数学一本章整合学案：第二章函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一函数的定义域、值域问题1．确定函数定义域的主要依据(1)当f（x)是整式时，定义域为R;(2）当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x的取值集合；(3）当f(x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x的取值集合；（4)当f（x)是零指数幂时,定义域是使幂的底数非零的x的取值集合;(5）当f（x）表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义．2．函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的方法(1）配方法；（2）分离常数法;（3)图象法；（4）换元法；(5)单调性法;(6)判别式法等．【应用1】求下列函数的定义域：（1）函数y＝的定义域为__________；（2)若函数f(x＋1）的定义域为［－2,3］，则函数y＝f(2x－1)的定义域为__________．解析：(1）∵由得x＜0，且x≠－1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．（2)∵f（x＋1)的定义域是[－2,3]，∴－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，即f(x）的定义域是[－1，4］．又∵－1≤2x－1≤4，∴0≤x≤。∴y＝f(2x－1)的定义域为.答案：（1）（－∞,－1）∪(－1，0)(2)【应用2】（1)函数y＝的值域为__________；(2)函数y＝2x－1－的值域为__________．解析：（1)∵y＝＝＝－，又∵2x＋1≠0，∴≠0.∴y≠.∴函数的值域为.(2)由题意得函数的定义域为.∵y＝2x－1在上是增函数，在上是减函数，∴y＝2x－1－在上为增函数，∴当x＝时，y有最大值.∴该函数的值域为。答案:(1)（2)专题二函数图象的应用函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质（最值、单调性）的有力工具,并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想,如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观，化直观为精确,从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性的原则．【应用1】函数y＝｜x＋2|－|x－2｜的最小值为__________．解析:方法一：y＝｜x＋2｜－｜x－2|＝其图象如图所示．由图象，得函数的最小值是－4。方法二：函数的解析式y＝|x＋2|－|x－2|的几何意义是：P是数轴上任意一点，函数y的值是点P到－2，2的对应点A，B的距离的差，即y＝｜PA|－|PB|，如下图所示．观察数轴可得,－｜AB｜≤｜PA｜－|PB|≤|AB|,所以函数的最小值为－4。答案:－4【应用2】对于任意的x∈R,函数f（x)表示－x＋3，x＋,x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__________．解析：首先应理解题意，“函数f（x)表示－x＋3，x＋,x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言,函数f(x)表示y＝－x＋3，y＝x＋,y＝x2－4x＋3中最大的一个．其次是找出函数f（x）的表达式，此时可利用函数图象来确定．如图，分别画出函数y=-x+3，y=x+，y=x2-4x+3的图象，得到三个交点A（0,3)，B(1，2），C(5,8）．从图象观察可得函数f(x）的表达式为f（x)=f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1，2），所以函数f（x）的最小值是2。答案：2专题三函数的零点问题求函数y=f(x)零点的方法1．转化为求方程f(x）＝0的根．2．转化为求y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．将f（x）分解为h（x）－g(x),则f（x)＝0化为h(x）－g(x)＝0，再化为h(x）＝g（x),从而转化为两个函数y＝h(x)与y＝g（x）图象交点的横坐标．【应用1】函数f（x）＝x2－｜x－1｜零点的个数为__________．解析：本题可转化为函数y＝x2与函数y＝|x－1|的图象交点个数问题，分别画出函数图象，易知交点为2个．答案:2【应用2】设函数f（x)＝ax＋2a＋1(a≠0），在－1≤x≤1上f(x)存在一个零点，求实数a的取值范围．思路分析：先利用零点存在的判断方法将已知转化为f(－1）·f(1)≤0，再结合函数的图象解不等式即可．解：因为函数f（x）在－1≤x≤1上存在一个零点，所以f(－1）·f(1）≤0，即(－a＋2a＋1）·(a＋2a＋1)≤0，即(a＋1)（3a＋1)≤0.令g（a）＝（a＋1)（3a＋1）＝0,得函数g(a）的两个零点是a1＝－1，a2＝－。作出g(a）的图象如图所示．由图象可知,g(a)≤0时，可得a的取值范围是－1≤a≤－。专题四函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手,通过对函数性质的研究使问题得以解决．抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，由于这类函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身,所以在历年的高考中，以抽象函数为载体,综合考查函数的性质的题经常出现，应引起重视．【应用1】定义在[－2，2]上的偶函数f(x）在区间［0，2]上是减函数,若f（1－m）＜f(m），求实数m的取值范围．思路分析：应用函数的奇偶性，将变量1－m和m转化到同一个单调区间上，利用函数的单调性求解．解：∵函数f(x）是偶函数，∴f(x）＝f(｜x｜)．∴f（1－m)＝f(｜1－m|)，f（m）＝f(|m｜）．∴原不等式等价于解得－1≤m＜.∴实数m的取值范围是.【应用2】已知函数f（x）＝是奇函数，且f（2)＝.（1）求实数m和n的值；(2）判断函数f（x)在（－∞，0)上的单调性，并加以证明．解:(1)∵函数f（x)＝是奇函数，∴对定义域内任意x，都有f（－x）＝－f（x)，即＝－，比较式子两边得，n＝0.