2024-2025学年天津二十一中高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津二十一中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x∈Z|−1≤x≤5}，则A∩B=A.[−1,2] B.{−1,0,1,2} C.[−1,2) D.{−1,0,1}2.设a，b∈R，则“2a=2b”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数y=(3x−1)A. B.

C. D.4.已知平面α，β，直线l⊂α，直线m不在平面α内，下列说法正确的是(

)A.若α//β，m//l，则m//β B.若l⊥β，m⊥α，则m//β

C.若l⊥m，α⊥β，则m⊥α D.若α//β，m⊥β，则m⊥l5.设a=20.3，b=sinπ12，A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c6.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，TA.2 B.3 C.5 D.67.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π3(3R−ℎ)ℎ2，其中R是球的半径，ℎ是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为(取π=3)A.32000cm3 B.33664cm3 C.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，其图象的一个最低点是P(π6,−2)，距离P点最近的对称中心为(πA.ω=3

B.x=13π12是函数f(x)图象的一条对称轴

C.x∈(−π6,0)时，函数f(x)单调递增

D.f(x)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位后得到g(x)的图象，若9.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+2)=12f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(x−2).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−316，则A.[94,+∞) B.[92,+∞)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i为虚数单位，若复数z=2i+1i−2，则|z|=11.eln3+log12.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x−2y+1=0，记f(x)的导函数为f′(x)，则f′(−1)=______．13.已知正数a，b满足12a+1b=14.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其展开几何图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，OC=2，OA=4，点E在CD上(包含端点)，则OD⋅DA=______；EA15.已知定义域为R的函数f(x)=x2−2x+2,0<x≤2,log12(2x−154),x>2,且满足f(−x)=−f(x)，函数g(x)=kx，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有7个零点，则k的取值范围为______；若方程f(x)=m(m>0)的解为x三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=22,b=5,c=13．

(1)求角C的大小；

(2)求sinA的值；

17.(本小题12分)

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离．18.(本小题12分)

记Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{bn}是等比数列，且满足a3=5，S3=9，a1+b1=0，a2+b2=a3+b3=19.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和Sn=13(1−an)(n∈N∗).若2+bn=3log14an，且数列{cn}满足cn20.(本小题12分)

已知函数f(x)=aln(x+1)−xex+1．

(1)当a<0时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)存在正零点x0．

(i)求a的取值范围；

(ii)记x1为f(x)的极值点，证明：x参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.B

6.A

7.B

8.C

9.D

10.1

11.11

12.−113.5214.−8

[−12,−8]

15.(22−2,1)16.解：(1)由余弦定理以及a=22，b=5，c=13，

则cosC=a2+b2−c22ab=8+25−132×22×5=22，

∵C∈(0,π)，

∴C=π4；

(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2217.解：(1)证明：连接EM，因为AB/​/CD，PQ/​/CD，所以AB/​/PQ，

又因为AB=PQ，所以四边形PABQ为平行四边形，

因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以EM/​/AB且EM=AB，

因为AB/​/CD，CD=2AB，F为CD的中点，所以CF/​/AB且CF=AB，

可得EM//CF且EM=CF，即四边形EFCM为平行四边形，

所以EF/​/MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，

所以EF/​/平面MPC．

(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

依题意可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,−1),PQ=(0,1,0),CM=(1,−1,1),PC=(0,2,−2)，

设n=(x,y,z)为平面PQM的法向量，

则n⋅PM=0n⋅PQ=0，即x+y−z=0y=0，取n=(1,0,1)，

设m=(a,b,c)为平面PMC的法向量，

则m⋅PC=0m⋅CM=0，即2b−2c=0a−b+c=0，取m=(0,1,1)，

所以cos<m,n>=m⋅n|m|⋅|n|=12，

设平面PQM与平面PMC夹角为θ，

所以sinθ=1−(12)2=32，

即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为32．

(3)设QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=λQC=(0,λ,−2λ)，

则N(0,λ+1,2−2λ)．

从而DN=(0,λ+1,2−2λ)．

18.解：(1)等差数列{an}中，设公差为d，则a3=a1+2d=5，S3=3a1+3d=9，解得a1=1，d=2；

所以an=1+2(n−1)=2n−1；

数列{bn}是等比数列，且满足a1+b1=0，a2+b2=a3+b3=a4−3b4，

设{bn}的公比为q，则由b1=a1=−1，3−q=5−q2=7+319.解：(1)证明：由题意知Sn=13−13an，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=13an−1−13an，所以an=14an−1．

当n=1时，S1=13−13a1=a1，所以a1=14，

所以数列{an}是以14为首项，14为公比的等比数列，

则an=14n，

因为2+bn=3log14an，所以bn=3log14an−2=3log14(14)n−2=3n−2，

所以b1=120.解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(−1,+∞)，且f′(x)=ax+1−(ex+1+xex+1)=a−(x+1)2ex+1x+1，

因此当a<0时，a−(x+1)2ex+1<0，从而f′(x)<0，

所以f(x)的单减区间是(−1,+∞)，无单增区间；

(2)(i)由(1)知，f′(x)=a−(x+1)2ex+1x+1，

令g(x)=a−(x+1)2ex+1，g′(x)=−(x2+4x+3)ex+1，

当x∈(−1,+∞)时，g′(x)=−(x2+4x+3)ex+1<0，g(x)单调递减．

①当a≤0时，可知f′(x)<0，f(x)在(−1,+∞)内单调递减，

又f(0)=0，故当x>0时，f(x)<0，所以f(x)不存在正零点；

②当0<a≤e时，g(0)=a−e≤0，x∈(0,+∞)，g(x)=a−(x+1)2ex+1<0，

f(x)在(0,+∞)单调递减，故当x>0时，f(x)<0，函数f(x)不存在正零点；

③当a>e时，lna−1>0，此时g(0)=a−e>0，g(lna−1)=a(1−lna)2<0，

所以存在α∈