2024-2025学年浙江省绍兴市高三（上）期中数学试卷（选考）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省绍兴市高三（上）期中数学试卷（选考）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={−2,0,1,3}，则A∩B=A.{0,1} B.{−2,0,1} C.{0,1,3} D.{−2,0,1,3}2.若1z−1=1−i，则z=(

)A.32−12i B.323.若sin(α+β)=12,sin(α−β)=A.5 B.−1 C.6 D.14.已知平面向量a=(−1,2)，b=(2,0)，则a在b方向上的投影为(

)A.−2 B.−1 C.(−2,0) D.(−1,0)5.如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，AB，CD分别为该圆柱的上、下底面的直径，且AB⊥CD，则三棱锥A−BCD的体积是(

)A.24

B.18

C.12

D.66.已知直线l与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，过点O作l的垂线，垂足为E(2,1)，则p=(

)A.52 B.32 C.547.已知函数F(x)=x2f(x)，且x=0是F(x)的极小值点，则f(x)可以是A.sinx B.ln(x+1) C.ex 8.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱(按顺时针依次编号为1至48号)，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内(含10min)出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是(

)A.16 B.17 C.18 D.19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的100块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量(单位：kg)，并整理得下表：亩产量[150,160)[160,170)[170,180)[180,190)[190,200)[200,210]频数5102540155则100块试验田的亩产量数据中(

)A.中位数低于180kg B.极差不高于60kg

C.不低于190kg的比例超过15% D.第75百分位数介于190kg至200kg之间10.下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是(

)A.y=sinx与y=−sinx B.y=x3与y=x3−x

C.y=2x11.在正三棱锥P−ABC中，PA⊥PB，PA=1，Q是底面△ABC内(含边界)一点，则下列说法正确的是(

)A.点Q到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值

B.顶点A，B，C到直线PQ的距离的平方和为定值

C.直线PQ与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值3

D.直线PQ与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在二项式(2x−13.若曲线y=elnx在点(e,e)处的切线与圆(x−a)2+y2=114.已知数列{an}中，ai(i=1,2,⋯,n)等可能取−1，0或1，数列{bn}满足四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bsinA=a(cosB+1)．

(1)求B；

(2)设CD是△ABC的中线，若CD=23，CD=216.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax−1．

(1)当a=2时，求f(x)在区间[0,1]上的值域；

(2)若存在x0>1，当x∈(0,x17.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=23，PB=26，PC=6，∠BAD=60°．

(1)证明：PA=PD；

(2)若二面角P−AD−B的余弦值为−13，求直线18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴端点和长轴端点间的距离为7．

(1)求C的方程；

(2)过左焦点的直线交C于A，B两点，点P在C上．

(i)若△PAB的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；19.(本小题17分)

n维向量是平面向量和空间向量的推广，对n维向量mn=(x1,x2,⋯,xn)(xi∈{0,1}，i=1，2，…，n))，记f(mn)=1+x1+x1x2+⋯+x1x2参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.D

6.C

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.60

13.±14.198115.解：(1)记△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bsinA=a(cosB+1)，

因为3bsinA=a(cosB+1)，由正弦定理asinA=bsinB=2R得3sinBsinA=sinA(cosB+1)，

又因为sinA>0，即3sinB−cosB=1，即sin(B−π6)=12，

又因为−π6<B−π6<5π6，所以B−16.解：(1)由于f(x)=ex−2x−1，因此f′(x)=ex−2，

因此当x>ln2时，f′(x)>0，当x<ln2时，f′(x)<0，

因此f(x)在[ln2,1]上递增，在[0,ln2)上递减，

由于f(0)=0，f(1)=e−3，f(ln2)=1−2ln2，且e−3<0，

因此f(x)的值域是[1−2ln2,0]．

(2)由于f′(x)=ex−a，

①如果a≤1，当x>0时，f′(x)>0，因此f(x)在(0,+∞)上递增，

因此f(x)>f(0)=0，不符合题意．

②如果a>1，当x>lna时，f′(x)>0；当x<lna时，f′(x)<0，

因此f(x)在[lna,+∞)上递增，在(0,lna)上递减，

要存在x0>1，当17.解：(1)证明：取AD中点E，连接PE，BE，

因为AB=AD=23，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形，

因为E为AD中点，所以AD⊥BE，

又因为BC2+PB2=(23)2+(26)2=36=PC2，所以PB⊥BC，

因为DE/​/BC，所以AD⊥PB，又BE∩PB=B，

所以AD⊥平面PBE，

所以AD⊥PE，又因为E为AD中点，

所以PA=PD．

(2)因为AD⊥BE，AD⊥PE，

所以∠PEB是二面角P−AD−B的平面角，即cos∠PEB=−13，

在△PEB中，由余弦定理cos∠PEB=BE2+PE2−PB22BE⋅PE=9+PE2−246⋅PE=−13，

解得PE=3，

所以PE⋅|cos∠PEB|=3×13=1，PE⋅sin∠PEB=3×223=22，

如图，以点E为坐标原点，EA，18.解：(1)由题，e=ca=12，即a2−b2a2=14，又a2+b2=7，

解得：a=2，b=3，

所以C的方程：x24+y23=1；

(2)(i)设直线AB的方程为x=my−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，

联立x=my−1x24+y23=1，化简得(3m2+4)y2−6my−9=0，

则y1+y2=19.解：(1)∵f(m2)=1+x1+x1x2，

∴当m2=(0,0)时，f(m2)=1；

当m2=(0,1)时，f(m2)=1；

当m2=(1,0)时，f(m2)=2；

当m2=(1,1)时，f(m2)=3，

D(m2)={(1,0)}，

∵f(m3)=1+x1+x1x2+x1x2x3，

∴当m3=(0,0,0)时，f(m3)=1；当m3=(0,0,1)时，f(