湖南省长沙市百强校(SD)2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省长沙市百强校(SD)2025届高三上学期月考（三）数学试卷（11月）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合{0,1,2,3}的真子集个数是(

)A.7 B.8 C.15 D.162.“|x−1|<1”是“x2−4x<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4a)，其中a≠0，则sin 2α=(

)A.43 B.725 C.24254.设向量a，b满足|a+b|=19，|A.22 B.2 C.5 5.若无论θ为何值，直线sinθ·y+cosθ·x+1=0与双曲线x2m−A.m≥1 B.0<m≤1

C.0<m<5，且m≠1 D.m≥1，且m≠56.已知函数f(2x)的图象关于原点对称，且满足f(x+1)+f(3−x)=0，且当x∈(2,4)时，f(x)=−log12(x−2)+m，若f(2 025)−12=f(−1)A.13 B.23 C.−27.已知正三棱台ABC−A1B1C1所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB=4A.1 B.4 C.7 D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图所示)，可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c−a)求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)·(b+2)，…，(a+n−1)(b+n−1)=cd的和．若由小球堆成的上述垛积共A.2 B.6 C.12 D.20二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若(1+2x)2024=aA.a0=2024

B.a0+a110.对于函数f(x)=sin x+cos x和g(x)=A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值点

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴11.过点P(0,2)的直线与抛物线C：x2=4y交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，抛物线C在点AA.OA·OB=−5

B.直线MN恒过定点

C.点M的轨迹方程是(y−1)2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z1，z2的模长为1，且1z2+113.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=5，b=4，cos(A−B)=3132，则sinB=14.若正实数x1是函数f(x)=xex−x−e2的一个零点，x2是函数g(x)=(x−e)(lnx−1)−四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润B方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息(年末结息)，若银行贷款利息均按10%的复利计算．(1)计算10年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？(2)试比较A、B两方案的优劣．(结果精确到万元，参考数据：1.110≈2.59416.(本小题12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD=2AB=2BC=2.点P在底面的射影点Q在线段AC上．(1)在图中过A作平面PCD的垂线段，H为垂足，并给出严谨的作图过程；(2)若PA=PD=2.求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．17.(本小题12分)已知函数f(x)=ex+sinx−(1)证明：当x≥0时，f′(x)≥2；(2)设g(x)=f(x)−2x−1，证明：g(x)有且仅有2个零点．18.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2，P(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点B(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N(M在B，N之间)，若Q为椭圆C上一点，且OQ=①求S△②求四边形OMQN的面积．19.(本小题12分)飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数．当且仅当玩家投掷出6点时，飞机才能起飞．并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点．飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数．(1)求甲玩家第一轮投掷中，投掷次数X的均值(E(X)=(2)对于两个离散型随机变量ξ，η，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：

(记p(ξ=xixx…xyp(x1p(…p(pyp(x1p(…p(p………………yp(x1p(…p(ppp…p1若已知ξ=xi，则事件{η=yj}的条件概率为(ⅰ)上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时，期望也不同)，不妨记为E{η|ξ}，求E[E{η|ξ}]；(ⅱ)若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记ξ=0表示“甲第一次未能掷出6点”，ξ=1表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，ξ=2表示“甲第一次第二次均掷出6点”，η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求Eη．

参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BC

10.ACD

11.BC

12.1

13.714.e

15.解：(1)A方案到期时银行贷款本息为10×(1+10%)10≈26((2)A方案10年共获利：1+(1+25%)+…+(1+25%)9=到期时银行贷款本息为10×(1+10%)10≈25.9(万元)，

所以A方案净收益为：33.3−25.9≈7(B方案10年共获利：1+1.3+…+(1+9×0.3)=10×1+10×(10−1)×0.32=23.5(到期时银行贷款本息为(1+10%)10+(1+10%所以B方案净收益为：23.5−17.5≈6(万元)，由比较知A方案比B方案更优．

16.(1)连接PQ，有PQ⊥平面ABCD，所以PQ⊥CD．

在△ACD中，AC同理，在△ABC中，有AC又因为∠ABC+∠ADC=180°，所以cos∠ADC=12，∠ADC∈(0,180°)AC=3，故AC又因为PQ∩AC=Q，PQ，AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC．CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．过A作AH垂直PC于点H，因为平面PCD⊥平面PAC，平面PCD∩平面PAC=PC，且AH⊂平面PAC，有AH⊥平面PCD．(2)依题意，AQ=PA2−PQ2=DQ．

故所以AQ=23AC=过C作直线PQ的平行线l，则l，AC，CD两两垂直，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则：D(1,0,0)，P(0,33,2所以CD=(1,0,0)，CP=(0,3设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)则m·CD=x=0,m·同理，平面PAB的法向量n=(cos〈m，故所求锐二面角余弦值为13

17.证明：(1)函数f(x)=ex+sinx−cosx，

则f′(x)=ex+cosx+sinx=ex+2(22cosx+22sinx)=ex+2sin(x+π4)，

当x∈[0,π2)时，则f′(x)=ex+2sin(x+π4)⩾e0+2×22=2，

当x∈[π2,+∞)时，则f′(x)=ex+2sin(x+π4)>eπ2+2×−1>e32−2=e·e−2>2e−2=18.解：(1)设P(x0,y0)，∵0<y0≤b，当|y0|=b时，S△F1PF2最大，此时P(0,b)或P(0,−b)，不妨设P(0,b)，当θ=从而a=2，∴椭圆C的标准方程为x24+(2)①由题意，直线l的斜率显然存在．设l：y=kx+2．M(x1∴S△OBM=12∴S联立y=kx+2,∴Δ=(16k)2−4×12×(1+4又∵x1+x2=−16k∴(∵k2>34令x1x2=λ(λ≠0)，则4<λ+1②∵OQ=OM+ON由①知x1+x∴Q−16k1+4k2,41+4化简得k2∴线段|MN|=O到直线MN