数学一单元测试：第二章函数（A卷）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精测试三第二章函数(A卷)【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答。共120分，考试时间100分钟。第Ⅰ卷（选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分)1。设集合A={1,2｝，B={1，2,3，4,5}，对A中的所有元素x,使x+f（x)为偶数，那么从A到B的映射f的个数是A.5B。6C.7D.8答案：B解析:符合条件的映射为:①1→1,2→2;②1→1,2→4;③1→3，2→2；④1→3,2→4；⑤1→5；2→2；⑥1→5,2→4，共6个。2.给出下列四个命题:其中正确的个数为①函数是定义域到值域的映射②f(x)=是函数③函数y=2x（x∈N)的图象是一条直线④f（x)=与g(x)=x是同一个函数A.1B.2C。3答案：A解析：②不存在使式子有意义的x,故它不是函数；③函数的图象是一些离散的点；④f(x)与g(x）的定义域不同，不是同一个函数,只有①正确。3。函数y=的定义域是A.{x｜x<0,且x≠}B.｛x|x〈0｝C。｛x|x〉0}D.{x｜x≠0，且x≠，x∈R｝答案：A解析：要使函数有意义，必须即x〈0，且x≠.4.若,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于A。B.C。D。答案：B解析：令t=,则x=。所以f（t)=.所以f(x）=.5.函数y=｜x｜（1-x)在区间Ⅰ上是增函数，那么区间Ⅰ可以是A.（—∞,0)B.［0,]C。［0，+∞）D。(，+∞)答案：B解析：作出函数的图象(如图所示).观察图象可知,函数在［0，]上为增函数.6。(创新题)定义运算a*b=例如1*2=1,则1*a的取值范围是A.(0,1］B。（—∞，1]C。(0，1)D。[1,+∞）答案:B解析：依题意,1＊a=所以1*a的取值范围是（-∞，1］.7。已知偶函数f（x)满足f(x)=f（x+3)且f(1）=—1，则f（2）+f（5）的值为A.-1B。1C.2答案：D解析：∵f(2）=f(-1+3）=f(-1）=f(1)=—1，f（5）=f(2+3）=f(2）=-1,∴f（2)+f（5)=-1-1=—2.8.(探究题）若函数y=f（x）在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线且在(—2，2）上有且仅有一个零点,则f（—1)·f(1）的值A.大于0B。小于0C.等于0D。无法判断答案:D解析:设x0为函数在区间（-2，2)上的零点.若x0（-1,1）,则f(—1）·f（1)>0；若x0∈(-1，1),则f(-1）·f(1）<0;若x0=-1或x0=1,则f（—1)·f(1）=0.9。函数y=｜x2-2x｜的图象是图中的答案：B解析：因为｜x2—2x|=所以所求的图象为B.10.直角梯形ABCD如图（1)所示,动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x).如果函数y=f（x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为（1）(2）A。10B。16C。18答案:B解析：由图（2）可知BC=4，CD=5，DA=5，过D作DE⊥AB于E,则AE==3,AB=3+5=8,于是S△ABC=×8×4=16。第Ⅱ卷（非选择题共80分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分,共16分。答案需填在题中横线上）11.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数",那么函数解析式为y=x2，值域为{1,4｝的“同族函数”共有_____________.答案：9个解析：令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.其不同的定义域{1，2},｛1,—2｝,{-1，2}，{-1,—2},{1,-2,2},{-1，—2，2},｛1，—1,2｝，{1，-1,-2},｛-1,1，—2,2｝有9个,所以它的同族函数有9个.12.函数f(x）对于任意实数x满足条件f（x+2)=,若f(1)=-5，则f［f(5）]=_____________。答案：解析：由f(x+2)=得f(x+4）==f(x），所以f（5)=f(1）=-5。则f［f(5）]=f（-5)=f（—1)==.13。已知f(x）=ax2+bx,a·b≠0,且f（x1）=f(x2)=2006，则f(x1+x2）=_____________.答案:0解析：由题意x1、x2是方程ax2+bx—2006=0的两个根，所以x1+x2=,从而f(x1+x2)=f()=a()2+b()=0。14。一个高中研究性学习小组对本地区2004年至2006年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量平均数情况的条形图（如图）,根据图上提供的信息可以得出,这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒.快餐公司个数情况图快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图答案：85解析：该地区每年平均销售盒饭：=85.