数学学案：主动成长第二讲三圆的切线的性质及判定定

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.若直线与圆的公共点的个数不少于1个,则直线与圆的位置关系是（)A.相交 B。相切 C。相离 D。以上都不对思路解析：依据直线和圆三种位置关系的定义，结合条件“直线与圆的公共点的个数不少于1个",应该确定直线与圆的位置关系是相交或相切.答案：D2。⊙O内最长的弦长为m,直线l与⊙O相离且与O的距离为d，则d与m的关系是(）A.d=m B。d>m C. D。思路解析:因为圆的最长弦为直径，所以此圆的半径为。又因为直线l与⊙O相离，所以。答案:C3.已知直线AB经过⊙O上的一点C,并且OA=OB,CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。图2—3-6思路分析:由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明:如上图，连结OC,∵OA=OB,CA=∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线。4.已知l1、l2分别切⊙O于点A、B，且l1∥l2,连结AB，如图2—3-7所示。求证:AB是⊙O的直径.图2-3-7思路分析:过A、O作直线OA,再证OA过点B。不能先连结AB，因为没有相关的定理可运用。证明:过O、A两点作直线OA。∵l1切⊙O于点A，∴OA⊥l1.∵l1∥l2，∴OA⊥l2。∵l2切⊙O于点B，∴OA过切点B（经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点）.∴AB为⊙O的直径.5.如图2-3—8所示，D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD。图2-3—8思路分析:欲证PA=PD,只要证∠A=∠D=30°即可.证明:连结OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点，∴PO⊥PD。又∵∠D=30°,∴∠POD=60°。∴∠A=30°.∴∠A=∠D.∴PA=PD.6.如图2-3—9，已知直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD。求证:以AB为直径的圆与DC相切.图2—3—9思路分析:要证以AB为直径的圆与直线DC相切,只要证AB中点(圆心）到直线DC距离等于半径（AB的一半)，先证E为AB中点，再证E到DC距离等于AB。证明:过E作EF⊥DC,垂足为F。∵ED平分∠ADC,DA⊥EA,EF⊥DF，∴EA=EF。同理，EB=EF,∴EB=EA，即E为AB中点.又EF=EA=EB=，∴以AB为直径的圆与DC相切.7.如图2-3-10，在△OAB中,若OA=OB=2a,⊙O的半径r=a。问:AB与⊙O相切、相交、相离时,∠AOB的取值范围如何?图2—3-10思路分析：先作出O到AB的距离OC，根据AB与⊙O的不同位置关系确定OC的取值范围，从而再确定∠AOB的取值范围.解：过O作OC⊥AB,垂足为C,（1）当AB与⊙O相切时,OC=r=a,此时cos∠AOC==，∴∠AOC=60°.又∵OA=OB，∴OC平分∠AOB。∴∠AOB=120°。(2)当AB与⊙O相交时，OC〈r=a,此时cos∠AOC<,∴60°〈∠AOC〈90°。∴120°〈∠AOB〈180°。(3)当AB与⊙O相离时,OC>r,此时cos∠AOC〉,∴0°<∠AOC〈60°。∴0°〈∠AOB〈120°.8。如图2—3-11，△ABC中，AD为BC边上的高,且AD=BC，E、F分别是AB、AC的中点，以EF为直径作⊙O.求证:⊙O与BC相切.图2-3—11思路分析：此题属于“作垂直证半径”类型，只要证明EF的中点到BC的距离等于EF的一半即可.证明:取EF中点O，作OG⊥BC于G，设AD与EF交于H，∵E、F为AB、AC中点，∴EF∥。又，∴EF=AD。∵OG⊥BC，AD⊥BC，且EF∥BC，∴四边形OGDH为矩形。∴OG=HD=,即。∴⊙O与BC相切.走近高考9.如图2—3—12，已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,对角线AC与BD交于O,边长AB=16，以O为圆心，半径为多少时，所作的圆才能与菱形的四边都相切?图2—3-12思路分析:本题实际上是求菱形内切圆的半径,根据条件容易确定答案.解:在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形.又∵AB=BD=16，AC⊥BD,且平分∠DAB,∴OD=8,.过O作OE⊥AD，垂足为E，由AD·EO=OA·OD,∴,即以O为圆心,为半径所作的圆与菱形各边都相切。10.如图2-3—13,AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E，∠POC=∠PCE.图2-3—13（1）求证：PC是⊙O的切线;(2）若OE∶EA=1∶2，PA=6,求⊙O的半径；(3)在（2)的条件下，求sin∠PCA的值。思路分析:（1)要证切线PC，仍是先证PC⊥OC。（2)要求半径，可以求OA，先求OE,这可以在Rt△PCO中,利用∠POC=∠PCE，列出有关方程求解.(3)求sin∠PCA，先求sin∠ACE=.（1)证明：在△OCP和△CEP中,∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE，∴△COP∽△ECP。∴∠OCP=∠CEP。∵CD⊥AB，∴∠CEP=90°.∴∠OCP=90°.∴PC为⊙O的切线.(2)解:设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x。∵∠COP=∠PCE，∴sin∠OPC=sin∠OCE，即=，解得x=1.∴OA=3.（3)解:∵∠OCP=90°,∴∠PCA+∠ACO=90°.∴sin∠PCA=cos∠ACO.又OA=OC，∴∠ACO=∠CAO。∴sin∠PCA=cos∠CAO。而AE=2,OE=1,OC=3,∴=.而cos∠CAO===,即sin∠PCA=。11.如图2—3—14,已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=45°,∠ABC=120°，⊙O的半径为1。图2—3-14（1)求弦AC、AB的长；(2）若P为CB延长线上的一点，试确定P点的位置,使得PA与⊙O相切,并证明你的结论.思路分析：（1）要求AC,可在△AOC中求解,求AB，可在△AOB中求解。（2)要确定P的位置，只需求PB,可在△APB中求解，过P作PE⊥AB,则将斜三角形分解为直角三角形.解:(1)过O作OD⊥AC于D,∵∠ABC=120°,则∠AOC=120°.又OA=OC，∴∠OAD=∠OCD=30°。在Rt△AOD中,cos∠OAD=,又OA=1，∴AD=OA·cos30°=。∴AC=2AD=。在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=2∠ACB=90°,∴。(2）过P作PE⊥AB于E,设BE=a，∵∠AB