥0 B.∃x∈(−∞,1)，x3+2x−1≥0

C.∀x∈[1,+∞)，x33.已知直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m等于(

)A.1 B.2 C.3 D.44.函数f(x)=lg(x+1)−1xA.0 B.1 C.2 D.35.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M为BC中点，点NA.−12a−23b+16.函数结构是值得关注的对象.为了研究y=xx(x>0)的结构，两边取对数，可得lny=lnxx，即

lny=xlnx，两边取指数，得eA.1 B.e C.e−1e7.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T(单位：天)，铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T1，A.−2+512T1=512T2 B.8.在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，b>a.将▵ACD沿着AC翻折，使D点在平面ABC上的投影E恰好在直线AB上，则此时二面角B−AC−D的余弦值为(

)A.a2b2 B.ab C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则下列说法正确的是A.f(b)=−3 B.f(−3)=13

C.f(x)在(−∞,0)上是单调减函数 D.函数f(x)仅有一个零点10.已知e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯，函数f(x)=a(1e)|x|+b的图象经过原点，且无限接近直线A.a=e B.f(x)的值域为[0,e)

C.f(x)在区间(0,+∞)上单调递减 D.f(11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别为棱AB，ADA.无论λ取何值，三棱锥C−EFG的体积始终为1

B.若λ=24，则EG⋅BD1=2+2

C.点D1到平面EFG的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=a−b2x−b(b>0)13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a814.设x−y+1=0，求d=x2+y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情。经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么tmin后茶水的温度θ(单位：℃)，可由公式θ(t)=θ0+(θ1−θ0t(012345θ(℃)85.0079.1974.7571.1968.1965.00(1)请你利用表中的一组数据t=5，θ=65.00，求k的值，并求出此时θ(t)的解析式(计算结果四舍五入精确到0.01) ;(2)在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，根据(1)的结果，王大爷要等待多长时间?(计算结果四舍五入精确到1分钟)．

参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.693，e是自然对数的底数，16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，Sn=an+n2−1．

(1)17.(本小题15分)

三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB=3，BC=2，BB1=1，AE=2EB，A1C18.(本小题17分)已知直线l1:mx−y+m=0，l2:x+my−m(m+1)=0，l3:(m+1)x−y+(m+1)=0，记(1)当m=2时，求原点关于直线l1(2)求证：不论m为何值，ΔABC总有一个顶点为定点；(3)求ΔABC面积的取值范围. (可直接利用对勾函数的单调性)19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(1+eax)−bx是偶函数，e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯

(1)求a2+b2−2a+1的最小值；

(2)当b=1时，

(i)令g(x)=f(1−x)+f(1+x)，x∈[−1,1]，求g(x)的值域；

(ii)记i=1na参考答案1.D

2.D

3.D

4.C

5.C

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.BD

11.AB

12.1213.44

14.29315.解：(1)∵θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，

且当θ1=60℃，θ0=25℃，

t=5min时，θ=65℃，

∴65=25+(85−25)e−5k，∴e−5k=23，

∴k=−15ln216.解：(1)因为Sn=an+n2−1，

所以当n≥2时，Sn−1=an−1+(n−1)2−1，

两式相减得：an=an−an−1+2n−1，即an−1=2n−1，

所以an=2n+1，且17.(Ⅰ)证明：因为AB=2A1B1，

所以由三棱台的性质知，AC=2A1C1，且AC/​/A1C1，

所以△ACD∽△C1A1D，

所以ADDC1=ACA1C1=2，即AD=2DC1，

因为AE=2EB，

所以DE//C1B，

又DE⊄平面A1BC1，C1B⊂平面A1BC1，

所以DE/​/平面A1BC1．

(Ⅱ)解：因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面AA1B1B，

因为BB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BB1，

又AC⊥BB1，BC∩AC=C，BC、AC⊂平面ABC，

所以BB1⊥平面ABC，

因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，

故AB，BC，BB1两两垂直，

以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

18.解：(1)当m=2时，直线l1

的方程为：2x−y+2=0，且斜率k1=2，

设原点关于直线l1

的对称点为

(x0,y0)，则由斜率与中点坐标公式列方程得：y0x0=−122×x02−y02+2=0,

解得：x0=−85y0=45，故所求点的坐标为(−85,45)．

(2)∵直线l1:mx−y+m=0⇒m(x+1)−y=0，恒过点(−1,0)．

l3:(m+1)x−y+(m+1)=0⇒(m+1)(x+1)−y=0，恒过点(−1,0)．

故ΔABC总有一个顶点为定点(−1,0)．

(3)由条件可得l1与l2垂直，所以角C为直角，

所以S=12AC·BC，

|BC|等于点B到l1的距离，

由l2,l3的方程联立可得19.解：(1)函数f(x)的定义域为R，∵f(x)是偶函数，

∴f(x)=f(−x)，即ln(1+eax)−bx=ln(1+e−ax)+bx，

即：2bx=ln(1+eax)−ln(1+e−ax)=ax上式对任意x∈R恒成立，这等价于2b=a，

a2+b2−2a+1=4b2+b2−4b+1=5b2−4b+1=5(b−25)2+15≥15，等号成立当且仅当b=25，a=45，

∴a2+b2−2a+1的最小值为55．

(2)(ⅰ)由(1)可得：a=2，由于g(x)=f(1−x)+f(1+x)，x∈[−1,1]为偶函数，

故只需考虑x∈[0,1]时，g(x)的值域，

g(x)=f(1−x)+f(1+x)

=ln(1+e2(1−x))−(1−x)+ln(1+e2(1+x))−(1+x)

=ln[(1+e2(1−x))(1+e2(1+x))]−2

=ln[1+e4+e2(e2x+e−2x)]−2，

令φ(x)=e2x+e−2x，x∈[0,1]，φ′(x)=2(e2x−e−2x)，显然φ′(x)为增函数，

∴φ′(x)≥φ′(0)=0，

∴φ(x)在[0,1]上单调递增，

∴g(x)在[0,1]上单调递增，

∵g(0)=ln(e4+2e2+1)−2=2ln(e2+1)−2，g(1)=ln2(e4+1)−2，

∴g(x)的值域为[2ln(e2+1)−2,[ln2(e4+1)]−2]．

(ⅱ)对于常数c，令g(x)=f(c−x)+f(c+x)，g(x)为偶函数，

下面先证明一个结论：g(x)在[0,+∞)上单调递增，

证明：g(x)=ln(1+e2(c−x))−(c−x)+ln(1+e2(c+x))−(c+x)

=ln[1+e4c+e2c(e2x+e−2x)]−2c．

由(2)可得：y=e2x+e−2x为偶函数，在[0,+∞)上