2024-2025学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=1−i，则|z2|=A.14 B.1 C.2 D.2.“x>4”是“2x>x2A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求.已知某地区有小学生1200人，初中生900人，高中生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小时、8小时、7小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为(    )小时．A.7.5 B.8 C.8.3 D.8.54.设A，B两点的坐标分别为(−3,0)，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为23，则点M的轨迹方程为(

)A.x29+y26=1(x≠±3) B.5.已知a=log42，b=log83A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a6.在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=6，则该三棱锥外接球的表面积为(

)A.163π B.203π C.7.设f(x)=log2(4x+1)+xA.−1 B.1 C.−2 D.28.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=ax+1，则f(2025)=(

)A.0 B.1 C.2 D.2025二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=|sin(2x+π4A.π2是函数f(x)的周期

B.函数f(x)在区间(0,π6)上单调递增

C.函数f(x)的图象可由函数y=|sin2x|向左平移π8个单位长度得到f(x)=|sin10.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.△ABF1的周长为2a+2c

B.当直线AB垂直于x轴时，|AB|=2b2a

C.若|AF2|=2|BF2|，|AB|=|BF11.已知函数f(x)=x2+x−1eA.函数f(x)有且只有两个零点

B.函数f(x)在(−1,2)上为增函数

C.函数f(x)的最大值为5e−2

D.若方程f(x)=a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b满足|a|=2，a⋅b=1，若a⊥(λ13.已知tan(α−π4)=1714.已知在数列{an}中，a1=2，且对任意的m，n∈N+，都有am+n=aman，设f(x)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB−bcosA=b+c．

(1)求角A；

(2)若a=3，2sinC+sinB=62，求△ABC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心为(x0,f(x0))，记函数f(x)的导函数为f′(x)，函数f′(x)的导函数为f″(x)，则f′′(x0)=0.若函数f(x)=x3+bx17.(本小题15分)

如图甲，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，BC=CD=2AD=4，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且PC=23．

(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；

(2)求平面PAB与平面PBC所成角的正弦值．18.(本小题17分)

某校组织知识竞赛，有A，B两类问题.若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知李华同学能正确回答A类问题的概率为34，能正确回答B类问题的概率为12．

(1)若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；

(2)若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：

方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．

方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．

为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？19.(本小题17分)

已知点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，则在点P处的切线方程为y0y=p(x+x0).若A，B是抛物线C0：y2=ax(a>0)上的两个动点，且使得在点A与点B处的两条切线相互垂直．

(1)当a=6时，设这两条切线交于点Q，求点Q的轨迹方程；

(2)(ⅰ)求证：由点A，B及抛物线C0的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线C1；

参考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.C

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.−113.−714.8

15.解；(1)acosB−bcosA=b+c，

由正弦定理得：sinAcosB−sinBcosA=sinB+sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)，

即sinAcosB−sinBcosA=sinB+sin(A+B)，

所以sinAcosB−sinBcosA=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

所以−2sinBcosA=sinB，

因为sinB>0，

可得cosA=−12，

又因为0<A<π，

所以A=23π；

(2)2sinC+sinB=2sin(B+2π3)+sinB

=2(−12sinB+32cosB)+sinB

=3cosB=62，

可得cosB=22，

因为0<B<π，

16.解：(1)函数f(x)=x3+bx2+c，

则f′(x)=3x2+2bx，f″(x)=6x+2b，

依题意，，解得b=−3c=0，

所以函数f(x)的解析式f(x)=x3−3x2；

(2)设过点(−1,t)的直线与函数y=f(x)图象相切于点(x0,x03−3x02)，

则切线斜率k=f′(x0)=3x02−6x0，切线为y−(x03−3x02)=(3x02−6x0)(x−x0)，

由切线过点(−1,t)，得t−(x03−3x02)=(3x02−617.(1)证明：取AE中点O，连接OP，OC，

则PO⊥AE，

在Rt△ADE中，AD=DE=2，所以OD=2，

在△OEC中，OC2=OE2+CE2−2OE⋅CEcos135°=22+22−2×2×2cos135°=10，

在△POC中，OP=OD=2，OC=10，PC=23，

所以OP2+OC2=PC2，

所以OP⊥OC，又AE∩OC=O，AE，OC⊂平面ABCE，

所以OP⊥平面ABCE，

又OP⊂平面PAE，

所以平面PAE⊥平面ABCE；

(2)解：连接OB，BE，

易得AB=BE=25，

又O为AE的中点，OB⊥AE，

由(1)知OP⊥平面ABCE，OB，OA⊂平面ABCE，

所以OP⊥OB，OP⊥OA，

所以OP，OA，OB两两垂直，

如下图：以O为原点建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,32,0)，C(−22,2,0)，P(0,0,2)，PC=(−22,2,−2)，

设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

因为PA=(2,0,−2)，PB=(0,32,−18.解：(1)设A1=“选择A类问题”，A2=“选择B类问题”，B=“选中的问题回答正确”，

则P(A1)=P(A2)=12,P(B|A1)=34,P(B|A2)=12，

所以P(B)=P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)=12X0204050100P19931E(X)=0×18+20×932+40×932+50×316+100×18=38.75．

若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y可能取值为0，20，50，70，

P(Y=0)=X0205070P1313E(Y)=0