三、解答题(本大题共6小题,共64分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分）已知f(x）满足关系式f(—x）+2f(x）=x+1，求f(x）的解析式.解：∵f（—x）+2f(x）=x+1,①∴f(x)+2f(-x)=—x+1。②把①②看作关于f（x),f(-x）的方程组解得f（x)=x+。16.（本小题满分10分)2007年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分)刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月)之间的函数关系式;（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获利润是多少万元?解：(1）由二次函数图象可知,设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c，由题意,得或∴s=t2—2t.（2）把s=30代入，得30=t2—2t。解得t1=10，t2=—6（舍去).∴截止到10月末公司累积利润可达到30万元。(3)把t=7代入,得s=×72-2×7==10.5.把t=8代入，得s=×82—2×8=16,16—10。5=5。5。∴第8个月公司获利润5.5万元。17。(本小题满分10分)设函数f(x）是定义在R上的偶函数,并在区间（—∞，0)内单调递增，f（2a2+a+1）＜f（3a2—2a解：因为f（x）是偶函数，且在（-∞，0)内单调递增，由偶函数的图象特征，知f(x）在（0，+∞）内单调递减。又有2a2+a+1=2（a+）2+＞0，3a2—2a+1=3（a）2+＞0,由f（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1），得2a2+a+1＞3a2-2a+1。所以0＜a＜3.18.(本小题满分10分)已知函数f（x）对任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x)+f(y），且x〉0时，f（x）〈0，f（1）=-2.（1）判断函数f（x)的奇偶性。（2)当x∈［-3,3］时，函数f(x）是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，请说明理由。解：（1）∵f(x+y）=f（x）+f(y），∴f（0）=f（0）+f（0）f（0）=0。而0=x-x，因此0=f（0）=f（x—x）=f（x）+f(-x），即f（x）+f（—x）=0f∴函数f（x）为奇函数.(2）设x1〈x2，由f(x+y）=f(x)+f（y），知f（x2—x1）=f（x2）+f(-x1）=f（x2）—f(x1）〔f（x）为奇函数〕,∵x2—x1〉0，且x〉0时f(x）<0，∴f（x2-x1）=f（x2）—f(x1）〈0,即f（x2)〈f（x1）.函数f（x）是定义域上的减函数，当x∈［-3，3]时，函数f（x）有最值.当x=—3时,函数有最大值f（—3）；当x=3时，函数有最小值f(3）.f（3）=f（1+2）=f（1）+f(2）=f(1）+f（1+1）=f(1）+f(1）+f（1）=3f（1）=-6，f（—3)=-f（3)=6.∴当x=-3时，函数有最大值6；当x=3时，函数有最小值-6。19。(本小题满分12分)（2006重庆高考，理21)已知定义域为R的函数f（x）满足f［f（x）-x2+x]=f（x）-x2+x.（1)若f(2）=3，求f（1);又若f(0）=a，求f（a);（2）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0,求函数f（x)的解析表达式。解：（1）因为对任意x∈R,有f［f（x)—x2+x]=f(x）—x2+x,所以f［f(2)-22+2]=f(2)—22+2。又由f(2）=3,得f(3—22+2）=3—22+2，即f（1)=1.若f（0)=a，则f(a-02+0）=a—02+0，即f(a)=a。（2)因为对任意x∈R,有f［f（x)-x2+x]=f（x）—x2+x，又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0,所以对任意x∈R，有f（x)—x2+x=x。在上式中令x=x0，有f（x0)-x02+x0=x0。又因为f（x0）=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1。若x0=0，则f（x）-x2+x=0，即f(x)=x2—x。但方程x2—x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0≠0。若x0=1,则有f（x)—x2+x=1,即f（x)=x2—x+1,易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为f(x）=x2—x+1(x∈R).20。(本小题满分12分)（2007上海春季高考,19）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1，若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH。(1)求证：四边形EFGH是正方形;(2）E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省?答案：（1）证明：题图(2)是由四块题图(1)所示地砖绕点C