2023-2024学年天津市宁河区高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市宁河区高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={−3,−2,−1,0,1}，B={−1,0,1}，C={x|−2≤x<0}，则(A∩C)∪B=(

)A.{−1} B.{−2,−1} C.{−2,−1,1} D.{−2,−1,0,1}2.“a>b>0”是“1a<1bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件3.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会(简称大运会)在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩.为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩进行统计，成绩均在[50,100]内，将其分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间[80,90)内的人数为(

)A.20 B.40 C.60 D.804.设a=2−0.5，b=(12)0.3，c=log0.50.3，则A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b5.函数f(x)=xcosx在区间(−π2A.B.C.D.6.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=4，AD=2，CD=3，以AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为(

)A.32π3B.24π

C.30πD.7.已知数列{an}满足：log12aA.48 B.24 C.16 D.128.已知双曲线x2a2−y2b2A.x24−y22=1 B.9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于x=−π12对称，它的最小正周期为π，关于该函数有下面四个说法：

①f(x)的图象过点(π12,0)；

②f(x)在区间[5π12,11π12]上单调递减；

③当x∈[0,π2]A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数4+2i1−i=

11.在(x2−2x12.过点(1,2)且倾斜角为π4的直线和圆(x+2)2+(y−3)2=10相交于A，13.甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.若从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为______；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为______．14.在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，AF=2FE，若设BA=a，BC=b，则BF可用a，b表示为______；若△ADE的面积为15.已知定义在R上的函数f(x)=|x2+x|,x≤0ln(x+1),x>0，若函数g(x)=f(x)−a(x+1)恰有三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为α，b，c，已知b=4，c=5，cosC=916．

(Ⅰ)求sinB的值；

(Ⅱ)求a的值；

(Ⅲ)求sin(2B−17.(本小题15分)

如图，AB//CD且CD=2AB，AD⊥CD，EG//AD且AD=2EG，FG//CD且FG=CD，DG⊥平面ABCD，AD=CD=DG=2，M为棱FG的中点．

(Ⅰ)求证：BF//平面CEM；

(Ⅱ)求直线BE与平面CEM所成角的正弦值；

(Ⅲ)求平面BEM与平面CEM夹角的余弦值．18.(本小题15分)

记Sn是等差数列{an}的前n项和，{bn}是等比数列，且满足a3=5，S3=9，b1=a1+1，b4=S4．

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；

(19.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，离心率为63，|AB|=2．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设点M在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点N在圆x2+y2=b2上，直线BM20.(本小题16分)

已知函数f(x)=lnx+a2x2，a∈R．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设x1，x2(0<参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.D

6.C

7.A

8.D

9.B

10.1+3i

11.60

12.213.29

914.23(a15.(−∞,−1)∪(116.解：(I)△ABC中，b=4，c=5，cosC=916，

所以sinC=5716，

由正弦定理得，csinC=bsinB，

sinB=bsinCc=4×57165=74；

(Ⅱ)由余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab，

即916=a2+16−252×4a，

17.解：(Ⅰ)证明：因为DG⊥平面ABCD，AD⊥CD，

所以以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：

则A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，G(0,0,2)，E(1,0,2)，F(2,0,2)，M(0,1,2)，

BF=(0,−1,2)，CE=(1,−2,2)，CM=(0,−1,2)，

设平面CEM的法向量m=(x,y,z)，

则CE⋅m=x−2y+2z=0CM⋅m=−y+2z=0，

令z=1，则y=2，x=2，

所以m=(2,2,1)，

所以BF⋅m=0，

所以BF⊥m，

所以BF/​/平面CEM．

(Ⅱ)BE=(−1，−1，2)，

设直线BE与平面CEM所成角为θ，

则sinθ=|cos<BE，m>|=|BE⋅m|BE||m||=|(−1,−1,2)⋅(2,2,1)(−1)2+(−1)2+22⋅22+22+12|=69，18.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a3=a1+2d=5S3=3a1+3d=9，得a1=1，d=2，

∴数列{an}的通项公式an=a1+(n−1)d=2n−1；

由b1=a1+1b4=S4，得b1=2b4=16，解得b1=2，q=2，

∴数列{bn}的通项公式为bn19.解：(1)由题知，ca=63，a2+b2=2，

又a2=b2+c2，解得a2=3，b2=1，

所以椭圆的方程为x23+y2=1．

(2)证明：(i)由(1)知B(0,1)，设直线BM：y=k1x+1，直线BN：y=3k1x+1，

由y=k1x+1x23+y2=1，消y得到(1+3k12)x2+6k1x=0，

得到xM=−6k11+3k1220.解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx+12x2，

则f′(x)=1x+x，所以f′(1)=2,f(1)=12，

所以切线方程为4x−2y−3=0；

(Ⅱ)由f(x)=lnx+a2x2，得f′(x)=1x+ax=1+ax2x，

当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a<0时，令f′(x)>0，则0<x<−−aa,f(x)单调递增；

令f′(x)<0，则x>−−aa,f(x)单调递减，

综上，当a≥0时，f(x)的单