又∵f（2）＝，∴＝，解得m＝2。故实数m和n的值分别是2和0。(2）由(1)得f（x）＝.此函数在区间(－∞，－1]上是增函数，在区间（－1,0)上是减函数，下面进行证明:任取x1，x2∈(－∞，0），且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，∴Δy＝f(x2）－f（x1)＝－＝.当x1＜x2≤－1时，x1x2＞1，∴Δy＝f(x2）－f(x1)＞0.∴函数f（x）在(－∞,－1］上是增函数；当－1＜x1＜x2＜0时，x1x2＜1，∴Δy＝f(x2)－f(x1）＜0。∴函数f（x)在（－1,0)上是减函数．【应用3】已知f(x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a，b∈R，满足f(ab)＝af(b）＋bf(a）．(1)求f(0)，f(1）的值；(2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．思路分析:题目中给出的是抽象函数，而要求的是比较特殊的值，可以考虑用赋值法，给出具体的值，再根据题意进行判断．解：（1）令a＝b＝0,代入f（ab）＝af（b）＋bf(a）,得f(0）＝0·f(0)＋0·f(0)，则f（0）＝0。令a＝b＝1，代入f(ab）＝af(b）＋bf（a)，得f(1）＝1·f(1）＋1·f（1），则f(1)＝0。(2）f（x）是奇函数．证明如下：由f（1)＝f[（－1)2］＝－f（－1）－f(－1），得f（－1）＝0.令a＝－1，b＝x，则f(－x）＝f（－1·x）＝－f(x）＋xf（－1）＝－f（x)．又f（x)的定义域为R，关于原点对称，∴f(x）为奇函数．专题五闭区间上二次函数的最值问题对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）在某个区间［m，n]上的最值问题主要分为以下三种情况：1．区间及对称轴均确定的二次函数的最值问题(简称轴定区间定）(1）对二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），在区间[m，n］上的最值(若顶点固定，区间也固定)有以下结论:①当－＜m时，f（x)在[m，n］上是增函数，最小值为f(m），最大值为f(n）；②当m≤－≤n时，最小值为f-＝，最大值为f（m)或f(n)（m，n离-较远的一处对应的函数值为最大值)；③当－＞n时，f(x)在［m,n］上是减函数，最小值为f(n),最大值为f(m)．当a＜0时，可仿此讨论．(2)二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．(3）可画出草图帮助分析解决问题，体现数形结合的思想．【应用1】二次函数f(x)＝x2－2x＋2，当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g（t)．思路分析：因为对称轴固定，区间不定,此题可从三个方面进行讨论:①区间在对称轴左侧;②区间在对称轴右侧；③对称轴在区间内．解：二次函数f(x）＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴方程为x＝1。当t＞1时，f（x)在[t，t＋1］上是增函数，则g(t)＝f（t）＝t2－2t＋2;当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t）＝f(1)＝1－2＋2＝1;当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在[t，t＋1］上是减函数，g（t）＝f(t＋1）＝t2＋1。综上,g(t)＝【应用2】设函数f（x)＝x2－2｜x｜－1(－3≤x≤3）．(1)证明：f（x)是偶函数;(2）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x）是增函数还是减函数；（3）求函数的最值．思路分析：解答本题首先根据f(－x)与f（x）的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式,画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．解:（1)证明:f(－x)＝（－x)2－2|－x｜－1＝x2－2｜x｜－1＝f(x),且定义域［－3,3]关于原点对称，所以f(x）是偶函数．(2）当0≤x≤3时，f（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2；当－3≤x＜0时，f（x）＝x2＋2x－1＝（x＋1)2－2，即f（x）＝根据二次函数的作图方法,可得函数图象,如图所示．函数f（x）的单调区间为［－3,－1]，［－1,0]，[0，1]，［1，3］．f（x)在区间［－3,－1],[0,1］上为减函数，在［－1,0］，[1,3］上为增函数．(3）当0≤x≤3时，函数f（x）＝（x－1)2－2的最小值为f(1）＝－2,最大值为f（3）＝2；当－3≤x＜0时，函数f(x）＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2,最大值为f(－3)＝2。所以f（x）的最大值为2，最小值为－2.专题六函数的实际应用数学建模就是把现实生活中具体实例所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解,得出数学上的结论，返回解释验证，使实际问题得到合理解决．其思想及操作程序如下：【应用1】某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t(天)组成有序数对（t,P),点(t，P)落在如图所示的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(万股）与时间t(天）的部分数据如下表所示：第t天4101622Q（万股）36302418（1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天）所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q（万股)与时间t（天）的一次函数关系式;（3)用y（万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少?思路分析:由图象和表格可直接写出函数关系式，由(1)（2)问的函数关系式相乘，可得第(3）问的函数关系式，再求最大值即可．解:(1)由题图知,前20天的函数图象是上升的,且过点(